1、2常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)三角級數(shù)收收斂斂半半徑徑r r泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)0)(xr為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為函數(shù)為函數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容3 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinn

2、uuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散4性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)5常數(shù)項(xiàng)級

3、數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級級 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂若若ssn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù)4.絕對收斂絕對收斂6定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)收斂ns2 2、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnn

4、vuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .7(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時(shí)，若時(shí)，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時(shí)時(shí), 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;8設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù),如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),則則級級數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim

5、存存在在,則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂.(3) (3) 極限審斂法極限審斂法9(4) (4) 比值審斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 d dalembertalembert 判別法判別法) )設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂;1 時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂; ; 1 時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)散; ;1 時(shí)失效時(shí)失效. .1

6、0定義定義 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項(xiàng)其余 項(xiàng)nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法11定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收

7、斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法125 5、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在ri 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間i上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域如如果果ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 10)

8、(nnxu收收斂斂,13則稱則稱0 x為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù))(1xunn 的所有收斂點(diǎn)的全體稱為的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .14(1) (1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6

9、 6、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 015如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (abelabel 定理定理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性16如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)r存存在

10、在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)rx 時(shí)時(shí),冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)rxrx 與與時(shí)時(shí), ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論17定義定義: : 正數(shù)正數(shù)r稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1r;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 r.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), r;18a.a.

11、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minrrr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算19乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)20b.b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(rr

12、 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂,則則在在端端點(diǎn)點(diǎn)單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(rr 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(rrx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(rr 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.217 7、冪級數(shù)展開式、冪級數(shù)展開式 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在

13、點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).(1) 定義定義22定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xu 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)0)(lim xrnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .23(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )

14、步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積逐項(xiàng)積分分等方法等方法,求展開式求展開式.24),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式25

15、)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x26(1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在任意兩個(gè)不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系8 8、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)27 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數(shù)

16、傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數(shù)三角級數(shù)28其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數(shù)稱為傅里葉級數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa29(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(dirichlet(dirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),并并且且至至多多只只有有有有

17、限限個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn),則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于)(xf;(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí), 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當(dāng)當(dāng)x為為端端點(diǎn)點(diǎn) x時(shí)時(shí),收收斂斂于于2)0()0( ff.30 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù).(4) (4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數(shù)數(shù)時(shí)時(shí),它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 ,

18、 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann31 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時(shí)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù).32奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxf令令的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓33偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xx

19、fxxfxf令令的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x34式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數(shù)的傅氏展開的周期函數(shù)的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln35二、典型例題二、典型例題;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例1 1解解nn

20、nnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn 36nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散37;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收斂收斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂38 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnn

21、nn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí)從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn 39,時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)1101aa原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原級數(shù)為原級數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散40斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收散，斂？如果收散，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù) 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散

22、而而 nn,lnln)(發(fā)散發(fā)散1111nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂41,ln)1(1級數(shù)級數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf42,), 1(上單增上單增在在,ln1單減單減即即xx ,1ln1時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂43課堂練習(xí)課堂練習(xí):1判別下列級數(shù)的斂散性:

23、;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;23cos)3(12nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn提示提示: (1) ,1limnnn當(dāng)nn 11nn故,)1 (11nnnn利用比較判別法,可知原級數(shù)發(fā)散而調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的 ,0n時(shí), 有44利用比值判別法 , 可知原級數(shù)發(fā)散 .用比值判別法, 可判斷級數(shù)12nnn收斂，因 n 充分大時(shí),ln1110nn由 發(fā)散,21nn知原級數(shù)發(fā)散 . :2) !()2(122nnn:23cos)3(12nnnn:ln1)4(210nn: )0,0()5(1sanansn用比值判別法可知:時(shí)收斂 ;時(shí)發(fā)散 ;時(shí),

