1、保定學(xué)院 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目：迭代思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 系 （部）數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系 學(xué)科門類 理學(xué) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào)101814214 姓 名 李芝花 指導(dǎo)教師 荊霜雁 職 稱 副教授 2014年 05 月 29 日摘 要迭代思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要迭代法，是一種借助計(jì)算機(jī)運(yùn)算來完成的不斷用變量的舊值遞推新值的過程。本文主要就是介紹一些普遍使用的迭代法解線性方程組和非線性方程，并對(duì)各種迭代法條件的限制、收斂性及迭代效率高低進(jìn)行比較，從而得出求方程根的最適用解法，并借助MATLAB軟件完成迭代法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：迭代方法 線性方程組 非線性方程 收斂速度 MATLA

2、BABSTRACTIteration method is a process which is with the aid of computer algorithms to complete the old value of the variable to the recursive new value continuously. In this paper ,is mainly introduced some of the commonly used the iterative solution of linear equations and nonlinear equations,as w

3、ell as compare the restriction、convergence and efficiency of the linear equations, then concluded the most effective of the equation root solution. And with the help of MATLAB software to complete the iteration method of computer implementation.Key words：Iterative methods Systems of linear equations

4、 group Nonlinear equation Convergence rate MATLAB目 錄目 錄1 引言- 1 -2 求解方程(組)根的幾種迭代法- 1 -2.1 求線性方程組的迭代法- 1 -2.1.1 雅可比迭代法- 1 -2.1.2 高斯-賽德爾迭代法- 1 -2.1.3 逐次超松弛迭代法- 2 -2.2 求非線性方程的迭代法- 2 -2.2.1簡單迭代法- 2 -2.2.2 牛頓迭代法- 2 -2.2.3 弦割法- 3 -3 分析比較各種迭代法的實(shí)用性- 3 -3.1 線性方程組的迭代收斂性分析- 3 -3.2 各類迭代法收斂速度的比較- 4 -3.2.1 線性方程組求根

5、方法的比較- 4 -3.2.2 非線性方程求根方法的比較- 6 -4 迭代算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)- 7 -4.1 高斯-賽德爾迭代法的MATLAB實(shí)現(xiàn)- 7 -4.2 非線性方程中牛頓迭代法的MATLAB實(shí)現(xiàn)- 8 -5 總結(jié)與展望- 9 -5.1 本文總結(jié)- 9 -5.2 工作展望- 9 -參考文獻(xiàn)- 9 -致 謝- 11 -附 錄- 12 -保定學(xué)院2014屆畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）1 引言方程(組)求根問題是很有實(shí)際意義的，解決這些問題主要有兩種方法，即解析法和數(shù)值法。解析法得到的是精確解，但通過解析法并不能求得所有方程(組)的根。我們經(jīng)常會(huì)遇到的高次方程或超越方程以及一些非線性方程的求解問題就需要我

6、們尋求其它方法得到比較精確的近似解。所以本文主要介紹一些迭代思想在解決方程(組)求根問題中的應(yīng)用，及其在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。2 求解方程(組)根的幾種迭代法解析式是不能夠用來表示一般方程或個(gè)未知量的方程組,的解的。所以這里我們將介紹幾種求近似解的普遍適用方法迭代法。首先明確迭代法的基本思想，即對(duì)于給定的方程,經(jīng)過恒等變形成為,改寫成迭代格式為,選定初始值,使用迭代格式反復(fù)不斷校正根的近似值，求得符合精度要求的近似根值。下面介紹幾種求解線性方程組和非線性方程的迭代法。2.1 求線性方程組的迭代法2.1.1 雅可比迭代法在求解線性方程組的解時(shí)，若,則構(gòu)成迭代公式給定初值,令可得.如果此序列收斂于,那么

7、每個(gè)分量序列必收斂于,.這種解法稱為雅可比迭代法。2.1.2 高斯-賽德爾迭代法在雅可比迭代法的使用過程中，按公式計(jì)算,右邊全是的分量，只有當(dāng)?shù)姆至勘蝗克愠龊?，才能用的分量代換的分量來算得,而如果想將已經(jīng)算出的分量立即代替對(duì)應(yīng)的分量來求,那就需要借助另外一種方法高斯-賽德爾迭代法。其迭代公式為2.1.3 逐次超松弛迭代法在高斯-賽德爾迭代法中改寫第i個(gè)分量并在校正量前乘以一個(gè),可得方括號(hào)的內(nèi)部就是高斯-賽德爾迭代公式的右半部分，叫做松弛因子。逐次超松弛迭代法也可以看成是高斯-賽德爾迭代與的一種算術(shù)加權(quán)平均。的選取如果合適，就會(huì)加快收斂速度。顯然當(dāng)時(shí)，就變成了高斯-賽德爾迭代。2.2 求非線性

