1、1Chp.11 中緯度大尺度運動中緯度大尺度運動的準地轉理論的準地轉理論211.1準地轉運動的分類準地轉運動的分類 由前幾節(jié)可知，大氣中風壓場間是近于地轉關系的，這與實況一 致，當然，這種地轉氣流又不停做緩慢的演變，也正因如此，才有系 統(tǒng)的發(fā)生和發(fā)展。 從本節(jié)起，將對這種大氣中的準地轉運動的變化加以分析與討論。回 憶：本章第一節(jié)曾指出：地轉適應中位勢運動重要，而達準地轉緩慢 演變后，渦旋運動為主，故以下討論將從天氣尺度 出發(fā)：渦度方程) 1(0R垂直渦度方程準水平運動天氣尺度3由此得一個重要關系：尺度分析)11.11()(.VfvVt aUfLU022HWHWf0)(0aLLfULU，故有：其

2、中， 是散度項大小， 是渦度項大小。HW)(0SRLU散地渦相渦HWfaUfLUHWfUaLULUULLU0022021/對流層厚度H柯慣數(shù)/Ro幾何尺度參數(shù)S這樣，按Rossby數(shù)與S之相對大小，可將準地轉運動分為兩類：)3.11()(SRLUHWo）地轉（相對渦度散度4第一類準地轉運動第一類準地轉運動（10 RS）（11.7）表明：第一類準地轉運動中，垂直速度量級甚小于從連續(xù)方程中 估計出的量級。VDLU再看（11.6），左邊實為水平散度的量級，右邊實為的量級，即 D10R表明：這類準地轉運動具有渦旋運動為主的特點。由（11.6） 可知： WHRLU0WgHUf20.1，若認為它與絕熱方程

3、分析出的大小相當，0HRLUHLgHUf20.10fg即：（11.9）10R1S天氣尺度運動，水平運動尺度小于地球半徑0RS0RHWLUR0（11.3）中S相對于可以略去：（11.6）10RLHUW 而上式中，故有（11.7）)3.11()(SRLUHWoLDUWLUDW估計出而由連續(xù)方程補償原理LfURo05表明：運動的水平尺度L及垂直尺度H還與靜力穩(wěn)定度有關。22HL20fg故（11.9）還是兩端平方去掉根號： ，故有：RRILfUUHg022022)( iRR .2011（11.11）10R1iR表明：必與同時成立，即層結高度穩(wěn)定必與準地轉相呼應。第一類準地轉運動實際上指中緯度天氣尺度運

4、動或水平尺度小于地球半徑第一類準地轉運動實際上指中緯度天氣尺度運動或水平尺度小于地球半徑的的大氣長波，又稱為天氣尺度準地轉運動。大氣長波，又稱為天氣尺度準地轉運動。SR 0第二類準地轉運動第二類準地轉運動（1）超長波尺度的準地轉運動S1運動的水平尺度L與地球半徑a相當，故可稱行星尺度準地轉運動。 SR00R（11.3）中可略去，得：HWaUaLLUSLU.HWaU，即（11.13）22UHgRi22UU乘以超長波最早由伯格提出)3.11()(SRLUHWo6表明：渦度方程（11.1）中，主要由散度項與項平衡，而渦度的水平方向 個別變化不重要，因而運動是準定常的；而且W與U成正比，而與L無關。D

5、LUHW/而S1,表明：水平散度與渦度量級相當。進一步，還可得出由渦度方程尺度分析估計出的垂直速度量級：SHLUgHUf201W，若認為它與由絕熱方程估計出的W量級相當，則有：22UgHRi表明：與L無關，但與U有關。考慮 ，H002RRLagHULfUi1S考（11.15）：1 （11.16）)17.11(1120SRRROi或為便于比較：寫出與(11.11)類似的式子：表明：（11.17）與（11.11）相比，兩者具有不同。教材對這兩類準地轉運動各自的條件及特征作了很好的歸納。請同學看書寫出總結。)15.11(1020agHUfHgHUfHSLU711.2 準地轉運動方程組準地轉運動方程組

6、攝動法攝動法11.2.1 攝動方法與多尺度方法攝動方法與多尺度方法 在自然科學的許多領域內，因為控制方程的非線性、變系數(shù)、邊界條件的復雜性等等，很多問題難以求得解析解，為了尋求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（小擾動方法、級數(shù)解法）和數(shù)值解法，或者而發(fā)的結合使用。 近似方法中有一種重要的攝動方法，在頻散波能量傳播和Rossby波共振相互作用等方面已有廣泛應用，取得了不少成果。奇異攝動理論實為一龐雜體系，這里僅簡述其思路步驟，再由實例加以運用：（1）對方程和定解條件進行無量綱化；（2）選取一個合適的攝動量，它是一個無量綱的小的（或大的）參數(shù)；（3）將方程的解按此展開為冪級數(shù)，如