24、 與 p 級數(shù)比較可知:時(shí)收斂1s時(shí)發(fā)散從而原級數(shù)收斂 .1s1a1a1a452 討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:;1) 1() 1 (1npnn;1sin) 1()2(111nnnn;1ln) 1()3(1nnnn;! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) 1p時(shí), 絕對收斂 ;10 p時(shí), 條件收斂 ;0p時(shí), 發(fā)散 .(2) 因各項(xiàng)取絕對值后所得強(qiáng)級數(shù)111nn收斂 , 故原級數(shù)絕對收斂 .46;1ln) 1()3(1nnnn)11(ln1lnnnnun因單調(diào)遞減 , 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原級數(shù)條件收斂條件收斂

25、 .kknk1ln1nlim由leibniz判別法知級數(shù)收斂收斂 ;0limnnu47;! ) 1() 1()4(11nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn,11e所以原級數(shù)絕對收斂 .48例3 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)1nnu和1nnv12)(nnnvu也收斂 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu 存在 n 0 ,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2nnvunn利用收斂級數(shù)的性質(zhì)收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法比較判斂法易知結(jié)論正確 .都收斂 , 證明級數(shù)當(dāng) n n 時(shí)2)(nnvu 49例例4. 若級數(shù)1nna與1nnb均收斂

26、, 且nnnbca, ),2, 1(n證明級數(shù)1nnc收斂 .證證: nnnnabac0, ),2,1(n則1nna與1nnb收斂)(1nnnab 收斂)(1nnnac 收斂1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收斂50),()(,21121211naaaannn設(shè)設(shè)證明級數(shù) 收斂。 111nnnaa證明： 111211nnnnnaaaaa)(02112121nnnnnnnaaaaaaa)(從而數(shù)列 的極限存在 na111110nnnnnnnaaaaaaa考察正項(xiàng)級數(shù) ，設(shè)它的部分和為 ，則 11nnnaa)(ns5例例51nknkknaaaas1111)(因 存在，故 存在，

27、 1nnalimnnslim也就是正項(xiàng)級數(shù) 收斂。 11nnnaa)(由比較審斂法知原級數(shù)收斂。52和和函函數(shù)數(shù)求求12nnxnn)(),(,11冪級數(shù)的收斂區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間為顯然顯然11112nnnnnnnxxnnxnn)()(12111nnnnnxxsxnnxs)(,)()(設(shè)設(shè)nxnxndxxnn)()(1101xnnxdxxn011)()()( 111nnxxxs6例例53321121)()()(xxxxxxs 21211)()()()(xxxxxxxxsnn同同理理111311223230 xxxxxxxxxnnnn,)()()()()(54.)1)(1(0斂域及和函數(shù)斂域及和

28、函數(shù)收收求級數(shù)求級數(shù) nnxn例例7 7解解, 1)1)(1(0 rxnnn斂半徑為斂半徑為的收的收, 111 x收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)? 20 x即即則有則有設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分55 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對兩邊再對 x)21()( xxxs.)2(12x 56.1lnarctan)(2克勞林級數(shù)克勞林級數(shù)展開成麥展開成麥將將xxxxf 例例8 8解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(

29、216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(157 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x58的冪級數(shù)的冪級數(shù)成成的和函數(shù)展開的和函數(shù)展開將級數(shù)將級數(shù))1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例9 9解解設(shè)法用已知展開式來解設(shè)法用已知展開式來解的展開式，的展開式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()

30、1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x5921sin21cos221cos21sin2 xx 012021)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(6011111nnnnn)( )(、11111111nnnnnnnnnn)()( )(:解解nnnsn11111131212111)()()(11111nnnnn)( )(求下列級數(shù)的和求下列級數(shù)的和例例

