1、、向:的向量積：Nx萬axb = “23 _“3”2，“3方 1 _"上3，“12 _么21 ©,42，偽”«血厶 = 伉2勺一"3方2, “3%角A，嗆一臥«2«1«1 «2&2%99二、平面及其方程一.平面的點(diǎn)法式方程1. 平面的法線向量定狡：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向董。平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向董垂直。2. 平面的點(diǎn)法式方程已知平面上的一點(diǎn)"。(心兒心)和它的一個(gè)法線向董 = A,5C,對(duì)平面上的任一點(diǎn),有wMoM=O代入坐標(biāo)式，有：A(x - x0) + B(y -

2、y0) + C(z - z() = 0此即平面的點(diǎn)法式方程?！厩笃矫娣匠痰姆椒ā吭谄矫嫔险页鲆粋€(gè)點(diǎn);(2)找出一個(gè)與平面垂直的非零向量(法向).【例】求過點(diǎn)(1丄1),且垂直于平面x-j + z = 7和 3x + 2y _12工+ 5二0的平面方程.【解】«!=(!,-!, 1),厲=(3,2,12);取法向量n = nlxn2-11112-123-12= (10,15,5) = 5(21)；平面方程為化簡(jiǎn)得2(* 1)十 3(y 1)十(：;一1) = 0,化簡(jiǎn)得2x + 3> + z-6 = 0.【例】 求過和jV(0,1,-1)兩點(diǎn)，且垂直于 平面x十y十z = 0的平

3、面方程.【解】取法向量nMNx (1,1,1)=(-1,0,2) x (144)0 -21 >1 -2 - -(i ip |i 1 ? 1 =(2,1,1);平面方程為2(m)(Zi)=o,2x -y-z = 0.二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平面的一般方程為：Ax+ By + Cz + D = 0幾個(gè)平面圖形特點(diǎn)：D z?=o：通過原點(diǎn)的平面。2) »=0：法線向量垂直于x軸，表示一個(gè)平行于兀軸的平面。 同理：8=0或0=0：分別表示一個(gè)平行于y軸或z軸的平面。3) >4=5=0：方程為Cz+D = 09法線向#0AC),方程表示一個(gè)平行于xoy

4、面的平面。同理：Ax + D = 0 BY + D = 0分別表示平行于yoz面和xoz面的平面。4)反之：任何的三元一次方程，例如：5x + 6y 7z + ll = 0都表示一個(gè)平面，該平面的法向董為n = 5,6,-7例2：設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)(6-3,2),且與平面4x-y + 2z = 8垂直，求此平面方程。解：設(shè)平面為Ax + By + Cz + D = 09由平面過原點(diǎn)知 £) = 0由平面過點(diǎn)(6,-3,2)知6A3B + 2C = 0,2亓丄4,72 :.4A-B+2C=Q >A = B = 一一C所求平面方程為2x + 2y 3z = 05.兩平面間的關(guān)系和平面

5、束 設(shè)有兩個(gè)平面力Z嚴(yán)：憶* : 則兀F A2x + B2y + C2z + D2 =0 , 9A 2A2- 工sGG 一 G(1)兀I與花重合O半=字=A1 B2眄與眄平行O魚=魚=力2 “2町丄龍2 o 4舄+ GG = o ；(4)眄與 ”2相交 oA2:B2:C2.三、空間直線及其方程一、空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個(gè)平面的交線。故其一般方程為：y + C憶 + 9 = 0A2x+ B2y + C2Z + D2 = 0二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零向董叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點(diǎn)A/0(x0,y0,z0)和它的一方向向#s = ntji

6、.p,設(shè)直線上任一點(diǎn)為M(x,y,z),那么與s平行,由平行的坐標(biāo)表示式有：X-% _)'一兒 _ "Zuninp此即空間直線的對(duì)稱式方程(或稱為點(diǎn)向式方程)。例如I =二=三二2表示過點(diǎn)(1,2,3)且以s(2,0,-3)為方向向量20- 3的直線.【例】求過兩個(gè)相異飆（.5，幾昇0）和璟片石）的直線方程. 【解】所求直線是過化且以両為方向向量的直線.麗=（X 一 總- y0 比i 一心）因此所求直線方程為直線的兩點(diǎn)式方程.如設(shè)就可將對(duì)稱式方程變成參數(shù)方程（t為參數(shù)）x = x0 + mt三種形式可以互換，按具體要求寫相應(yīng)的方程。X + V 17例2:求過點(diǎn)（2, 1, 3

7、）且與直線 =垂直相交的直線方程.32-1解：先作一平面過點(diǎn)（2, 1. 3）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的法線向量），這平面 的方程為3（x-2） + 2（y-l）-（z-3） = 0再求已知直線與這平面的交點(diǎn)。將已知直線改成參數(shù)方程形式為焊-1+3t尸 1+2fz=-t32 13 3并代入上面的平面方程中去，求得t=-,從而求得交點(diǎn)為（一77 7 7以此交點(diǎn)為起點(diǎn)、已知點(diǎn)為終點(diǎn)可以構(gòu)成向量s即為所求直線的方向向董：$ = 2一彳,1一羅,3+刖=2,一1,4故所求直線方程為x _ 2 _ y _ 1 _ z _ 3-1求過直線z：且平行于X軸的平面.x + y + z =