1、§5.5 正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布1. 單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體中抽取容量為的樣本，樣本均值與樣本方差分別是.定理1 設(shè)總體服從正態(tài)分布，則樣本均值服從正態(tài)分布，即證 因?yàn)殡S機(jī)變量相互獨(dú)立，并且與總體服從相同的正態(tài)分布，所以由§4.3中的定理知，它們的線性組合服從正態(tài)分布。定理2 設(shè)總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即由定理1結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)化即得到定理2。定理3 設(shè)總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布，即證 注意到，則又上述統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，并按照分布的定義可得結(jié)果。定理4 設(shè)總體服從正態(tài)分布，則（1）樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立；（2）統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分

2、布，即證明略。定理5 設(shè)總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布，即證 由定理2知，統(tǒng)計(jì)量又由定理4知，統(tǒng)計(jì)量因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與也相互獨(dú)立，于是根據(jù)分布的定義得結(jié)論。2. 兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體中抽取容量為的樣本，從總體中抽取容量為的樣本。假設(shè)所有的抽樣都是相互獨(dú)立的，由此得到的樣本與都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。我們把取自兩個(gè)總體的樣本均值分別記作樣本方差分別記作定理6 設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即證 由于獨(dú)立的正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的線性組合服從正態(tài)分布，所以標(biāo)準(zhǔn)化即得結(jié)論。當(dāng)時(shí)，我們有推論 設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量定理7 設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量其中證 由定理6的推論知，統(tǒng)計(jì)量又由定理4知因?yàn)榕c相互獨(dú)立，由分布的可加性知因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，所以由分布的定義得結(jié)論。定理8 設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布，即證 由定理3知因?yàn)榕c相互獨(dú)立，結(jié)合分布的定義得結(jié)論。定理9 設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量服從自由