1、12 141 約束和約束方程約束和約束方程 142 自由度和廣義坐標自由度和廣義坐標 143 虛位移虛位移 144 理想約束理想約束 145 虛位移原理虛位移原理 146 以廣義坐標表示的質(zhì)點系的平衡條件以廣義坐標表示的質(zhì)點系的平衡條件 147 質(zhì)點系在勢力場中平衡的穩(wěn)定性質(zhì)點系在勢力場中平衡的穩(wěn)定性第十四章第十四章 虛位移原理虛位移原理3ABCDEG4問題的提出問題的提出靜力學問題是否可以借助動力學的分析方法來求解呢？靜力學問題是否可以借助動力學的分析方法來求解呢？ 微小角度微小角度btgsatgs21平衡條件：平衡條件：021bFaF（a）杠桿杠桿由于在新的位置系統(tǒng)仍然平衡由于在新的位置系

2、統(tǒng)仍然平衡02211SFSF（b）條件（條件（a）和條件（）和條件（b）是等價的）是等價的杠桿的平衡條件可用作用力在平衡附近的微小位移中所杠桿的平衡條件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功來建立。作的功來建立。對于一般的非自由質(zhì)點系是否能寫出類似的對于一般的非自由質(zhì)點系是否能寫出類似的平衡條件呢？答案是肯定的。平衡條件呢？答案是肯定的。5 一、約束一、約束圖圖6 ( , , )( )0jiifr r t 或或( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t 222xylryxl222ryxAA222()()BABAxxyyl0By 圖圖7 (0)AxrAyr0Avr圖圖8導彈導

3、彈A追擊目標追擊目標B，要求導彈速度方向，要求導彈速度方向總指向目標?？傊赶蚰繕?。0,0AABABAAABABAxyxxyyxzxxzz 圖圖9 2220 xylvt圖圖10222xyl 11 ( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t ( , )( )0jiiifx y z t ( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t 222xyl0Axr幾何約束幾何約束運動約束運動約束0Axr12 ( ,)( )0jiiiiiifx y z x y z ryxl222()()BABAxxyyl定常約束定常約束( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t

4、 2220 xylvt非定常約束非定常約束13 ( , )0jiiiiiifx y z x y z t ( , )0jiiiiiifx y z x y z t 222xyl222xyl圖圖14 111( ,)0nnnf x y zxyz圖圖圖圖15一個自由一個自由質(zhì)點質(zhì)點在空間的位置：（在空間的位置：（ x, y, z ) 需用需用3個坐標表示個坐標表示一個自由一個自由質(zhì)點系質(zhì)點系在空間的位置：在空間的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2n) 需需用用 3n個坐標表示，這個坐標表示，這3n個坐標是獨立的。個坐標是獨立的。 對一個非自由質(zhì)點系，受對一個非自由質(zhì)點系，受s個完整約束

5、，個完整約束，3n個坐標需滿個坐標需滿足足s個約束方程。只有個約束方程。只有（3n-s )個獨立坐標。個獨立坐標。通常，通常，n 與與 s 很很大而大而3n-s 很小。為了確定質(zhì)點系的位置，用適當選擇的很小。為了確定質(zhì)點系的位置，用適當選擇的3n-s 個相互獨立的參數(shù)，要比用個相互獨立的參數(shù)，要比用3n個直角坐標和個直角坐標和s個約束方程方個約束方程方便得多。便得多。一、一、自由度自由度 確定一個確定一個受完整約束的質(zhì)點系的受完整約束的質(zhì)點系的位置位置所需的獨立坐標的所需的獨立坐標的數(shù)目數(shù)目，稱為該質(zhì)點系的自由度的數(shù)目，簡稱為，稱為該質(zhì)點系的自由度的數(shù)目，簡稱為自由度。自由度。16 對一個非自