8、方程的迭代法2.2.1簡單迭代法已知根的存在區(qū)間,自然可取中點(diǎn)作為根的精確近似值.而為求逐次逼近的近似值,最好是用同一個(gè)迭代公式, (2-1)簡單迭代法就是利用(2-1)式來求根的近似值。其中叫做迭代序列，叫做迭代函數(shù)，(2-1)式叫做迭代格式。簡單迭代法中利用同解變換將化為從而得出的迭代公式往往只是線性收斂。為得出超越線性收斂的迭代格式，通常采用近似替代法，例如下面兩種方法。 2.2.2 牛頓迭代法牛頓法是求解非線性方程的十分重要的迭代方法，它的基本思想是將方程依次轉(zhuǎn)化為一系列的線性方程,由其點(diǎn)的序列逐次逼近方程的根.牛頓迭代公式為 (2-2)我們知道牛頓迭代格式的得出方式是取三項(xiàng)近似來替代

9、,具體構(gòu)造方法見文獻(xiàn)3再將所得二次方程兩個(gè)根中更接近的那一項(xiàng)記為,得到兩種改進(jìn)的牛頓迭代格式?；蛴捎谂ｎD法在計(jì)算過程中需要用到以及的符號(hào)，因此對(duì)于形式復(fù)雜的函數(shù),及的計(jì)算就可能會(huì)很麻煩。 為此我們尋找了一種避免求導(dǎo)運(yùn)算的求根方法弦割法。2.2.3 弦割法 在牛頓迭代公式中，若將曲線上點(diǎn)的切線斜率改為其上兩點(diǎn)連線的斜率則可得到雙點(diǎn)或單點(diǎn)弦割法迭代公式或3 分析比較各種迭代法的實(shí)用性關(guān)于各類迭代法的局限性，即在解各種方程(組)的適用方法上，本文已經(jīng)在前面介紹具體算法思想時(shí)比較分析過了，這里我們不再做過多的說明，我們只從收斂性和高效性即收斂速度上來分析各種方法的適用性。3.1 線性方程組的迭代收斂性

10、分析在收斂性分析上我們只應(yīng)用一種簡單且常用的方法 對(duì)于給定任意的初始值對(duì)一般迭代格式收斂的充分必要條件為譜半徑.(證明過程詳見文獻(xiàn)5)其中的計(jì)算方法為 雅可比迭代法 高斯-賽德爾迭代法 逐次超松弛迭代法 例1 判斷方程組的收斂情況。解 雅可比迭代法 .,所以這里雅可比迭代法是發(fā)散的，不能用雅可比迭代公式求得方程根；高斯-賽德爾迭代法 .,所以高斯-賽德爾迭代法在這里是收斂的，所以這時(shí)只要直接套用迭代格式即可求得方程根；由于逐次超松弛迭代法的收斂性不僅取決于A，松弛因子的選取也可直接影響方程組的收斂性，如1時(shí)，迭代收斂；2時(shí)，迭代發(fā)散。當(dāng)然并不是所有的方程組求解中高斯-賽德爾迭代都優(yōu)于雅可比法，

11、我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)雅可比法收斂但高斯-賽德爾迭代發(fā)散的情況，例如方程組.3.2 各類迭代法收斂速度的比較3.2.1 線性方程組求根方法的比較例2 (1)用雅可比迭代法求解方程組(準(zhǔn)確解為).解 分別從3個(gè)方程中解出可得由此可建立迭代格式設(shè)迭代初值,反復(fù)使用迭代格式，求出線性方程組根的一系列近似值(見附錄表1),從結(jié)果可看出迭代到第58步才能得到根的穩(wěn)定值。(2)用高斯-賽德爾迭代法重新求解上述方程組。解 由高斯-賽德爾迭代格式得仍然取初值為,具體計(jì)算情況見附錄表2,由表中數(shù)據(jù)可知經(jīng)過22步迭代得到根的穩(wěn)定值。(3)用逐次超松弛迭代法求解原方程組。解 由逐次超松弛迭代格式得仍取初值為,當(dāng)時(shí)，經(jīng)過65步