7、u=u0+ u1+ 2u2+; (4)將該級數(shù)代入到無量綱方程，可得關于小參數(shù)的各級近似方程，繼而可確定出冪級數(shù)的各個系數(shù)u0、u1、u2、；（5）若是正規(guī)（則）攝動問題，就可對級數(shù)進行截斷，便得到原方程之漸近解uu0+ u1+ 2u2BrillouinKramersWentzel&,小參數(shù)方法，8將代入，有：展開為冪級數(shù)：）將解按（數(shù)為攝動量；取得無量綱方程：兩端除以代入上式，有無量綱化，?。悍至糠匠汤纾瑢\水方程組動問題。有效的問題，稱奇異攝漸近解在區(qū)域上非一直動問題；反之，一攝動問題成為正則攝上市一直有效的，則這量級，即漸近解在區(qū)域中，后項量級小于前項：漸進展式的相鄰兩項，若在

8、整個區(qū)域內滿足對于合理的小.)21.11(.3)2(0)1 ()(,0)1 ()19.11(),1 (,),(),(),(),() 1 (, 0 11.2.2*22*1*0*22*1*0*22*1*0*00*0*0*2*2*2*0*0*oooooooooooRRvRvRvvuRuRuuRRxvyRuyvxutLfUUfxUfUvyRfyuvLUxuuLUtuLUyRffLUftULtvuUvuyxLyxxfvyuvxuutux*001LUfyfu可以取為攝動量,101oR01010102*102611UL9)23.11(0)22.11(00.,0.1.*1*0*1*0*0*0*0*0*0*0*

9、10*0*1*20*0*0*10*0*1*130*0*120*1*020*0*00*1*130*0*120*1*020*0*00*120*00*10*0*10*0*0*10*0*10*0*10*0*0 xvyvyuvxuutuxvxRxvyRvyRvRvyuvRyuvRyuvRyuvRxuuRxuuRxuuRxuuRtuRtuRRxvRvyRuRuyvRvxuRutR一級近似：零級近似：即有：1011.2.3第一類第一類斜壓斜壓準地轉運動方程組準地轉運動方程組為實際應用方便，用p坐標系（即靜力平衡，亦即大尺度運動），其基本方程組為（當然，實為絕熱無摩擦下實為絕熱無摩擦下）：0.0spVtpVf

10、uyvpVtfvxupVt（11.28）其中，已取),( )(),(tpyxptpyx下面：先做無量綱化，同時應用上節(jié)得出的第一類準地轉運動條件，再用攝動法展開，得零級近似（地轉風方程組）和高一級近似（一類準地轉方程組）。平面近似故可以用,aL p是二維算子，垂直向為向運動方程y連續(xù)方程絕熱方程無關與tyx,向運動方程x11.首先用*量表無量綱量，取：*)/(*),*,(),(*)/(*,*),*,(),(0ULfLPUvuUvutULtPppyxLyx（11.29）（11.29）代入基本方程組（11.28）進行無量綱化前，還要對（11.28）的s和 f 進行處理：由（4.36）知，)(1ln

11、cpRppppps（11.30）將)(p代入上式，有：) (1ln) (1)(1pppscRpppppcRppppcRpppp即有：) (1psscRpppp（11.31）指一個等壓面上的平均值,故不同等壓面上不同,即是p的函數(shù).0*PLUpyvxupyvxup系下連續(xù)方程：*001LUfyfu例如，擾動位勢的地轉尺度RTppRTp狀態(tài)方程位溫公式、靜力方程121aLS另一方面，對第一類準地轉運動，有，故可有平面近似：*)*1 (00yRff（11.34）將（11.31）、（11.34）隨（11.29）一道，代入基本方程組（11.28），可得無量綱方程組：（11.35）無量綱化的方法已多次講了

12、，故不再細推，其實前兩式就是p.255（11.20）的前兩式，只不過*p項。*00*00*2*000*2*()(1)0(V)(1)0V0(V .)()0ipRVuRyvtpxRvRyutpypRRR R pR pptppppc 13用WKB方法對（11.35）進行展開，這就需要選取合適的攝動量（無量綱小參數(shù)）。在（11.35）中，一共出現(xiàn)了4個無量綱參數(shù)：aLSpVpUPRSctgRctgaLULfULaULLfURsi22201000002200)(ln.sinsin.cos2*（11.37）10 RS0R現(xiàn)討論的是第一類準地轉運動，可以選取為攝動量（小參數(shù)）。14故有WKB法展開（已細推過

