1、會(huì)計(jì)學(xué)1材料力學(xué)能量法剖析材料力學(xué)能量法剖析31 概 述1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。2.能量法的應(yīng)用范圍：（1）線彈性體；非線性彈性體（2）靜定問題；超靜定問題（3）是有限單元法的重要基礎(chǔ)（一）、軸向拉伸或壓縮ll F.Fl l FOBA1、應(yīng)變能 （1）軸力沿軸線不變 lFW 21lFWV21EAlFV22N一、桿件應(yīng)變能的計(jì)算 32 應(yīng)變能余能 （2）軸力沿軸線變化 lEAxxFV2d2N2、應(yīng)變能密度21v（二）、扭轉(zhuǎn)1、應(yīng)變能（1）扭矩沿軸線不變 l OBA.M eMeMe e21MW p2e2GIlMWV（2）扭矩沿軸線變化

2、 lGIxxTVp22d2、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度xyz dzdxdy dx21v（三）、彎曲 l OBA.M .eMeMeMe（1）純彎曲 e21MW EIlMWV22e（2）橫力彎曲l.F1M(x)d. F2xdxdxM(x) EIxxM2ddV2微段dx lEIxxMV2d2整個(gè)梁（四）、組合變形下的應(yīng)變能 dx.F (x)M(x)M(x)T (x)T (x)NF (x)N d21d21d21dNxTxMlxFV lllGIxxTEIxxMEAxxFVp222N2d2d2d(五) 非線性彈性體的應(yīng)變能表達(dá)式對圖(a)的拉桿,)關(guān)系如圖(其bFF在d上所作微功為 dW = F d F

3、作的總功為：1100ddFWW（F-曲線與橫坐標(biāo)軸間的面積）AFl(a)FF1FdO1(b)由能量守恒得應(yīng)變能：10dFWV類似，可得其余變形下的應(yīng)變能：wwFV0d而彎曲：梁受F0edMVMe而彎曲：梁受0d MVM而扭轉(zhuǎn)：圓軸受(此為由外力功計(jì)算應(yīng)變能的表達(dá)式）應(yīng)變能密度:10dv(-曲線與橫坐標(biāo)軸間的面積）Od11(c) 若取邊長分別為dx、dy、dz 的單元體，則此單元體的應(yīng)變能為：zyxvVdddd整個(gè)桿的應(yīng)變能為：VvVVvvdd(此為由應(yīng)變能密度計(jì)算應(yīng)變能的表達(dá)式)為常量積內(nèi)特別地，在拉桿整個(gè)體vAlvVvV所以有（1）已知)( FFF0)( FFF0)(dFV對于線彈性問題FV

4、21（2）已知)(0)(0)(dv對于線彈性問題21v VdVdV)(0(3)已知內(nèi)力函數(shù)求應(yīng)變能(線彈性問題)lllpQsplNxxIExMxxIGxFxxIGxTxxAExFVd)(2)(d)(2)(d)(2)(d)(2)(2222dxwxEIdxxEIVll22)( )(21)1( )(21 例 彎曲剛度為EI的簡支梁受均布荷載q作用，如圖所示。試求梁內(nèi)的應(yīng)變能 。解：梁的撓曲線方程為：lxlxlxEIlqw44334224荷載所作外力功為：wxqWld210得：EIlqWV24052wxlyABqx例如圖桿系受F作用，求應(yīng)變能。ABllFl解：EAFllllllllllllllNl22

5、 2112222EAlFlN22tan2sin2FllFFFFNEAFllEAlF3)(lEAF3或：EAlF3（幾何非線性彈性問題）其F-間的非線性關(guān)系曲線為：應(yīng)變能為：FEAlEAlFV4141dd34030FF= ()EA 3O/l二、余能 設(shè)圖a為非線性彈性材料所制成的拉桿，拉桿的F-曲線如圖b ?！坝喙c” 定義為：FCFW10d 與余功相應(yīng)的能稱為余能Vc，余功Wc與余能Vc 在數(shù)值上相等。F(a)FOdF1F1(b)FCcFWV10d（F-曲線與縱坐標(biāo)軸間的面積）即：FOdF1F1(b)也可由余能密度vc計(jì)算余能V c：VvVVccd余能密度vc為：10dcv（圖c中-與縱坐標(biāo)

6、軸間的面積）Od1(c)對線彈性材料，余能和應(yīng)變能僅在數(shù)值上相等，其概念和計(jì)算方法卻截然不同。注意：對非線性材料，則余能V c與應(yīng)變能V 在數(shù)值上不一定相等。余功、余能、余能密度都沒有具體的物理概念，僅是具有功和能的量綱而已。例 試計(jì)算圖a 所示結(jié)構(gòu)在荷載F1作用下的余能Vc 。結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖b所示。解：兩桿軸力均為：cos21FFNcos211AFAFNO111)(n /1nK(b)F1CBD(a) 1(dd10 011nKKvnnnc11cos) 1()2()(2nnnccFnKAllAvV33 卡氏定理1.卡氏第一定理設(shè)圖中

