1、直線的交點坐標(biāo)與距離公式習(xí)題（含答案）一、單選題 f1 .已知u滿足遇時,z =本+ by（曲之b :- 0）的最大值為2，則直線nx + hy - I - 0過定 點（）A. 3I）B.（3）C. （13）D. （-3J）x2 y2 -|h S I2 .橢圓164上的點到直線k+為.V5二0的最大距離為（）A. 3 B. Kl-iC. 2啦D.麗3 .數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知 AABC的頂點|A（NU）,B（Q4）,若其歐拉線的方程為 犬. + 2-d， 則頂點C的坐標(biāo)為（）A. C-A0）| bOI）C.3 5QD.

2、（-42）14 .若點（2, k）到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是（）5 7A. 1 B. -3 C. 1 或 D. -3 或15 .已知直線x + mv + 6 -力和（m - 2）x +打+ 2m -。互相平行，則實數(shù)m的取值為（）A. -1 或 3 B. -1C. -3D. 1 或36 .在空間直角坐標(biāo)系O-W，中，若點AU匚1）,風(fēng)-3, - L4）|,點匕是點|a關(guān)于xOy|平面的 對稱點，則A.運 B. V詠C.屈D.7 .已知直線卜-1次4蓊+ 7二。與直線次二?；ハ嗥叫?，則自二（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 98 .已知雙曲線 上：&-&二的左、右焦點分

3、別為%i, F；,以線段入用為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為 P ,且P滿足|PFi . |P皮產(chǎn)2b，則U的離心率 滿足（）A. / -先冬】=0 B. e1 - 3e: + J = 0C.r- e - I =0 D. e1 - e3 - 1 = 09 .已知點P（mm）在直線生+ y + 1 - U上運動，則血耳溫的最小值為（）A. V B. 5C. 7D. 5二、填空題10 .已知直線m的傾斜角為:，直線1： kx-y=0,若由m,則實數(shù)k|的值為.11 .經(jīng)過點M 2,1且與直線3x y 8 0垂直的直線方程為 .12 .設(shè)改口口X是函數(shù) =(圖象上的動點，當(dāng)點F到直線v二

4、煞-1的距離最小時，_ .13 .與直線 料/4y - 5平行，并且距離等于 3的直線方程是 .14 .已知直線Gi + 3)x-4 = 0和直線k(亂一】卜+4 = 0互相垂直，則實數(shù) b的值為 ,15 .直線2 - v - 1-d與直線6工知+ 10 = H的距離是.16 .已知直線 |ax - 2y - 1 = Q,直線2+ y = 2 二 0 ,則 11 過定點 ；當(dāng)|a 時，11與1工平行.,1*,.11 Ixi*yi-ll |x2y2*ll17 .已知實數(shù)乂1$21】押2滿足工廠+興工=1.X丁 + /=13】乂工+ 12=3，貝卜飛一十一布一1 的最大值為18 .點(-1,1)關(guān)

5、于直線XT-1=0的對稱點是 .三、解答題19 .如圖：已知.1 9是圓/二4與其軸的交點，為直線以二上的動點，|PA,PB 與圓的另一個交點分別為M.N,(1)若P點坐標(biāo)為0.6),求直線VLN的方程；(2)求證：直線MN過定點.20 .已知橢圓C。一3二時，門7、曲是其左右焦點， Ai?、A上為其左右頂點， UiLB工為其上下頂點，若BiFiO=：, pg=之一小(1)求橢圓亡的方程；(2)過Ai九A:分別作工軸的垂線h?，橢圓匕的一條切線 以二kx4m?(kf 0)，1與I1？:交 于 W、N 二點，求證：zJvUiN =.21 .已知ABC的三個頂點蛻2J), C(-23).(I)求B