6、由質(zhì)點系，受對一個非自由質(zhì)點系，受s個完整約束，其自由個完整約束，其自由度為度為 k=3n-s 。222xyl 例如：此球擺需滿足一個例如：此球擺需滿足一個約束方程約束方程此平面小球是受約束的，如此平面小球是受約束的，如是自由質(zhì)點則需是自由質(zhì)點則需2個坐標表示，個坐標表示，有有1個作用方程，個作用方程，2-1=1有一有一個個獨立的坐標，所以，此球獨立的坐標，所以，此球擺具有一擺具有一個個自由度自由度17ryxl222()()BABAxxyyl 又例如：曲柄連桿機構(gòu)中，空間又例如：曲柄連桿機構(gòu)中，空間A、B兩個點兩個點3n六六個坐標，個坐標，個約束方程即有個方程式，需滿足和但55,BBBAAAz

7、yxzyx0 0 0 ,222BABAAzzyryx6-5=1，只有一個獨立坐標，故此系統(tǒng)只有一個，只有一個獨立坐標，故此系統(tǒng)只有一個自自由度由度18222cossincossin 0AABBxryrxrlry二、二、廣義坐標廣義坐標 一般，用直角坐標系表示非自由質(zhì)點系的位置不太方便，一般，用直角坐標系表示非自由質(zhì)點系的位置不太方便，可選擇任意變量來表示質(zhì)點系的位置。可選擇任意變量來表示質(zhì)點系的位置。用來確定質(zhì)點或質(zhì)點系位置的獨立變量或參數(shù)，用來確定質(zhì)點或質(zhì)點系位置的獨立變量或參數(shù)，稱為稱為廣義坐標廣義坐標。 廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可以取線位移廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可以

8、取線位移（x, y, z, s 等等）也可以取角位移也可以取角位移（如如 , , , 等等）。19例例1：曲柄連桿機構(gòu)中曲柄連桿機構(gòu)中,可取曲柄可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角為廣義坐標，為廣義坐標， 廣義坐標選定后，質(zhì)點廣義坐標選定后，質(zhì)點系中每一質(zhì)點的直角坐標都系中每一質(zhì)點的直角坐標都可表示為廣義坐標的函數(shù)?？杀硎緸閺V義坐標的函數(shù)。則可惟一確定質(zhì)點系的位置。則可惟一確定質(zhì)點系的位置。0,sin,cosAAAzryrx0, 0,sincos222BBBzyrlrx在完整約束在完整約束情況下，情況下，廣義坐標廣義坐標的數(shù)目就等于的數(shù)目就等于自由度數(shù)目自由度數(shù)目。20例例2：雙錘擺。設只在鉛直平面內(nèi)擺動

9、。雙錘擺。設只在鉛直平面內(nèi)擺動。2212212221212211)()( ),( , ),(byyxxayxyxyx兩個兩個自由度自由度 取廣義坐標取廣義坐標，coscos , sinsincos , sin2211baybaxayax約束方程約束方程在完整約束在完整約束情況下，情況下，廣義坐標廣義坐標的數(shù)目就等于的數(shù)目就等于自由度數(shù)目自由度數(shù)目。21 一般地，設有由一般地，設有由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受到個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受到s個完整、個完整、雙面和定常約束，具有雙面和定常約束，具有k=3n-1個自由度，取個自由度，取k個廣義坐標個廣義坐標q1、q2、qk確定質(zhì)點系的位置，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的

10、坐標及確定質(zhì)點系的位置，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的坐標及矢徑可表為廣義坐標的函數(shù)。矢徑可表為廣義坐標的函數(shù)。12121212( ,)( ,)( ,)( ,)iikiikiikiikxx q qqyy q qqzz q qqrr q qq), 2 , 1(ni22 在給定瞬時，質(zhì)點（或質(zhì)點系）在給定瞬時，質(zhì)點（或質(zhì)點系）符合約束符合約束的的無限小無限小的的假假想的想的位移，稱為質(zhì)點（或質(zhì)點系）在該瞬時的位移，稱為質(zhì)點（或質(zhì)點系）在該瞬時的虛位移虛位移。一、虛位移一、虛位移 虛位移可以是虛位移可以是線位移線位移，也可以是，也可以是角位移角位移。通常用變分符。通常用變分符號號 表示虛位移。表示虛位移。 M23

