1、圖1 RLC串聯(lián)電路類比法在電路分析中的應(yīng)用F0903003 5090309181 鄭家驍摘要：本論文討論了類比其他物理模型，從而簡化高階電路分析的可行性與具體實(shí)現(xiàn)方法。 然后討論通過類比特定電路模型解決其他問題的方法 關(guān)鍵詞：類比法電路分析機(jī)械振動(dòng)光速前言：眾所周知，電路分析的基本方法是根據(jù)電路元件的拓?fù)潢P(guān)系和KVL, KCL定律，列出方程，再結(jié)合支路元件的電氣特性進(jìn)行求解。而動(dòng)態(tài)元件的出現(xiàn)將會(huì)導(dǎo)致列出的方程可能包含高階微分項(xiàng)，給求解帶來麻煩。而恰當(dāng)使用類比法， 就可以將復(fù)雜的高階電路轉(zhuǎn)化成相對(duì) 簡單的物理模型進(jìn)行求解 正又：1）類比機(jī)械振動(dòng)求解高階電路響應(yīng)首先我們可以從一個(gè)簡單但是典型的例

2、子入手探討求解的方法。如圖是一個(gè)沒有激勵(lì)源的 RLC串聯(lián)回路，試求其 零輸入響應(yīng)。這個(gè)電路對(duì)應(yīng)電路方程是二階齊次微分方程：（取電容帶電量Q為因變量）-bv圖2彈簧振子系統(tǒng)求解這個(gè)方程是有一定難度的。卜面我們?cè)倏次覀冚^為熟悉的物理模型：彈簧振子機(jī)械振動(dòng)。如圖是一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)，取向右為正方向，假定振子系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)還受到與速度方向相反，大小正比于速度大小的阻力bv,則根據(jù)牛頓第三定律，其力學(xué)方程可寫為：化簡可得:d， dx哧+ b不+壯=。P）比照（1） （2）兩式，不難發(fā)現(xiàn)，若令 k= m=L, R=b, x=Q,則兩個(gè)方程完全相C等，所以這種形式的振子系統(tǒng)和RLC串聯(lián)電路完全可以一一對(duì)應(yīng)起來。

3、根據(jù)我們非常熟悉的力學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，阻尼振子運(yùn)動(dòng)方程的解為：胸一歸- + (L + Lr)令 k =、m=L, R=b, x=Q,代入（3）式，可得 ta）欠阻尼情況:x = ADe_ptcos(tjt+cp)b）過阻尼情況:不失代表性，本文僅討論欠阻尼情況下的解，其他情況類似，讀者可自行討論。兩側(cè)同除以C可得:Q = cos這個(gè)式子與我們使用經(jīng)典法解出的表達(dá)式結(jié)論是一樣的。以上只是最簡單的電路，那么如果電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更加復(fù)雜一些又該怎么樣 呢？我們可以在RLC電路中再串聯(lián)進(jìn)一個(gè)電感，記為L',顯然，（1）式改寫為c)臨界阻尼情況:x = (ct + c3t)e-ptk', （2）

4、式改寫d2x dx仙+向)而+ b蕭+h = 0而若在彈簧振子模型中振子的另一端再連接一個(gè)一端固定的彈簧若想重新建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)滿足 k+F="1+ni"則m =k.可見若是在回路中添加串聯(lián)電感對(duì)應(yīng)著振子質(zhì)量的增加。同理，添加并聯(lián) 電感對(duì)應(yīng)振子質(zhì)量倒數(shù)的增加；并聯(lián)電容對(duì)應(yīng)振子勁度系數(shù)增加，串聯(lián)電容對(duì) 應(yīng)振子勁度系數(shù)倒數(shù)增加。當(dāng)然，也可以選取回路中其他參量(例如電流)作為因變量，此時(shí)對(duì)應(yīng)構(gòu) 建的振子模型參數(shù)與電路參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系將發(fā)生變化，在此不再贅述。類比法求解電路方程在電路比較簡單的時(shí)候具有計(jì)算簡便速度快的優(yōu)點(diǎn)， 但是在電路較為復(fù)雜的時(shí)候由于對(duì)應(yīng)的振子模型難以構(gòu)建，或者即使

5、構(gòu)建出來，振子模型也需要另外求解，因而并不適用。2)類比電路求解其他物理模型：本文以求解光速為例，討論類比電路在求解其他物理模型時(shí)的應(yīng)用。我們先來看一個(gè)電路模型：如圖是一個(gè)無限長LC網(wǎng)絡(luò)，角頻率為m的交流電電流波沿著它傳播，相鄰兩電容上的交流電相移為ULn-lULn十/丫"Y"VA牛|八八“HJen |Icn4lkn-1Ucn*l因網(wǎng)絡(luò)無限，由對(duì)稱性各電容電感電參量幅值均相等，可記作UCn = UDsin(<ji)t-n(p)假設(shè)電流向右傳播，最左端 n=0,由于網(wǎng)絡(luò)中沒有阻性元件，可得到:UCq = Uosinu)t【的 二 1口85就ULd =UDcosa)t%

6、= losing則圖中L = Io cos(o)t-nq>) = wCUacos(o)t-n(p)由 KVL:Uc +Ul -IL =0二 U0(sin(u)it- (n + l)(p)- sinf tot-nq)由KCL1cli = 口-*將前述結(jié)論代入wCU0cos(u)t-n(p) =4 cp3c cos（忒-叫）=-riir yCOS（tnt- up）其對(duì)所有t恒成立，故：小LC = 4s好彳二 2（1 - cos中） £1 .cp =arcc®(l-(A)iLC)一要求，二.定義電流波的速度為某一相位在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離， ,1 一A4 一, 血聞則V二一又甲二Mlt 得到v二一二At甲 arrmip-uC）眾所周知，電磁波傳播的速度與頻率無關(guān)，下面開始考慮什么情況下電流 波傳播速度也與頻率無關(guān)。注意到 sl時(shí)，且tosip 二"MC得到. .而此時(shí)，血 血Iv = =；=v arccos（l-aLC）如現(xiàn)在我們將這個(gè)模型應(yīng)用與真空當(dāng)中，如圖是兩塊平行載流平面，現(xiàn)在截 取其高為h,長為1,間距為d的一個(gè)區(qū)域。顯然整個(gè)空間是由許許多多這樣的單元構(gòu)成?？紤]一列平行于1方向的電磁波，首先令單元的尺度足夠小，使的滿足 始相;«L則前面討論的模型可以 適用。求出正對(duì)面積間的電容，和假定兩平面