6、C邊所在直線方程；(n)U邊上中線 AD的方程為2x-3v+ 6=0,且3八.鈾0 =7,求m, n的值.22 .光線通過點A(23L在直線lx + y+ 1 -。上反射，反射光線經(jīng)過點|b(1J)|.(1)求點k(2.為關(guān)于直線1對稱點的坐標(biāo)；(2)求反射光線所在直線的一般式方程.23 .已知直線 11:2x y 2 0； l2：mx 4y n 0.(1)若li I2,求m的值.(2)若11 / /12,且他們的距離為 75,求m,n的值.24 .選修4.4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講在直角坐標(biāo)系kQ中，曲線:F y-、就;電(1為參數(shù)).以0為極點x|軸的正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系，曲線c二的極

7、坐標(biāo)方程為p-恥g日,直線的極坐標(biāo)方程為白= ；(、ER).(I )求曲線C】的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(n )若直線與etcM在第一象限分別交于 AB兩點尸為氏上的動點，求IPAB面積的最大 值.25 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 卜為中，圓O|: F +4與“軸的正半軸交于點W,以點A為圓心的圓N： (2去嚴(yán)與圓。交于B，C兩點.(1)當(dāng)=Y=時，求Be的長；(2)當(dāng)t變化時，求舊.短的最小值；(3)過點的直線與圓A切于點口，與圓0分別交于點歸，卜，若點|e是DF的中點，4(1)求直線1的方程.(2)求與直線1平行，且過點 2,3的直線方程.(3)求與直線1垂直，且過點 2,3的直線方

8、程.27.如圖，已知三角形的頂點為A(2,4), B(0, 2), q 2,3),求:(1)直線AB的方程；(2) AB邊上的高所在直線的方程；(3)AB的中位線所在的直線方程.的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到的關(guān)系，再代入直線ax + by一 1 -。由直線系方程得答案.參考答案【解析】分析：由約束條件作出可行域，得到使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，求出最優(yōu)解詳解:可行域，如圖所示，數(shù)學(xué)結(jié)合可知在點B(6,2)處取得最大值，命; 2b -,即：3a + b -H 2( UbyM之h 。)，得,工砂十1直線|ax + by * 1 = 0過定點GJ)故選A.點睛：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合

9、的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題.2. D【解析】橢圓方程為&十I=二可設(shè)橢圓上的任意一點 P坐標(biāo)為(4ms鬼窩mxh P到直線 164a+2y-!2 = 0的 距 離 I 7小|,r廬三 百f 回斗修口電十3 “笆3閩三VmJd的最大值為，故選D.3. A【解析】【分析】設(shè)出點C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程， 求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標(biāo)【詳解】仆* E J *叫設(shè)C (m, n),由重心坐標(biāo)公式得，三角形 ABC的重心為I丁,丁1代入歐拉線方程得:三“一誓十2 =

10、 整理得： m-n+4=0AB的中點為（1, 2） , kAB = =.2AB的中垂線方程為卜, 2 = ；（x - 1）,fx 4 2V 4 3 0 fx 4 1即 x-2y+3=0.聯(lián)立耳 _ j% 2 - 0 解得y-1 ABC 的外心為（-1, 1）.則（m+1） 2+ （n-1） 2=32+12=10,整理得： m2+n2+2m-2n=8 聯(lián)立 得：m=-4, n=0或m=0, n=4.當(dāng)m=0, n=4時B, C重合，舍去.頂點C的坐標(biāo)是（-4, 0）.故選A【點睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法： 直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程.待定系數(shù)

11、法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點坐標(biāo)等.4. D【解析】【分析】2-九 Ia+ 6由題得 已心=七 解方程即得k的值.【詳解】llk+ 61hi由題得才=4,解方程即得k=-3或1故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和計算推理能3rA J B?力.(2)點到直線1;Ax 4 By4C的距離.=5. B【解析】【分析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】兩條直線x+my+6=0和(m - 2) x+3y+2m=0互相平行,解得m= - 1,故選：B.【點睛】已知兩