7、材料為非線性彈性 應(yīng)變能只與最后荷載有關(guān)，與加載順序無關(guān)。 按比例方式加載iniiFWVd101 假設(shè)與第i個(gè)荷載相應(yīng)的位移有一微小增量di ,則應(yīng)變能的變化為：iiVVdd123n123nBiiFWddiiVF（卡氏第一定理 ）外力功的變化為：注意：卡氏第一定理既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體。式中Fi及i分別為廣義力、廣義位移。必須將V 寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化率。iiVF卡氏第一定理22llEAV22lGIVp例 平面桁架，受集中力F，如圖a 所示。兩桿的材料相同，彈性模量為E，面積均為A，且均處于線彈性范圍內(nèi)。試按卡氏第一定理，求結(jié)點(diǎn)B的水平和鉛垂位移。 解：設(shè)結(jié)點(diǎn)B的水

8、平和鉛垂位移分別為1和2，先假設(shè)結(jié)點(diǎn)B只發(fā)生水平位移1 （圖b）10112245cosBCAB則：AB(b)CB1ABF45O(a)ClAB(c)CB22022245sin0BCAB同理，結(jié)點(diǎn)B只發(fā)生鉛垂位移2（圖c）當(dāng)水平位移與鉛垂位移同時(shí)發(fā)生時(shí)，則有（疊加）21122BCAB22212121221212222lEAlEAlEAVii應(yīng)用卡氏第一定理得FVV21 0 及解得：EAFlEAFl）（及22121桁架的應(yīng)變能為2.卡氏第二定理設(shè)有非線性彈性的梁，梁內(nèi)的余能為：iniFccFiWVd110假設(shè)第i個(gè)荷載Fi有一微小增量dFi ，外力總余功的相應(yīng)改變量為：iicFWdd余能的相應(yīng)改變量

9、為：iiccFFVVdd123n123nBFVici（余能定理） 特別： 對線彈性體FVii（ 卡氏第二定理）注意：卡氏第一定理和余能定理既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體，而卡氏第二定理，僅適合于線彈性體。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所導(dǎo)出的位移是加力點(diǎn)沿加力方向的位移。當(dāng)所求位移處無相應(yīng)廣義力時(shí)，可在該處“虛加”上廣義力，將其看成已知外力，反映在反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導(dǎo)后，再令該“虛加”外力為0。實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用以下更實(shí)用的形式：例 圖示桁架結(jié)構(gòu)。已知：F=35kN, d1=12mm

10、, d2=15mm, E=210Gpa。求A點(diǎn)垂直位移。 C B 45o 30o 1m A 0.8m F 312,312312,3122121FFFFFFFFNNNNmmEAFlEAFlFFAElFFVniNjjjjNjy365. 13123122222111 例 彎曲剛度為 EI的懸臂梁,如圖所示,材料為線彈性。 試用卡氏第二定理計(jì)算懸臂梁自由端的撓度。 解：在自由端“虛加”外力FFxxlqxM3061)(xF)x(MqqxlyABx00lxFEIlqxxlxqEIxFxMEIxMwllFA30d61d)()(4003000 例 圖示彎曲剛度為EI的等截面開口圓環(huán)受一對集中力F作用。環(huán)的材料

11、為線彈性的，不計(jì)圓環(huán)內(nèi)剪力和軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求圓環(huán)的張開位移和相對轉(zhuǎn)角 。 解：1、張開位移)cos1 ()()cos1 ()(RFMFRMFRFR (1-cos )(3dcos12)d()()(1232030EIRFEIRFRFMMEIFV2、相對轉(zhuǎn)角： FRFR (1-cos )MfMf022)(cos1 (2EIFRRdEIFRfMFRM)cos1 ()(1)(fMM11)(:FxxMABaaFABCEI1EI2x1x2解：FaxMBC)(:22022210111)()()()(dxFxMEIxMdxFxMEIxMaay11)(xFxMaFxM)(2)(32313202

12、210121EIFaEIFadxEIFadxEIFxaayAaaFBCEI1EI2x1x2Mo011)(:MFxxMABaaBdxEIFadxEIFx0220111)1()1(（“-”表示A與M0轉(zhuǎn)向相反）02)(:MFaxMBC1)(01MxM1)(02MxM0202022101011000000)()()()(MaaMMAdxMxMEIxMdxMxMEIxMMV22122EIFaEIFaAAF解：FFARA)cos1 (FRTsinRFM)cos1 (RFTsinFRM RdFMEIMRdFTGITFVp00dEIFRdGIFRp023023sin)cos1 (EIPRGIPRp22333

