1、高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 第二節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 微積分的基本公式 第五五章 高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式一、引例一、引例 在變速直線運動中, 已知位置函數(shù))(ts與速度函數(shù))(tv之間有關系:)()(tvts物體在時間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過的路程為)()(d)(1221TsTsttvTT這種積分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .)()(的原函數(shù)是這里tvts高等數(shù)學(同濟大

2、學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式)(xfy xbaoy)(xxhx二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù), ,)(baCxf則變上限函數(shù)xattfxd)()(證證:, ,bahxx則有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1. 若.,)(上的一個原函數(shù)在是baxf,)(baCxf高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式說明說明:1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導:bxttfxd)(dd

3、)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式)sin(2cosxex例例1. 求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21說明 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(cos

4、lim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式 ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓

5、-萊布尼茨公式三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上的一個原在是連續(xù)函數(shù)設,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛頓 - 萊布尼茲公式) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 根據(jù)定理 1,)(d)(的一個原函數(shù)是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba記作)(xFab)(xFab定理定理2.函數(shù) , 則高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式例例4. 計算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arct

6、an3127例例5. 計算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin的面積 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yoxxysin高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式例例6. 汽車以每小時 36 km 的速度行駛 ,速停車,2sm5a解解: 設開始剎車時刻為,0t則此時刻汽車速度0v)(10sm)(sm3600100036剎車后汽車減速行駛 , 其速度為tavtv0)(t510當汽車停住時,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hm

7、k剎車, 問從開始剎到某處需要減設汽車以等加速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 車到停車走了多少距離? 高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式內(nèi)容小結內(nèi)容小結, )()(, ,)(xfxFbaCxf且設則有1. 微積分基本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茲公式2. 變限積分求導公式 公式 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式作業(yè)作業(yè)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式3234)(2xxxf備用題備用題解解：1. 設,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定積分為常數(shù) ,d)(10axxf設bxxf20d)(abxxxf2)(2, 則10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故應用積分法定此常數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟大學)課件上第52牛頓-萊布尼茨公式2.求解解：20dsin2sinxxnxIn的遞推公式(n為正整數(shù)) . 由于,dsin) 1(