12、直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知 + Biy + Ci =。，IzA求 + Biy - Ca = U，M.r; J AA101 , 則2，A 心 _ A H 0，Ji -L I4A1A2+ B1B2 = 06. D【解析】【分析】由對稱性先求點 C的坐標(biāo)為（】,?：-】,再根據(jù)空間中兩點之間距離公式計算|BC|。【詳解】由對稱性可知，點 C的坐標(biāo)為D,結(jié)合空間中兩點之間距離公式可得：=- 1）、斗（-1 -交（4+ 1尸=55.故選D.【點睛】本題考查了空間中對稱點的坐標(biāo)關(guān)系及兩點間距離公式，屬于基礎(chǔ)題。7. B【解析】【分析】根據(jù)它們的斜率相等，可得- =

13、 -2,解方程求a的值.【詳解】直線（a - 1次+ 3丫 4 7=n與直線2x 4 y - 3=。互相平行，它們的斜率相等， = 2,a=7,故選B.【點睛】本題考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行可得斜率相等.8. D【解析】分析：聯(lián)立圓與漸近線方程，求得 M的坐標(biāo)，由IPF1I - |PF：|=2b,得點P在雙曲線 右支上，代入雙曲線方程化簡即可求.詳解：由,得匕二涓,即 PSb),由 |PR| - |PFR = 2b ,即V(a 1-+ b:-儡-城 + b* - 2b,由產(chǎn)=/ -/u =:,化簡得即人一二9故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式， 考查計算能力，

14、屬于中檔題.9. C【解析】分析：11112 4 rl:的幾何意義為直線上的點到原點距離的平方，由點到直線的距離公式可得結(jié)果.詳解：丁點P(mji)是直線2x 4 y * 1二。上的任意一點，又小。八的幾何意義為直線上的點到原點距離的平方，小十小的最小值為原點到直線距離的平方，.1,所求最小值為(正知/二(故選C.點睛：本題考查點到直線的距離公式，意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，是基礎(chǔ)題10. 跖.【解析】分析：根據(jù)兩直線平行的等價條件可得斜率卜的值.詳解：二.直線m的傾斜角為:直線n】的斜率為tan= 3.又1g點睛：本題考查兩直線平行的性質(zhì)，即兩直線的斜率存在時， 則兩直線平行等價于兩直線的斜率相

15、等.11. x 3y 5 0【解析】設(shè)所求直線為x 3y m 0,代入2,1得m 5,故所求直線方程為x3y5 0,填 x3y50.12【解析】【分析】由點到直線的距離公式求得 卜為何值時，距離最小.【詳解】是函數(shù)（二（圖象上的動點，則點|p到直線 VX-1的距離為 口1| T PVF-*當(dāng)n =：時，d取得最小值.故答案為：之.【點睛】本題考查了點到直線的距離公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.13 .# 1U 或汰 + 4丫 - 20 - 0.【解析】分析：設(shè)所求直線為3x+4y+m=0,直線3x+4y=5即為3x+4y-5=0,運用兩平行直線的距離公式，得到 m的方程計算即可得到所求方程.詳解：設(shè)所

16、求直線為 3x+4y+m=0,直線 3x+4y=5 即為 3x+4y- 5=0,則由平行直線的距離公式可得d=1=3,解得m=10或-20.則有所求直線為 3x+4y+10=0,或3x+4y - 20=0.故答案為：3x+4y+10=0,或 3x+4y- 20=0.點睛：這個題目考查的是平行線間的距離公式，考查了學(xué)生計算能力，較為基礎(chǔ)，在使用兩平行線的距離公式前，先將x,y的系數(shù)化為一樣的.14 . -1【解析】【分析】利用直線垂直的性質(zhì)求解.直線(a+ y - 4 = 0和直線 x- (a* l)y + 4 =?；ハ啻怪?(a+3) x 1+1 (-1) =0,解得a=-1.故答案為：-1.

