1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一一求解圓錐曲線離心率及其取值范圍橢圓的離心率0 e 1 ,雙曲線的離心率 e 1,拋物線的離心率 e 1.、直接求出a、c ,求解e已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或c易求時(shí)，可利用率心率公式c ,.,e 一來(lái)解決。a例1 :已知雙曲線2x 21y1a0）的一條準(zhǔn)線與拋物線y26x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（解：拋物線y26x的準(zhǔn)線是3,即雙曲線的右準(zhǔn)線x2c2 13,則 2c 3c 2 0 ,斛得 c 2 , 2F2 3,0 ,則其離心率為（變式練習(xí)1：若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1 1,0、又.橢圓過原點(diǎn)，a解：由 F1 1,0、 F2 3,0 知 2c 31, a c 3,

2、. a 2, c 1 ,所以離心率e變式練習(xí)2：如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2,焦距為6,那么雙曲線的離心率為（解：由題設(shè)a 2, 2c 6,貝U c3一,2變式練習(xí)3:點(diǎn)P （-3 , 1）在橢圓22二匕1a2b2（a b 0）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍 2, 5的光線，經(jīng)直線y 2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為（解：由題意知，入射光線為y 15x3，關(guān)于y 22的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）23為 5x 2y 5 0,貝U c5c 5 0解得a 33, c 1 ,則e c ac的齊次式，解出 e根據(jù)題設(shè)條件,借助 a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造 a、c的關(guān)系（特別是齊二次式）,進(jìn)而得到關(guān)于e

3、的一元方程，從而解得離心率e。220）的兩焦點(diǎn)，以線段例2：已知F1、F2是雙曲線三、1 （a 0,b a b正三角形MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（F1F2為邊作解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P,則p的橫坐標(biāo)為由焦半徑公式 PF1即c cca ,得c2 - 2 0,解得a2a ae c 1 V3 （1 & 舍去）， a2變式練習(xí)1：設(shè)雙曲線x2 a1(0 a b)的半焦距為c,直線L過a,0 , 0,b兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為旦c,則雙曲線的離心率為(4解：由已知，直線L的方程為bxay abab0 ,由點(diǎn)到直線的距離公式，得 -b,a2b2又c22,2a b ,

4、 4ab 3cc2,兩邊平方,一22得 16a c_ 4. ._ 43c ,整理得3e16e2得e24或e22 c-2 ab2 a變式練習(xí)2:雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F1MF2解：如圖所示，不妨設(shè) M 0,b , F1c,0 , F2 c,0 ,則MF1| |MF2Nc2 b2,又IF1F22c,在 F1MF2中,由余弦定理，得cosF1MF2|MFj2mf2F1F2120,則雙曲線的離心率為(2MF1MF2b2222c b 4c02 1T22 c bbj2 c 2 c b22ac 222c a、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解P ,若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢例3:設(shè)

5、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、F2 ,過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)圓的離心率是c斛：e 一a2c 2c 2c2a PF1PF2I 2.2c 2c.2 1四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解22例4：設(shè)橢圓x2 t i （a 0,b 0）的右焦點(diǎn)為 a bFi,右準(zhǔn)線為li ,若過Fi且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn) Fi到li的距離，則橢圓的離心率是解：如圖所示，AB是過Fi且垂直于x軸的弦，ADli于D , AD為Fi到準(zhǔn)線li的距離，根據(jù)橢圓的第二定義,AFiAD21ABAD變式練習(xí):在給定橢圓中,過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為22，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為i,則該橢圓的離心率為（）解：eAF2 萬(wàn) 2

6、AD2-22五、直接根據(jù)題意建立 a,c不等關(guān)系求解.例5：若雙曲線 之 ab21 (a0, b0)上橫坐標(biāo)為 ” 的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的2距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是3解析由題息可知（一a22 a 一)e ca23i一解得e22備選橢圓x2%i(aa2b20）的焦點(diǎn)為Fi, F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為MFiF2 ，則該橢圓離心率的取值范圍是（，一 2a2解析由題意得過c2 2c.e 近2六、借助平面幾何關(guān)系建立a,c不等關(guān)系求解22x y例2：設(shè)Fi, F2分別是橢圓 石 孑 i （a b 0）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 a bP,使線段PFi的中垂線過點(diǎn)F2,則