13、1、應(yīng)變能余能10dFWV應(yīng)變能余 能FCcFWV10d2、卡氏定理卡氏第一定理iiVF卡氏第二定理FVii回顧卡氏第二定理的實(shí)用形式lilipliNNixFMEIMxFTGITxFFEAFddd桁架結(jié)構(gòu)njiNjjjjNjiFFAElF1梁與剛架結(jié)構(gòu)liidxFxMEIxM)()(34 用能量法解超靜定系統(tǒng)（3）求力-位移關(guān)系：應(yīng)用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）計(jì)算基本靜定系分別在荷載和多余未知力作用下的位移；（2）建立變形協(xié)調(diào)條件；用能量法解超靜定系統(tǒng)的步驟：（4）求解多余未知力： 將力-位移間物理關(guān)系，代入變形協(xié)調(diào)條件，得補(bǔ)充方程。由補(bǔ)充方程解出多余未知力。（1）選取基本靜定系；（5

14、）進(jìn)行其他計(jì)算。例 作圖示梁的彎矩圖，EI為常數(shù)。ABq解：（1）選基本靜定系（2）變形協(xié)調(diào)條件0B（3）求力-位移關(guān)系qx2)(2qxxFxMBxXxM)(llBBBxdxqxxFEIdxFxMEIxM0020)2(1)()(08343EIqlEIlFB83qlFBql2/89ql2/128FBl例 由同一非線性彈性材料制成的1、2、3桿，如圖a所示。已知三桿的橫截面面積均為A，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為=K1/n，且n 1；并知1、2兩桿的桿長為l。試計(jì)算各桿的內(nèi)力。 解：（1）選基本靜定系統(tǒng)如圖b。FBDCA132 (a)BA(b)DC132XF （2）變形協(xié)調(diào)條件:D=0（3）求力-位移關(guān)

15、系:用余能原理由圖b的平衡得各桿軸力：BA(b)DC132XF XFXFFFNNN321 cos2余能密度為：1010021cos2) 1(1ddd111nnnNnccAXFKnKAFKvv103) 1(1d3nncAXKnv總余能為11332211coscos22) 1(nnnccccAXAXFKnlAVvVvVvV01cos.cos21.cos22) 1(AAXAAXFKnlAXVnnnCDnNNnNFFFFFX/1221/123coscos2coscos21（4）求解未知力例 試作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。解：qaaABCx2x1XqFAyFAxFBy49ql2/512 qa2/16 22222

16、21111)(,22)()(,)(xXxMqxxXqaxMBCxXxMXxxMAC：024320)(221432200222111EIqaXEIqadxxqxxXqadxxXxEIaaBx167,16,169,16qaFqaFqaFqaFXByAxAyBx例試作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。 q C B a a A q X1 x2 x1 X2 （1）基本靜定系； （2）變形條件：Bx=0，By=0； 解：（3）求力-位移關(guān)系： aXxMxXxMqaaXxXxMACxXxMXxMqxxXxMBC22212222121221121121)(,)(,2)()(, 0)(,2)(：aXxMxXxMqaaXxXxM

17、ACxXxMXxMqxxXxMBC22212222121221121121)(,)(,2)()(, 0)(,2)(：02210210222210112112202222211aaByaBxadxqaaXxXdxxqxxXEIXVdxxqaaXxXEIXV08534204234231342313EIqaXEIaXEIaEIqaXEIaXEIaqaXqaX73,28321例 圖a所示兩端固定半圓環(huán)在對稱截面處受集中力F作用。環(huán)軸線的半徑為R，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對圓環(huán)變形的影響。試用卡氏第二定理求對稱截面上的內(nèi)力。 FR(a)F22FX11X2X3XX3X2(b)0, 0, 0321解：

18、1)(),cos1 ()()cos1 (sin2)(2121XMRXMXRXRFM0)d()()(1220RXMMEIXVii0221204122432121FRXRXFRXRXFRXFX8)3(2842221練習(xí)題：作圖示剛架的彎矩圖，EI為常數(shù)。ABFaa（一）、軸向拉伸或壓縮ll F.Fl l FOBA1、應(yīng)變能 （1）軸力沿軸線不變 lFW 21lFWV21EAlFV22N一、桿件應(yīng)變能的計(jì)算 32 應(yīng)變能余能（二）、扭轉(zhuǎn)1、應(yīng)變能（1）扭矩沿軸線不變 l OBA.M eMeMe e21MW p2e2GIlMWV（2）扭矩沿軸線變化 lGIxxTVp22d例 彎曲剛度為EI的簡支梁受均布荷載q作用，如圖所示。試求梁內(nèi)的應(yīng)變能 。解：梁的撓曲線方程為：lxlxlxEIlqw44334224荷載所作外力功為：wxqWld210得：EIlqWV24052wxlyABqx1、應(yīng)變能余能10dFWV應(yīng)變能余 能FCcFWV10d2、卡氏定理卡氏第一定理iiVF卡氏第二定理FVii回顧卡氏第二定理的實(shí)用形式lilipliNNixFMEIMxFTGITxFFEAFddd桁架結(jié)構(gòu)njiNjjjjNjiFFAElF1梁與剛架結(jié)構(gòu)liidxFxMEIxM)()(例 作圖示梁的彎矩圖，EI為常數(shù)。ABq解：（1）選基本靜定