17、【點睛】兩直線位置關(guān)系的判斷：li：A】K+Bly + Ci =。和+B河十C二二U的平行和垂直的條件屬 于常考題型，如果只從斜率角度考慮很容易出錯，屬于易錯題題型，應(yīng)熟記結(jié)論：垂直：必二。；平行：IaiBn二A1B1,同時還需要保證兩條直線不能重合，需要檢驗！15 .即5【解析】分析：把直線方程20化為6x - 3y - 3 - ”，利用兩平行線之間的距離公式，即可求解結(jié)果.詳解：由直線2m - y -1=0,可化為6k -的-3二0 ,I -3 -SI 13 H則直線版判. 3 -b和直線+ 10-。之間的距離d =的2 =小.點睛：本題主要考查了兩平行線之間的距離的求解，其中熟記兩平行線

18、之間的距離公式是解 答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運算能力.16 .協(xié)-2磔【解析】分析：將直線1的方程變形為fix -(2y + 1) = 0,令k二0且R 4 1二?？傻枚c坐標(biāo); 根據(jù)兩直線平行的等價條件可得|a的值.詳解：直線1的方程變形為邛_(%+ 1)-0,令12y十1口,解得v =二, 所以直線 加定點(o,-b.當(dāng)h與匕平行時，則有方=-2解得即卜=-23時，卜1與匕平行點睛：直線過定點的問題實質(zhì)上是恒成立的問題，判斷直線過定點時， 先把直線方程整理成:fD-kg （k為參數(shù)）的形式，解方程組 優(yōu)L：；可得定點的坐標(biāo).17 .32我【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為圓上兩個點到

19、定直線距離和的最大值問題。根據(jù)兩個點形成的夾角為 60。,即可求得最大值?！驹斀狻坑深}意可設(shè)RcuyDjBgyD因為w+yiya =即口祠=：,因為r=1,設(shè)OA與OB形成夾角為“，所以品二 |園82=；,即a|1 二 2-勺即得橢圓的方程.先證明匕如麗|=七為:笠=1 ,所；_ l2 _ 2- 2 + X3 2 + % 3* 1i 1-1 O w以上MFiN = ：,同理可得 z.MF:N = 7,所以 sihn = rMFM【詳解】由題設(shè)知=?-解得.3，b=】， t M = b* + L，橢圓c的方程為十)二=】(2)由題設(shè)知，hx-2, |hx-2陌C,的方程聯(lián)立消丫得(+依* + S

20、kmx 4-4(rn2.l) = 0 * 與相切的= Mknrn2- 16(1 + 4k2(m: -1) -04曰 1.7付m - 4k=二】與|八匕聯(lián)立得欣N(2?, T?2k + mj|又.-2k + m 2k + tn m2 - 4k2 kMFi?NF -j=?- 2 +2 + 3- 1，MFi!NFi|,即 dFiN = ；同理可得,上，IFiN 二 士k!F?N【點睛】(1)本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明=+1,所以Z.MF1N =亍+ m ?k4-m mJY kMFTkNFL = 三

21、亞=21. (1)工卜卻-4二。；(n)n = 3|, n-m=-3, n = 0【解析】【分析】(i )|由斜率公式可得 ksc=,結(jié)合點斜式方程整理計算可得BC邊所在直線方程為pc+ 2y -4 = 0.(n )由題意可得|BC| = 2H 則 ABC的BC邊上的高卜,據(jù)此由點到直線距離公式和直線 方程得到關(guān)于 m,n的方程組，求解方程組可得 m = 5, n 4或m =-3 , n = o|.【詳解】(i|) B(2, I), e(-2,3).二版=缶二:，可得直線BC方程為卜-3=-4*+2),化簡，得BC邊所在直線方程為K+2y-4-0.(n )由題意，得|BC| - V匕 V產(chǎn)+

22、(1-療-25,1I ，工 SA.3 = BC|h =7,解之得 h;飛,hi 4 %，4|*由點到直線的距離公式，得高 二市，化簡得 m 1 2n = 11 或m 2n 3,( 即 4 加工 11 f 2 2ii - 3 “12m 3n 十 6 =?；?12m - 3n , 6 = 0 .解得 m =n = 4或m=-3, h =。.【點睛】本題主要考查直線方程的求解，點到直線距離公式的應(yīng)用，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.22. (1) (一4一3)； (2) 4x - 5y 13【解析】【分析】(1)根據(jù)對稱點與 A連線垂直直線,以及對稱點與 A中點在直線1上