12、迭代才能得到穩(wěn)定的根的近似值，具體計(jì)算過程見附錄表3.當(dāng)時(shí)，只需要迭代11次就可以求出穩(wěn)定的近似值，具體計(jì)算結(jié)果見附錄表4.將上述得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，明顯看出在保證算法都收斂的情況下高斯-賽德爾迭代法只用22次迭代要比雅可比迭代法的58次收斂速度快，迭代效率高，求解方程組時(shí)更適用，而對(duì)于逐次超松弛迭代法來說，收斂速度取決于松弛因子的選取，顯然當(dāng)松弛因子選取合適時(shí)，逐次超松弛迭代法就顯示了它明顯的優(yōu)越性。3.2.2 非線性方程求根方法的比較例3 (1)用簡單迭代法求區(qū)間內(nèi)方程的根。解 方程兩邊同時(shí)加上,再開三次方，得到同解方程 作迭代格式取,經(jīng)過12次迭代得到根的近似值(過程見表5)，由可知，繼

13、續(xù)迭代的結(jié)果不變，所以為所求方程的根。(2)用牛頓迭代法解上述方程。解 方程兩邊同時(shí)加上,再同除,得到同解方程作迭代格式同樣取,這時(shí)經(jīng)過5次迭代得到根的近似值(詳見表6). 通過兩種方法計(jì)算步驟的比較我們可以看出，在保證算法能實(shí)現(xiàn)的前提下牛頓迭代法的收斂速度要比簡單迭代法快，所以牛頓法的效率更高，更加適用。同樣的，我們可以求出改進(jìn)后的牛頓迭代法求得的結(jié)果，如改進(jìn)的牛頓迭代法中得到 因?yàn)楦倪M(jìn)后的牛頓法只要迭代到第四步就能結(jié)束求解過程，要比經(jīng)典牛頓法快，所以在兩種方法都收斂的前提下改進(jìn)后的牛頓法要比經(jīng)典的牛頓法收斂速度快，效率高，更有優(yōu)勢(shì)。(3)用弦割法解上述方程。解 取,雙點(diǎn)弦割法單點(diǎn)弦割法,一

14、直算到才有我們可以看出雙點(diǎn)法要比單點(diǎn)法收斂速度快，跟牛頓法比起來雖然避免了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但整體的迭代效率還是要低一些。所以總的來說，在保證了算法可行的前提下，改進(jìn)后的牛頓迭代法在求方程的解時(shí)迭代效率更高。但在求具體問題時(shí)如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)非常復(fù)雜或求導(dǎo)非常麻煩，再用牛頓法就會(huì)大大的增加計(jì)算量，所以在遇到具體問題時(shí)還是要具體分析，找到最合適的方法。4 迭代算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)我們知道迭代算法是用計(jì)算機(jī)解決問題的一種基本方法，利用各種原始迭代方法和改進(jìn)過后的迭代法解決高次線性方程組和非線性方程求根問題。研究迭代算法主要是通過以下幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)即確定迭代變量，建立迭代關(guān)系式和對(duì)迭代過程進(jìn)行控制來實(shí)現(xiàn)的一般思路。

15、我們分別用MATLAB程序通過具體實(shí)例來實(shí)現(xiàn)這些迭代法。4.1 高斯-賽德爾迭代法的MATLAB實(shí)現(xiàn)1)確定迭代變量A方程組的系數(shù)矩陣b方程組的右端項(xiàng)ep精度要求,省缺值1e-5it_max最大迭代次數(shù),省缺值100x方程組的解k迭代次數(shù)2)建立迭代關(guān)系式function x,k = Gau_Seid(A,b,ep,it_max)x,k = Gau_Seid(A,b,ep, it_max)3)對(duì)迭代過程進(jìn)行控制if nargin < 4 it_max = 100; endif nargin < 3 ep = 1e5; endif min(abs(d) < 1e10errore

16、ndn = length(b);x = zeros(n,1);k = 1;B = tril(A)tril(A,1);f = tril(A)b;While k < it_maxy = B*x + f;if norm(y x,inf) < ep break ; end x = y;k = k + 1;end例4 用高斯-賽德爾迭代法解第三章中例2,取,.經(jīng)MATLAB得到的解為即經(jīng)過25次迭代，得到方程的解.若想求解其他方程組的根，只需改變輸入的迭代變量即可。(詳細(xì)命令見附錄)4.2 非線性方程中牛頓迭代法的MATLAB實(shí)現(xiàn)1)確定迭代變量fun(x)求根的函數(shù),提供函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值x初

17、始點(diǎn)ep精度要求,省缺值為1e-5it_max最大迭代次數(shù),省缺為100x_star得到的解it求解所需的迭代次數(shù)2)建立迭代關(guān)系式function x_star,it = Newton(fun,x,ep,it_max)3)對(duì)迭代過程進(jìn)行控制if nargin < 4 it_max = 100; endif nargin < 3 ep = 1e5; endk=1;while k <= it_maxf,dotf = feval(fun,x);if abs(dotf)<1e10errorend x1 = x f/dotf ;if abs(x1x) < ep break