13、，故不再詳講）：將（11.35）中各未知量按0R展開： .*.*.*.*202010202010202010202010RRRRRvRvvvRuRuuu（11.38）0R0R代入（11.35），并按的各同次冪分別合并，若取零級近似若取零級近似（不含的各項），得：)4(0)3()2()1(*0*0*0*0*0*00Vpyuxv（11.39）水平無輻散）代入（；（）準水平、準靜力平衡地轉風?。┑剞D風關系）、（大尺度運動基本特征：344(,2100vu15的項，略去經WKB法展開后的零級近似簡化方程組：水平無輻散，且滿足地轉風關系，這與p.270所討論的情況一致，故（11.39）稱為地轉風方程組。零

14、級近似反映了大尺度運動的主要特征，不過它表征的是不隨時間變化的平衡運動，要反映運動變化本質，還需考慮一級甚至二級近似。0R20R一級近似一級近似（保留及更高階項）簡化方程組為：)4(0)3()2(0) 1 (020*1*0*0*1*1*1*0*1*0*0*1*0*1*0*0*RRpVtVpuuyyvVtvvyxuVti（11.40）不過，實際運用時，常用其變形表達式（渦度方程），下面考慮之：）合并為（）、（）、準渦旋性質下面擬將（532116*) 1 (*)2(yx渦度方程：0*1*0*0*0*0*VvyuxvVt（5） 上式建立起零級近似與一級近似之間的聯(lián)系。主要表現(xiàn)為：除水平輻散項除水平輻

15、散項外，局地變化、平流變化及包含外，局地變化、平流變化及包含替。替。這種除散度項外其他項中水平運動均可取地轉風近似,就是人們稱的準地轉運動準地轉運動（quasi-geostrophic flow）。的項中，水平運動都可以用地轉關系代的項中，水平運動都可以用地轉關系代*0*1（4）與（5）聯(lián)立，即構成了關于與的閉合方程組，寫回到有量綱式：零級渦度零級渦度*0它實際上可表為地轉風渦度。它實際上可表為地轉風渦度。, ,由由(11.39)(11.39)知知, ,1*3p由 （ ） 知 ， 為 ： （11.45）0()(1)()()0(2)ggggsVfftpVtpp 平面近似渦度方程,絕熱方程190方

16、程劉書坐標下要專門列出靜力z170fhVhVgVs這就是準地轉方程組，水平散度項前f取，且其中不取地轉風近似，取，垂直方向上滿足靜力平衡（這里體現(xiàn)為取了p坐標），。其余各項中且絕熱方程中靜力穩(wěn)定度取前面已推得的平均值準地轉方程組（準地轉方程組（11.45）有兩個重要性質：（）有兩個重要性質：（）絕熱無摩擦下，有位）絕熱無摩擦下，有位渦守恒；（渦守恒；（）閉合系統(tǒng)中能量守恒）閉合系統(tǒng)中能量守恒。下面分別予以說明：（）由)1()(1)()2(ppVtppVtsgsg0)1()()(0ppfVtfVtsggg即有：0)1()(0ppffVtsgg這表明：絕熱無摩擦下，準地轉位渦守恒絕熱無摩擦下，準地

17、轉位渦守恒。令為q準地轉位勢渦度得：）代入（ 1180pp Tpp 00A)1 ()(0f（）證明閉系統(tǒng)內動能有效位能守恒量：在這里閉系統(tǒng)指：在（地面）及（大氣項）處，且（系統(tǒng)邊界面A，實，再對閉系統(tǒng)積分，有：指氣柱上下截面）。作運算 oTrTppppppAAggAgdpdApdpdAfVfdpdAtf00)(.00（11.51）xfvyfuyuxvggggg1,1,00kfVg10即120fg1) (120202200tftftftfg故有： 022ppAgTdpdAVt)(1)(1)(000ggggggVfffVffVf故有0Tp0AdA0p0度形式？多一項放進算子內寫成通量散通量散度中積

18、分為零2)(1220gVttfgV19) (pp 0)(ppATdpdA，故有將、 、 代回到（11.51） 動能平衡方程（11.52） 20)(22ppppAAgTTdpdAdpdAVt（11.52）與Chp.7類同，靜力平衡（p坐標）下，若取質量元gpAgpAzAVM)( （11.54），則上式改寫為：（11.53）類似地，可得有效位能平衡方程（同學自己看書，時間關系從略）：（11.56）（11.53）（11.56）閉合系統(tǒng)中動能與有效位能之和守恒閉合系統(tǒng)中動能與有效位能之和守恒（11.57）22gMMVdMdMt 21()2sMMdMdMtp)2(0pfs2011.2.4第二類準地轉運動

