1、第三講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用研熱點(diǎn)（聚焦突破）類型一 利用導(dǎo)數(shù)研究切線問題導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)；(2)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)例1(2012年高考安徽卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)aexb(a0)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為yx，求a，b的值解析f(x)aex，f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函數(shù)可得2b3，即b，故a，b.跟蹤訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x3x.(1)求曲線yf(x)的過點(diǎn)(1，0)的切線方程；(2)若過x

2、軸上的點(diǎn)(a，0)可以作曲線yf(x)的三條切線，求a的取值范圍解析：(1)由題意得f(x)3x21.曲線yf(x)在點(diǎn)M(t，f(t)處的切線方程為yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)x2t3，將點(diǎn)(1，0)代入切線方程得2t33t210，解得t1或，代入y(3t21)x2t3得曲線yf(x)的過點(diǎn)(1，0)的切線方程為y2x2或yx.(2)由(1)知若過點(diǎn)(a，0)可作曲線yf(x)的三條切線，則方程2t33at2a0有三個(gè)相異的實(shí)根，記g(t)2t33at2a.則g(t)6t26at6t(ta)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(t)的極大值是g(0)a，極小值是g(a)a3a，要使方程g(t)0

3、有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，需使a0且a3a0且a210，即a1；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，方程g(t)0不可能有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(t)的極大值是g(a)a3a，極小值是g(0)a，要使方程g(t)0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，需使a0，即a0，即a0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，所以當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0時(shí)，yax22x1為開口向上的拋物線，所以ax22x10在(0，)上恒有解；(2)當(dāng)a0，此時(shí)1a0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公

4、共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a24b時(shí)，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(，1上的最大值解析(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，因?yàn)榍€yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)當(dāng)ba2時(shí)，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0時(shí)，h(x)與h(x)的變化情況如下：00所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)1，即0a2時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間(，1上單調(diào)遞增，h(x

5、)在區(qū)間(，1上的最大值為h(1)aa2.當(dāng)1，且1，即2a6時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，1上單調(diào)遞減，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h()1.當(dāng)6時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，1上單調(diào)遞增，又因?yàn)閔()h(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h()1.跟蹤訓(xùn)練(2012年珠海摸底)若函數(shù)f(x)，在2，2上的最大值為2，則a的取值范圍是()Aln 2，)B0，ln 2C(，0 D(，ln 2解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)6x26x，易知函數(shù)f(x)在(，0上的極大值點(diǎn)是x1，且f(1)2，故只要在(0，2

6、上，eax2即可，即axln 2在(0，2上恒成立，即a在(0，2上恒成立，故aln 2.答案：D析典題（預(yù)測(cè)高考）高考真題【真題】(2012年高考遼寧卷)設(shè)f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b為常數(shù))，曲線yf(x)與直線yx在(0，0)點(diǎn)相切(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0時(shí)，2x11x2，故1.記h(x)f(x)，則h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，則當(dāng)0x2時(shí)，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0，2)內(nèi)是遞減函數(shù)又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0，2)內(nèi)是遞減函數(shù)又h(0)0，得h(x)0.于是當(dāng)0x

7、2時(shí)，f(x)0時(shí)，2x11x2，故1.令k(x)ln(x1)x，則k(0)0，k(x)10，故k(x)0，即ln(x1)0時(shí)，f(x)x.記h(x)(x6)f(x)9x，則當(dāng)0x2時(shí)，h(x)f(x)(x6)f(x)9x(x6)()93x(x1)(x6)(2)18(x1)3x(x1)(x6)(3)18(x1)(7x18)0.因此h(x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減又h(0)0，所以h(x)0，即f(x)g(x)；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】(1)由題知當(dāng)a1時(shí)，f(x)1，因?yàn)楫?dāng)0x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)1x0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為f(1)1.(2)證明因?yàn)閒(x)的極小值為1，即f(x)在(0，e上的最小值為1.令h(x)g(x)，h(x)，當(dāng)0x0，h(x)在(0，e上單調(diào)遞增，所以h(x)maxh(e)g(x).(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，f(x)a.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤(0，e，所以f(x)0，而f(x)在(0，e上單調(diào)遞減，所以f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，此時(shí)f(x)無最小值；當(dāng)0e時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，e上單調(diào)遞增，所以f