1、1 (3) 板單位寬度斷面上的力和力矩為板的彎曲剛度2222222221 xyxywwMDxywwMDyxwMDx y 3212(1)EtD式中2用矩陣表達(dá)為222222322322222222101012(1)12(1)1002(1)2xyxywwwxyxMEtwwEtwMyxyMwwx yx y MD應(yīng)變矢量薄板彎曲問題中的 “彈性矩陣”3(4) 靜力平衡條件，板的彎曲微分方程式4對于oy軸的合力矩為零，得方程式dddddy ddddd dddd22d( , )d d02xyxxxxyxyyxxyyMMMyMxyMxMxxyNNxxNxx yNxNyxxyxq x yx yxyxxMMNx

2、y略去三階微量同除以dxdy5同理列出所有力對于ox軸合力矩為零的方程式，得所有的力在oz軸上的投影之和等于零，得yxyyMMNyx( , )yxNNq x yxy 由三個(gè)平衡方程式可得222222( , )xyyxMMMq x yx yxy 6由前推導(dǎo)知由前推導(dǎo)知代入代入2222222221 xyxywwMDxywwMDyxwMDx y 44442242( , )wwwDq x yxxyy222222( , )xyyxMMMq x yx yxy 剛性板一般彎曲的平衡微分方程式四階常系數(shù)線性偏微分方程7可簡寫為可簡寫為此處求得板的撓曲函數(shù)w(x,y)，可得板彎曲時(shí)的應(yīng)力為22( , )Dwq

3、x y 444224224( )( )( )( )2xxyy 312xxyyxyxyMzMtM可以看出，板彎曲和梁彎曲的求解非常類似83 3.4.2 .4.2 邊界條件邊界條件 四階線性偏微分方程，求解時(shí)將有八個(gè)任意常數(shù) 討論幾種最常見的支持周界的邊界條件 必須具有八個(gè)邊界條件(每邊兩個(gè)條件)(1) 板自由支持在剛性周界上22220, 0, 00, 0, 0處：處：wxxawxwyybwy22220, xwwwMDxy9(2) 板剛性固定在剛性周界上0, 0, 00, 0, 0wxxawxwyybwy處：處：(3) 若板 y = b 邊為自由邊應(yīng)滿足：彎矩Mx = 0 剪力Ny = 0 扭矩M

4、xy = 0222233320 20wwyxwwyxyddxyyMxNxx=0 xyyMNx103.5 剛性板彎曲的解3.5.1 應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲將w(x,y)寫成級數(shù)形式11( , )sinsinmnmnn ym xw x yAab22( , )Dwq x y 未知的待定常數(shù)22211sinsin( , )mnmnn ymnm xDAq x yabab11將q(x,y)展成相對應(yīng)的級數(shù)形式(傅里葉級數(shù))11( , )sinsinmnmnn ym xq x yqab式中004( , )sinsind d abmnn ym xqq x yx yabab222mnmnqAmnD

5、ab22211sinsin( , )mnmnn ymnm xDAq x yabab12板的撓曲線方程式(1) 板上受均布載荷q0時(shí)0004sinsind d abmnn ym xqqx yabab024(coscoscoscos1)mnqqmnmnmn22211( , )sinsinmnmnqn ym xw x yabmnDab02222sinsin16( , )mnn ym xqabw x yDmnmnab級數(shù)的分母是m、n的五次式彎矩時(shí)級數(shù)的分母是三次式13(2) 板上受集中力板上受集中力 P 時(shí)在集中力的作用處，取邊長為 dd 的矩形微塊，并且認(rèn)為在此微塊 dd 上作用分布載荷,d dP

6、q 142cos(d )cos4dcos(d )cos dmnmmPaaqmnabnnbbddsinsin4d dd d mnn ym xPabqx yab15當(dāng)d, d趨于零時(shí)，其極限為4sinsinmnn yPm xqabab222sinsin4( , )sinsinmnmnn yPm xabw x yabDabmnxab位移互等定理應(yīng)用雙三角級數(shù)對板彎曲問題的解稱為“納維葉解”163.5.2 應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲x = 0及x = a邊為自由支持，解取為單三角級數(shù)形式( , )( )sinmmm xw x yfya24IV( )2(

7、 )( ) sin( , ) mmmmmmm xfyfyfyaaaq x yD為 y 的任意函數(shù)由平衡方程式和y = 0及y = b處的邊界條件來決定代入微分方程式17將載荷q(x,y)展成相應(yīng)的單三角級數(shù)02( )( , )sindamm xqyq x yxaa( , )( )sinmmm xq x yqya24IV( )2( )( ) sin1 ( )sinmmmmmmmmm xfyfyfyaaam xqyDa24IV( )( )2( )( )mmmmqymmfyfyfyaaD18單三角級數(shù)解題的本質(zhì)是分離變量法，即將偏微分方程化為常微分方程( )chshch sh( )mmmmmmmmm

