1、2020 年高考文科數(shù)學(xué) 基本初等函數(shù)題型歸納與訓(xùn)練題型歸納】12題型一 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例 1 已知冪函數(shù) y f x 的圖象過點(diǎn) （ ， ），則 log2 f 2 的值為 （A. 12答案】解析】由冪函數(shù) f x1 2 1 xa的圖象過點(diǎn)（21，22），得 f（21）(12)，a1，則冪函數(shù) f x x2 ，1222 ， log 2 f2 1 . 故選 A.2易錯(cuò)點(diǎn)】 冪函數(shù)的運(yùn)算法則，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式思維點(diǎn)撥】 熟練掌握冪函數(shù)的函數(shù)類型f x xa .例2 如果冪函數(shù) f1 2 3ppx 2 p p 2 p Z是偶函數(shù)，且在0,上是增函數(shù)，p 的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù) f x 的解析

2、式答案】 p 1 ， f2x.解析】 因?yàn)?f x 在0, 上是增函數(shù)，所以 12 p2 p3 0 ，所以 12p 3.又因?yàn)?f x 是偶函數(shù)且 p Z ，所以p 1 ，故 f x2x.易錯(cuò)點(diǎn)】 易忘記 p Z 這一關(guān)鍵條件，以及冪函數(shù)在0,遞增時(shí)指數(shù)的特征 .【思維點(diǎn)撥】 熟練掌握冪函數(shù)的函數(shù) f x xa 的奇偶性特征，以及冪函數(shù)在0,數(shù)的指數(shù)恒為正數(shù) .題型二 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（最值）例 1 已知 f x x2 3x 5 ， x t, t 1 ，若 f x 的最小值為 h t ，寫出 h t上是單調(diào)遞增時(shí)冪函的表達(dá)式 .25t 2 5t 1(t )2 答案】 h(t)249 ( 5

3、2 t23)4 2223t 2 3t 5(t)23解析】 如圖所示，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為 x 3 21）當(dāng)35t 1 3 ，即t時(shí)，htf t 1222）當(dāng)31，即53時(shí)， h tttt2223）當(dāng)t 3 時(shí)，htf tt23t5.22t2 5t 1.3 29 f24t2 5t 1 t 5 ,2綜上可得 h(t) 29 5 t 34 2 2 t2 3t 5 t 3 .2易錯(cuò)點(diǎn)】 首先要注意二次函數(shù)的開口方向，然后才可以根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸去進(jìn)行分類討論思維點(diǎn)撥】 所求二次函數(shù)解析式（所以圖像也）固定 ,區(qū)間變動(dòng) , 可考慮區(qū)間在變動(dòng)過程中 , 二次函數(shù)的單調(diào)性 ,從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在

4、區(qū)間上的最值例 2 已知函數(shù) f x2x2x2x若關(guān)于 x 的不等式 f x222 af x b2 0恰有 1個(gè)整數(shù)解，則2x實(shí)數(shù) a 的最大值是 （A2B5D8答案】 D解析】作出的圖象如圖實(shí)線部分所222 af x b2 0 得a a2 4b2a a2 4b2，若 b 0，則 f x 0滿足不等式，即不等式有 2 個(gè)整數(shù)解，不滿足題意，所以 b0 ，所以 a f x0 ，且整數(shù)解 x 只能是 3，當(dāng) 2 x 4 時(shí)，所以 8 a 3，即 a 的最大值為 8，故選 D.【易錯(cuò)點(diǎn)】 這是二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，務(wù)必理清楚和掌握函數(shù)的圖像 .【思維點(diǎn)撥】 根據(jù)數(shù)型結(jié)合畫出函數(shù)的圖像，然后利用方程的求