18、 ; end x = x1;k = k + 1;endx_star=x1;it=k;例5 用牛頓迭代法解方程 .取在附近的根,取.經(jīng)MATLAB得到的解為即經(jīng)過4次迭代，得到方程的解.(詳細(xì)命令見附錄)5 總結(jié)與展望5.1 本文總結(jié)本文主要針對(duì)高等數(shù)學(xué)中線性方程組和非線性方程的求根問題，給出了一系列常用的迭代算法，并通過對(duì)同一例題的不同方法的根的求解來分析比較，得出相對(duì)可行或計(jì)算效率較高的迭代方法。本文在第二章中介紹牛頓迭代法時(shí)針對(duì)牛頓法的一些缺陷給與了相關(guān)的不同的改進(jìn)方法，使牛頓迭代法更加完善，求根更加方便精確。另外在第四章中更是借助計(jì)算機(jī)中MATLAB程序來實(shí)現(xiàn)了方程(組)根的求解，使原本

19、繁復(fù)的計(jì)算過程很快的得到解決。5.2 工作展望 非線性方程求根問題的研究，目前主要還是圍繞單根的情形，且停留在局限性和效率高低的問題上。然而現(xiàn)實(shí)生活中還有很多很復(fù)雜的非線性方程是有重根的，對(duì)于這一類問題的研究現(xiàn)在還比較少，所以還需要更多的研究討論。而且就單根情況來講，迭代方法也并不是求根效率越高越好，我們不能盲目的為了計(jì)算量的減少而忽略近似解的精確度，要在保證根的準(zhǔn)確性的同時(shí)提高效率。在往后的研究中希望能有更好的更有針對(duì)性的方案來解決這些問題，從而提高迭代法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)1 張玲、劉俊芳.迭代法在解方程中的應(yīng)用J.高等函授學(xué)報(bào).2009,(4):10-122 李乃成、鄧建中.數(shù)值計(jì)算

20、方法M.西安交通大學(xué)出版社.2002:84-963 周煦、王杰臣.計(jì)算機(jī)數(shù)值算法及程序設(shè)計(jì)M.中國科學(xué)技術(shù)出版社.1997:179-2084 李麗容.對(duì)牛頓迭代法的改進(jìn)J.中國水運(yùn)(理論版).2006,(4):204-2065 藺小林、蔣耀林.現(xiàn)代數(shù)值分析M.國防工業(yè)出版社.2004:52-766 薛毅.數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算M.科學(xué)出版社.2011:58-1547 朱芳.求解非線性方程的改進(jìn)Newton迭代法D.合肥工業(yè)大學(xué).2013- 9 -致 謝大學(xué)四年的時(shí)光就這么不經(jīng)意間匆匆流過了,而我的本科畢業(yè)論文也終于完成了.在這里我非常感謝我的指導(dǎo)老師荊老師,我的論文的順利完成離不開荊老師的全力幫助

21、,無論是開始選題、初稿完成還是后期的論文修改,都離不開荊老師的悉心指導(dǎo),在材料搜集方面也給與了我很多幫助,讓我節(jié)省了不少時(shí)間與精力.在此,請(qǐng)?jiān)试S我向您表達(dá)我最真摯的謝意!當(dāng)然,我論文的完成也離不開身邊的朋友和同學(xué)們,正是你們的關(guān)心與幫助才能讓我能夠沒有后顧之憂的專心研究論文,另外,在與你們的討論中也給了我很多寫作的靈感還有鄭亞敏同學(xué)對(duì)我英文摘要部分的幫助.在此,也向你們表示感謝! 附 錄表1 雅可比迭代計(jì)算數(shù)據(jù)迭代次數(shù)方程組各次迭代根的近似值01.0000001.0000001.00000015.2500007.000000-5.75000020.7500002.125000-4.250000

22、34.4062505.875000-5.46875041.5937502.828125-4.531250573.0000044.000006-5.000001582.9999963.999996-4.999999表2 高斯-塞德爾迭代計(jì)算數(shù)據(jù)迭代次數(shù)方程組各次迭代根的近似值01.0000001.0000001.00000015.2500003.812500-5.04687523.1406253.882813-5.02929733.0878913.926758-5.01831143.0549323.954224-5.011444213.0000193.999985-5.000004223.0000133.999998-5.000002表3 逐次超松弛迭代計(jì)算數(shù)據(jù)()時(shí)迭代次數(shù)方程組各次迭代根的近似值01.0000001.0000001.00000018.6500001.472500-10.9373721.8921264.845811-0.130513532.7444545.977064-8.21472940.5353934.298935-2.293696643.0000013.999999-4.99999665