19、方程組（超長波尺度的準地轉運動）第二類準地轉運動方程組（超長波尺度的準地轉運動）從實際結果看，用準地轉渦度方程描述天氣形勢及定性定量預報，均比較滿意。但天氣系統(tǒng)得波長非常長與一類有不同：二類；由前已知，這時S1La平面近似已不成立故須用球坐標。超長波時，分析結果不理想，故其特點0R不過，水平尺度越大準地轉關系越成立越小。實際上，由（11.16）110,10, 1220SRRRRRooii故這時而故水平運動方程完全可以簡化為地轉風方程，即：)2(1)1(cos1afuafv（11.58）;cos1costan) 1 (2aaufvf2cos1cos)2(auf南北方向上， 東西方向上。擬作渦度運

20、算：21兩式相加且兩端乘以 ：a10)tan1cos1(1avvauafvfa則有伯格方程：伯格方程：（11.59）其實，這是渦度方程在第二類準地轉條件下的簡化形式，考渦度方程（11.11）VfvVtSR 0aLLfU0對于第二類準地轉運動，具體為 第二類準地轉方程組中，絕熱方程和連續(xù)方程不再簡化絕熱方程和連續(xù)方程不再簡化，核心是，核心是Burger方程方程aUfLU022故有：在第二類準地轉運動中， 的局地變化項及平流變化項相對于Burger方程！效應項可以忽略 0vfDayyf而球坐標下有,)88. 2(31, pD正是散度散地渦相渦HWfaUfLUHWfUaLULUULLU0022021

21、/2211.3 準地轉位勢傾向方程與準地轉位勢傾向方程與 方程方程對于準地轉方程組（11.45）：0)()()(0sggggpVptpffVt2021fg0f（地轉流函數(shù))64.11()2()()()63.11() 1 ()()(2002sgggpVtppffVft故上述準地轉方程組可以改寫為關于t（重力位勢傾向）及 （垂直速度）的二聯(lián)方程組：以上二式，消去 ，即得位勢傾向方程；消去t ，即得 方程。的撇號可以省略不寫為簡便，擾動位勢又稱變高t2311.3.1準地轉位勢傾向方程準地轉位勢傾向方程) 1 ()2(20pfs（11.65）ggV,對于重力位勢而言（11.65）是預報方程，因右邊的可

22、由表出 ,1,1200fkfVgg（見11.46），故由觀測到的初始位勢場 （而勿 需速度場的直接觀測), 就可以計算預報出位勢場的變化t，故（11.65）是數(shù)值預報中準地轉模式之基礎方程。 tt 但對位勢傾向（11.65）是一個診斷方程，因左端只是的二階空間 tt（x，y，p）導數(shù)但無時間導數(shù)。右邊不含項，故是引起空間分布之 原因，稱（外源）強迫項（外源）強迫項。)(t 作運算，即可消去 ，得準地轉位勢傾向準地轉位勢傾向方程方程：22220002213()()()()gggssfff VfVptpp 0,sf均 視 為 常 數(shù)24t 對于波狀運動，可設或 在空間上沿x，y方向為諧波變化，例如

23、對于 ，有：lyppkxtAcos)cos()(00其中，k，l分別為x，y方向的波數(shù)，00p地面氣壓。00pp 0p則當時，位勢差為；當時，位勢差為0。)67.11()(1200022tpflks1t 13 溫度平流隨高度p的變化率項（因為2絕對渦度的地轉平流項。（絕對渦度相對渦度地球自轉渦度）pRTppp坐標下，與T成正比）。 22220002213()()()()gggssfff VfVptpp 一致。這與實際觀測結果基本25故（11.65）可以定性地表示為（兩端已共同消去一個負號）：32)()(TVpfVtggg可見: 絕對渦度平流，2 0t負 正大于小于大于小于0.暖平流0)(TVg隨高度減弱(即隨p增加而增加, )0)(TVpg將使0t 當然，實際情況要更復雜一點，例如，絕對渦度地轉平流項2實可分為作用相反的兩項：gggggvVfV.總結:正負變高-+絕對渦度平流 +低層暖平流,高層冷平流低層冷平流,高層暖平流26流場形勢究竟是東移還是西退，決定于這兩種平流何者占主導地位。 如圖，考一個西風帶中典型的諧波流型。反氣旋式負渦度，氣旋式正渦度.故：區(qū)有負的渦度平流 區(qū)有正的渦度平流 (指的是相對渦度)則區(qū) 區(qū)t大于小于0, 正負變高系統(tǒng)流型東移系統(tǒng)流型東