31、1061023112nnnnn)(、nnxnn021)(設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)其收斂域?yàn)?-1，1)，和函數(shù)為 ，則 )(xs020211nnnnnnxxnnxnnxs)()()(xxxxxxxnn 111112222)()(1111232|,)(xxxx32273131120)()(snnnnn:解解62形形函數(shù)，同時(shí)畫出它的圖函數(shù)，同時(shí)畫出它的圖寫出該級數(shù)的和寫出該級數(shù)的和的正弦級數(shù)并在的正弦級數(shù)并在為周期為周期內(nèi)展開成以內(nèi)展開成以在在將將 2220cos xxx例例1111解解,cos),(,sincos2), 0(cos)(1進(jìn)行奇開拓進(jìn)行奇開拓內(nèi)對內(nèi)對必須在必須在周期的正弦級數(shù)周期的正弦級

32、數(shù)為為內(nèi)展開成以內(nèi)展開成以在在要將要將xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxf令令63 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na64 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上級數(shù)的和函數(shù)為上級數(shù)的和函數(shù)為在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs65和函數(shù)的圖形為和函數(shù)的圖形為xyo 2 266的和的和由此求級數(shù)由此求級數(shù)為周期的付氏

33、級數(shù)，并為周期的付氏級數(shù)，并以以內(nèi)展開成內(nèi)展開成將函數(shù)將函數(shù) 1212)11(2)(nnxxxf例例1212解解,)11(2)(是偶函數(shù)是偶函數(shù) xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn67 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x68, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11k

34、knkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 69時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)證明：證明：624cos2212 xxnnxn例例1313解解,24)(2xxxf 設(shè)設(shè)上展開成余弦級數(shù)：上展開成余弦級數(shù)：在在將將, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 02cos)24(2dxnxxan70sin)22(sin)24(2002nxdxxnxxxn nxdxncos)22(202 222 n.12n )0(cos6241222 xnnxxn故故624cos2212 xxnnn71一一、 選選擇擇題題: :1 1、下下列列級級數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是

35、( ( ) ). . ( (a a) ) 11nn； ( (b b) ) 11nnn； ( (c c) ) 1321nn； ( (d d) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列級級數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) 11)45( nn； ( (b b) )11)54( nn； ( (c c) )111)45()1( nnn； ( (d d) ) 11)5445(nn. .測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題723 3、下列級數(shù)中、下列級數(shù)中, ,收斂的是收斂的是( )( ) (a) (a) 1222) !(nnn； (b) (b) 1!3nnnnn； (c) (c) 22si

36、n1nn； (d) (d) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和數(shù)列、部分和數(shù)列 ns有界是正項(xiàng)級數(shù)有界是正項(xiàng)級數(shù) 1nnu收斂的收斂的 ( ( ) ) (a)(a)充分條件；充分條件； (b) (b)必要條件；必要條件； (c)(c)充要條件；充要條件； (d) (d)既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件 . .735 5、設(shè)、設(shè)a為非零常數(shù)為非零常數(shù), ,則當(dāng)則當(dāng)( )( )時(shí)時(shí), ,級數(shù)級數(shù) 1nnra收斂收斂 . . (a) (a)1 r； (b) (b)1 r； (c) (c)ar ； (d) (d)1 r. .6 6、冪級數(shù)、冪級數(shù) 11)1()1(nnnnx的收斂區(qū)間是的收

37、斂區(qū)間是( ).( ). (a) (a) )2 , 0(； (b) (b) )2 , 0； (c) (c) 2 , 0(； (d) (d) 2 , 0. .747 7、若冪級、若冪級 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為:1r 10r; ; 0nnnxb的收斂半徑為的收斂半徑為:2r 20r, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù) 0)(nnnnxba的收斂半徑至少為的收斂半徑至少為( )( ) (a)(a)21rr ； (b) (b)21rr ； (c)(c) 21,maxrr； (d) (d) 21,minrr . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 r時(shí)時(shí), ,級數(shù)級數(shù)21)1(nnknn 是是( )( ) (a) (a)條件收斂；條件收斂； (b) (b)絕對收斂；絕對收斂； (c) (c)發(fā)散；發(fā)散； (d) (d)斂散性與斂散性與值無關(guān)值無關(guān)k. .759 9、0