7、橢圓離心率的取值范圍是（分析通過題設(shè)條件可得 PF2 2c,求離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，如何建立解析：.線段PFi的中垂線過點(diǎn)F2,PF2 2c,又點(diǎn)P在右準(zhǔn)線上，PF22即2c cc.c 互 & e i, a 33點(diǎn)評(píng)建立不等關(guān)系是解決問題的難點(diǎn)，而借助平面幾何知識(shí)相對(duì)來(lái)說比較簡(jiǎn)便七、利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立a,c不等關(guān)系求解2例3:雙曲線當(dāng) a2卜 1 （a0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|二2|PF 2|,則雙曲線離心率的取值范圍為分析求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢解析：

8、: |PFi|二2|PF 2|, |PFi|PF2|二|pf 2|= 2a, |PF2|c a 即 2a c a 3a c所以雙曲線離心率的取值范圍為1 e 3 ,故選B.點(diǎn)評(píng)：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn),如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解2 X 備選已知雙曲線a2yr 1,（a 0,b 0）的左，右焦點(diǎn)分別為 b2Fi,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且IPFil4|PF2|,則此雙曲線的離心率 e的最大值為：（） . |PFi|=4PF2|,|PFi|PF2|二3|PF2|=2a, |PF2|c a IP - a 3所以雙曲線離心率的取

9、值范圍為備選2X已知F1, F2分別為 a2 y b2(a 0,b0）的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若PFi的最小值為PF2則該雙曲線的離心率的取值范圍是（解析PF1(2a PF2)PF22 4a2PF；PF2 4a2 4a24a8a ,欲使最小值為 8a ,需右支上存在一點(diǎn)P,使PF2PF2a即2aa所以1已知橢圓2 y b21(a b0）右頂為A,點(diǎn)P在橢圓上,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 OP垂直于PA,求橢圓的離心率 e的取值范圍。解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0, y0),則有2 X02a2 X02 迎 b2a%y。20知ax02. 2a b 、，TTx0ab2x例6:橢圓G ： T a24 1(

10、a b b20)的兩焦點(diǎn)為F1( c,0), F2(c,0),橢圓上存在點(diǎn)M使FM FM 0. 求橢圓22 . 2. 232. 2消去yo得(a b )xo a xo a b0若利用求根公式求 刈運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個(gè)根為a,由根與系數(shù)關(guān)系ab2小、2/22-由 0 x0 a 付 e 1a b2離心率e的取值范圍；解析 設(shè) M (x, y), FM F2M 0x2y2 c2 將y2b2囁2a一 2代入得x2, 2a b c 20 x2a a求得e 1222，、一xy.一點(diǎn)評(píng)：=，1(a b0)中x a ,是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)范圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給a b予重視.八、

11、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合建立a,c不等關(guān)系求解2例7:已知雙曲線2T a2y2 1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有 b個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 解析 欲使過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的余率b,b石，即b J3a即c2 a2 3a2，c2 4a2即e 2故選C.a a九、運(yùn)用函數(shù)思想求解離心率22例8：設(shè)a 1 ,則雙曲線 y 21的離心率e的取值范圍是a2 (a 1)2解析：由題意可知e ,1 (-a)211 (1 亞 e 75,十、運(yùn)用判別式建立不等關(guān)系求解離心率x2 y2例9

12、：在橢圓22 1(a b 0)上有一點(diǎn)ma b解析：由橢圓的定義，可得 MF .1、2,/,1c-) a 11 1 - 2aa_ 一 - -一 一 -一 一 2、F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 MF 1 MF2 2b ,求橢圓的離心率一一2 一一 一一 、一MF22a又 MF1 MF2 2b,所以MF 1, MF2是方程x22ax2b20的兩根，由 (2a)2 42b20,可得 a22b2,即 a22(c2a2)所以 e - -2所以橢圓離心率的取值范圍是/1)一 、一一 X22的取值例10:設(shè)雙曲線C: y 1(a 0)與直線l : X y 1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線C的離心率ea范圍：解析 由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組2 21a2 y1,有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得x y 1.(1 a2