5、根公式進(jìn)行解題題型三 指數(shù)函數(shù)0.8 0.8R上是增函數(shù)， 且 0 20.8 2 log24 log2 4.1 log25，所以 f 20.8f log2 4.1log2 15，即例 1 已知奇函數(shù) f x 在 R 上是增函數(shù) . 若 a1 f log2， b f log24.1， c f20.8 ，則 a,b,c的大小關(guān)系為() .A. a b c B. b a cC.cbaD.cab【答案】 C【解析】 因?yàn)?f(x)在 R上是奇函數(shù)，所以 af log2 1f log2 1flog2 5 ，又因?yàn)閒 (x) 在55c b a.故選 C【思維點(diǎn)撥】 本題主要考查函數(shù)的奇偶性與指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)

6、算，為基礎(chǔ)題。首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù) 運(yùn)算法則， a f log25 ，再比較 log2 5,log 2 4.1,20.8比較大小 .x 1,x 01例2 設(shè)函數(shù) f(x)2xx , 1x,x0 0 ，則滿足 f(x) f(x 21) 1的x的取值范圍是 答案】2解析】x 1 時(shí)，不等式為22x1恒成立；1當(dāng) 0 x ，不等式22x當(dāng) x 0 時(shí)，不等式為11 1 恒成立；21x 1 1 ，解得 x21 ，即 1 x 0 ；441,4 思維點(diǎn)撥】 本題以分段函數(shù)綜上， x 的取值范圍為）含指數(shù)函數(shù)）為載體，求解不等式?？疾榱朔诸愃枷?。解題需注意；(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自

7、變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn) f f a 的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值（2） 當(dāng) 給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值， 切記要代入檢驗(yàn)， 看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍題型四 對(duì)數(shù)函數(shù)例 1 已知函數(shù) yloga(xc）（ a,c 為常數(shù)，其中 a 0,a 1）的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是Aa 0,c 1 a 1,0 c 0 a 1,c 1 D 0 a 1,0 c 15答案】解析】由圖象可知0a1，當(dāng) x 0 時(shí)，loga(xc) logac 0，得 0 c 1例 2 若函數(shù) f （x）log2

8、 x, x log1 (20x),x 0, 若f (a) f (a） , 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）A1,0) U (0,1)（, 1)U (1, )C1,0) U (1, )（, 1) U (0,1)答案】解析】由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a 的正負(fù)進(jìn)行分類討論 .a0a<0f(a) f( a)log2alog1a或 log1 ( a) log2( a)22a0a01或1a1或1 a 0aa2a例3 若函數(shù) y ax （a 0,且a 1）的值域?yàn)?y|y 1 ，則函數(shù) y loga x的圖象大致是 （ ）【答案】 B【解析】由于 y ax 的值域?yàn)?y|y 1 ， a 1，則 y l

9、oga x在 0, 上是增函數(shù)，又 函數(shù) y loga x的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱.因此 y loga x的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng) B.【思維點(diǎn)撥】 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a 的影響，解決與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù) a的范圍 .題型五 函數(shù)的應(yīng)用例1 某食品的保鮮時(shí)間 y （單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度 x （單位： ）滿足函數(shù)關(guān)系 y ekx b（e 2.718為自 然對(duì)數(shù)的底數(shù)， k，b為常數(shù)）. 若該食品在 0 的保鮮時(shí)間是 192小時(shí)，在 22 的保鮮時(shí)間是 48小時(shí)， 則該食品在 33 的保鮮時(shí)間是 小時(shí) .【答案】 24【解析】 由已知條件，得 192

10、eb ，22k b b 11 2又 48 e e e ， e11k 1 ，設(shè)該食品在 33 的保鮮時(shí)間是 t 小時(shí)，2 則 t e33k b 24.【思維點(diǎn)撥 】重點(diǎn)考察對(duì)指數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的理解和計(jì)算 .鞏固訓(xùn)練】冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.函數(shù) f x m2 m 1 xm是冪函數(shù)，且在 x 0, 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) m的值是 （ ）答案】 B解析】 由題知m2 m 1m011，解得 m 2.故選 B.112.已知 2, 1, , ,1,2,3 ，若冪函數(shù) f (x) x 為奇函數(shù)，且在 (0, )上遞減，則221【答案】 1解析】 由題意 f ( x)為奇函數(shù)，所以 只能取 1,1,3，又 f(x)