8、mfyAyByCyyaaaammDyyFyaa常微分方程的一般解為積分常數(shù)，由 y = 0及 y = b處的邊界條件來決定特解。由 板上外載荷來決定19例例 x = 0及x = a處自由支持及y = b/2處剛性固定， 板上受均勻分布載荷q0，求板的撓曲面撓曲面對稱于ox軸，因而函數(shù)fm(y)中的奇函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)等于零，即Bm = Cm = 0( )chsh( )mmmmmmmfyAyDyyFyaaa20(m = 1,3,5,)24IV04( )2( )( )mmmqmmfyfyfyaam D常微分方程的一般解為= 00042( )( , )sindamqm xqyq x yxaam( )mF

9、y4054( )()mq aFyD m系數(shù) Am 和 Dm 利用 y = b/2 的邊界條件確定21板的撓曲面函數(shù)為40551,3,5,22shsh412( , )1shchsh2 1sinshch2mmmmmmmmmm yuq am yaw x yuuaDmm yuum xauuua應(yīng)用單三角級數(shù)對板彎曲問題的解稱為“Levy解”mbuma當(dāng)b/a，即um時(shí)，上面板的撓曲面函數(shù)變?yōu)?0551,3,5,41( , )sinmq am xw x yaDm22這是用李茲法求解從板中沿 x 方向切出的、兩端自由支持的板條梁，得到的撓曲函數(shù)用筒形板橫彎曲方法的求解結(jié)果為434034( , )224q

10、axxxw x yD aaa40551,3,5,41( , )sinmq am xw x yaDm434034240551,3,5,( , )2242shshchsh4122 1sinshshch2mmmmmmmmmq axxxw x yDaaam ym yuuuq am ym xaauuuauuaDm233.5.3 四周剛性固定的板的彎曲四周剛性固定的板的彎曲大多數(shù)受均布載荷作用的船體板、由于載荷和結(jié)構(gòu)都對稱于板格的支座，因此通常認(rèn)為板的四邊都是剛性固定在剛性支座上求解要比具有一對邊或四邊自由支持的板困難除了用能量法求解外均布載荷作用下四周剛性固定板相當(dāng)于用“力法”來求解板的彎曲問題24長邊

11、為 a、短邊為 b 的四周剛性固定受均布載荷作用的矩形板的撓度與彎矩計(jì)算公式板中點(diǎn)撓度413qbwkEt板中點(diǎn)，與短邊平行的斷面(垂直于x軸的斷面)中的彎矩板短邊中點(diǎn)的彎矩板長邊中點(diǎn)的彎矩板中點(diǎn)，與長邊平行的斷面(垂直于y軸的斷面)中的彎矩212Mk qb223Mk qb214Mk qb225Mk qb25系數(shù)k1、k2、k3、k4及k5隨板的邊長比而變化不論板的邊長比為多少，板總是在長邊中點(diǎn)的彎矩最大，因此該處應(yīng)力也最大26當(dāng)a/b相當(dāng)大時(shí)，k5 = 0.0833，由此得長邊中點(diǎn)斷面的最大彎曲應(yīng)力為22max2265000100Mbqtt此式常用來校核船體板在局部強(qiáng)度中的應(yīng)力當(dāng)板邊比相當(dāng)大，

12、沿船長方向的板的應(yīng)力21750100bqt213430100bqt縱骨架式船體板(ab)222500100sqt225000100sqt橫骨架式船體板(b=s)27習(xí)題習(xí)題8.8 P238 (交大版P236習(xí)題9.2)442max5355 0.05 800 (1 0.3 )3843842 1020 /12qlwD板條梁兩端自由支持，l = 800mm，t = 20mm，q = 0.05N/mm2 ，外加中面拉力0 = 80 MPa作用。在計(jì)算板條梁的應(yīng)力與變形時(shí)中面力是否要考慮？求中點(diǎn)A的撓度及上下表面應(yīng)力解：解：(1) 當(dāng)板條梁僅受橫荷重時(shí)的最大撓度= 1.80mm 0.2t = 0.220

13、 = 4mm 因?yàn)榘鍙澢a(chǎn)生的中面力可不考慮282025212(1)80012 80 0.911.320.5222 1020luEt(2) 對外加中面力 0 = 80 MPa 外加中面力對彎曲要素的影響必須考慮(3) A點(diǎn)上下表面應(yīng)力2200226660.05 80080()( )800.5884008AAMqlutt上下(本題不存在兩種中面力復(fù)合的情況)2 45.28034.8N/mm114.829習(xí)題習(xí)題8.1 P237 (交大版P236習(xí)題9.4)( , )( )sinmmm xw x yfya四周自由支持的矩形板，沿 x = c 的線上作用有單位長度為 p 的分布。試作為剛性板，用單三角級數(shù)法解之解：設(shè)解：設(shè)24( , )( )2( )( ) sinIVmmmmmmm xq x yfyfyfyaaaD代入微分方程( , )( )sinmmm xq x yqya展成相應(yīng)的三角級數(shù)02( )( , )sindamm xqyq x yxaa 300002( )limsind()coscos2 lim2()2 limsinsincmcpm xqyxaam cmcpaampmmcpm cmaaaa本題可看成q(x, y) = q0 = pb/b = p/ (0的極限情景)2( , )sinsinmpm cm xq x