23、列方程組解得結(jié)果，(2) 根據(jù)對稱性得反射光線所在直線經(jīng)過A的對稱點|a儀-4-圻和1叉1J),再根據(jù)點斜式求直線方程.【詳解】(I )設(shè)點以2, 3)關(guān)于直線l的對稱點為A或距也，則(解得K0 = 4皿=-3，即點A(13)關(guān)于直線l的對稱點為Au( 7 - 3)(n )由于反射光線所在直線經(jīng)過點人及-4, - 3)和41】)，所以反射光線所在直線的方程為1卿4區(qū) - 5 . 0.【點睛】 本題考查點關(guān)于直線對稱點問題，考查基本求解能力23. (1) m 2； (2) m 8, n 28或 122;【解析】試題分析：(1)因為兩條直線是相互垂直的，故 k1 k2 -2(2)因為兩條直線是相互

24、平行的，故 2 m,解得m 8.4解析：設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2，則k12、k2m.4(1)若 li I2,則 k1 k2 m 1, m 22(2)若 |1 / /|2，則 2 m , . m 8.4，I2可以化簡為2x y n 0,4，I1與I2的距離為2 n4、528 或 1224. (1)= W (2) 2 +【解析】【分析】(I)先求出曲線Ci的普通方程，再把普通方程化為極坐標(biāo)方程.再寫出直線的直角坐標(biāo)方程.(n )先求出|AB| = Ip-川二1,再求出以AB為底邊的APAB的高的最大值為卜+ 2, 再求3PAE面積的最大值.【詳解】(I)依題意得，曲線o的普通方程為

25、gy+Ff 曲線Ci的極坐標(biāo)方程為p* - 4P= 3二0,直線1的直角坐標(biāo)方程為卜二岳.(n )曲線c工的直角坐標(biāo)方程為 0-4)。2.16,設(shè)1圖2舊周，=口，即P;_ 2pi - 3 -。，得pi = 3或pi - - | (舍)，p2= 8cosj = 4|(J|AB| - |p2-pi| - 1,CK4.0)到1的距離為d =曙=2W以庭為底邊的APAB的高的最大值為4 +八國則hPAB的面積的最大值為；(42也)二2卜【點睛】(1)本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查面積的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2

26、)本題的解題的關(guān)鍵是求出|AR| =|P2-pi| = 1.25. (1) V7 (2) - 2 (3) x土* - 6 - 0【解析】分析：(1)根據(jù)半徑，得到圓 A的標(biāo)準(zhǔn)方程；因為 B、C是兩個圓的交點，聯(lián)立兩個圓可得到兩個交點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式即可求得BC的長。(2)根據(jù)圓A關(guān)于x軸對稱，可設(shè)BGiQ=#*，代入到圓。中，用qc表示甘；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，得到 如疝 = 力.)12,根據(jù)融的取值范圍即可得到 還?蔡 的 最小值。(3)取EF的中點G,連結(jié)。G&AD.OF,可知&DP與,OGP相似，根據(jù)中點性質(zhì)和勾股定理，在R14OFG和R13ADP中，聯(lián)立方程求得r的值；設(shè)出直線方程， 根據(jù)點到直線距離公式 即可求出直線方程。詳解：(1)當(dāng):r = V：時，由仁京工得,出加”?)乒=中(2)由對稱性，設(shè)BfKQy。). C (皿.付，則二d所以.=(xo - 2)2 - (4 - xo2) - 2(xo - 1 / - 2因為|42父科3所以當(dāng)kq=時，晶的最小值為-2(3)取EF的中點G，連結(jié)OG.AD.OF，則ADOG則荔=% =需=：從而 II =3 不妨記 Ide-2EG7GF -PD 6l在班AOFG中OF3 = OG1 + FG1即4=閱十金在I乜3ADP中.正之二jyd: + up?即爐 J + (