11、 在(0, )上遞減，所以a3. 已知冪函數(shù) f x xa 的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x112fx122則不等式 f x 2 的解集是答案】 4, 4解析】1由 f(12)12 ，故fxx 4 ，故其解集為4, 4 .1. 已知 a,b,cR ，函數(shù) f xax2 bx c. 若 f0f4f1，則( ).A. a 0 ，4a b 0B.a0，4ab0C. a 0 ，2a b 0D.a0，2ab0【答案】 A【解析】 因?yàn)?f0 f 4 >f 1 ，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，即a>0，且其對(duì)稱軸為 x 2 ，即所以 4a b 0，故選 A.2x 1x02. 已知函數(shù) f x2，若函數(shù) g x

12、fxm有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)最值)題型x 2x2ba 2，答案】 0, 1解析】若函數(shù) g x f x m有3個(gè)零點(diǎn)，即 y f x 與 y m有3個(gè)不同的交點(diǎn)， 作出 f x 的圖象和 y m 的圖象，可得出 m 的取值范圍是 0, 1 3. 已知對(duì)任意的1, 1 ，函數(shù) f xC (1,2)0 ，則 x 的取值范圍是 ()A(1,3)B ( ， 1) (3 ，)D( ， 2) (3 ，)答案】解析】x 4 2a x 22 ax4x4.令 g a x 2 a2x 4x 4 ，則由題知，當(dāng)a 1,1 時(shí)，0 恒成立，則須g( 1)g(1)0，0解得 x 1或

13、x 3. 故選B.題型三指數(shù)函數(shù)1. 已知 0 a 1 ，則函數(shù) y ax 和 y(a1)x2 在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能是圖中的(A.C.D.B.答案】解析】根據(jù)題意，由1，函數(shù)ax 在 R 上為減函數(shù)，可排除選項(xiàng) A、C，又 1a 1 0，則函數(shù) y (a 1)x2 的圖象是開口向下 . 故選 D.2.已知函數(shù) y a2 b(a 0且a 1 )的圖象如下圖所示，則 a b的值是 答案】 6解析】 由函數(shù) yax b(a 0且 a 1)過點(diǎn) (2,0),(0, 3) 代入表達(dá)式得：所以 a b 63. y 2a 與函數(shù)xa10且 a 1 的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 2,b 4 ，a

14、的取值范圍是答案】0,12解析】a 0且 a1 的圖象由 y ax 的圖象向下平移一個(gè)單位，題型四1. 若點(diǎn)A答案】x 軸上方得到， 分 a1和 0 a需要 0 2a1 ，即 0 a時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)1 兩種情況分別作圖， 如圖所示，再將 x 軸下方的圖象翻折到 a 1 時(shí)不合題意； 0 a 1，故答案為 0,1 .2(a,b) 在 y圖像上，lgx)則下列點(diǎn)也在此圖像上的是(1( ,b)aD (10a,1 b) C(10,b 1)a(a2,2b)11解析】 當(dāng) x2a 時(shí)， y22lga2 2lg a 2b ，所以點(diǎn) (a2,2b) 在函數(shù) ylg x 圖象上2. 如果 log 1 x2log 1 y20, 那么( )Ayx1x答案】解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得 x y 1 3.當(dāng)0x1時(shí)， 4x loga x，則 a的取值范圍是2A(0, 22),1)(1, 2) ( 2,2)答案】0a解析】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像知loga 121 ，解得42故選 B.4 已知 ab 1，若 log a b log b aba，則 a=，b=答案】42解析】設(shè) log b a t ，則 t 1 ，因?yàn)閠1tt 2 a b2 ，2b