11、 二、虛位移與微小實位移的區(qū)別和聯(lián)系二、虛位移與微小實位移的區(qū)別和聯(lián)系1、虛位移與微小實位移的虛位移與微小實位移的區(qū)別區(qū)別實實位移是在一定的時間內(nèi)位移是在一定的時間內(nèi)實際實際發(fā)生的位移，發(fā)生的位移，與質(zhì)點系的與質(zhì)點系的受力受力和和初始條件初始條件有關，有有關，有確定的方向確定的方向；虛虛位移是位移是假想假想的、實際并的、實際并未未發(fā)生位移，并發(fā)生位移，并不不經(jīng)歷時間經(jīng)歷時間與質(zhì)點系的與質(zhì)點系的受力受力和和初始條件初始條件無關，無關，有多種可能的方向有多種可能的方向，是無限小量。是無限小量。2、虛位移與微小實位移的虛位移與微小實位移的聯(lián)系聯(lián)系實位移和虛位移都要滿足實位移和虛位移都要滿足約束約束。

12、 在在定常定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一；約束下，微小的實位移必然是虛位移之一； 而在而在非定常非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。約束下，微小實位移不再是虛位移之一。24 圖圖25 圖圖26 三、分析虛位移的方法三、分析虛位移的方法 由于非自由質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間有約束聯(lián)系，因此由于非自由質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間有約束聯(lián)系，因此各質(zhì)點的虛位移之間有一定的關系。而獨立的虛位移各質(zhì)點的虛位移之間有一定的關系。而獨立的虛位移個個數(shù)數(shù)就等于質(zhì)點系就等于質(zhì)點系自由度數(shù)自由度數(shù)。1、幾何法、幾何法 在在定常約束定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。下，微小的實位移必然是虛位移之一。 drvd

13、t因為虛位移是無限小位移，可選在可能發(fā)生的因為虛位移是無限小位移，可選在可能發(fā)生的速度方向上分析，故可用運動學中求各質(zhì)點速度方向上分析，故可用運動學中求各質(zhì)點速速度度之間的之間的關系關系來分析各質(zhì)點來分析各質(zhì)點虛位移虛位移之間的之間的關系關系。27 2、解析法、解析法質(zhì)點系中各質(zhì)點系中各質(zhì)點質(zhì)點的坐標可表示為的坐標可表示為廣義坐標廣義坐標的函數(shù)，質(zhì)點系的任意的函數(shù)，質(zhì)點系的任意虛位移可用廣義坐標虛位移可用廣義坐標（ q1,q2,qk）的的k個獨立的變分來表示，個獨立的變分來表示，各質(zhì)點的虛位移各質(zhì)點的虛位移 以及在直角坐標上的投影可以表示為：以及在直角坐標上的投影可以表示為：ir1212121

14、2( ,)( ,)( ,)( ,)iikiikiikiikxx q qqyy q qqzz q qqrr q qq), 2 , 1(ni28 質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)，質(zhì)點質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)，質(zhì)點系的任意虛位移可用系的任意虛位移可用廣義坐標廣義坐標（ q1,q2,qk）的的k個獨個獨立的變立的變 來表示，求來表示，求變分變分的方法與求的方法與求微分微分類似。各質(zhì)點的虛位移類似。各質(zhì)點的虛位移 以及在直角坐標上的投以及在直角坐標上的投影可以表示為：影可以表示為：ir12( ,)iikrr q qq1(1,2, )kiijjjrrq inqkqqq,.,2

15、129 121121211212112kiiiiikjjkjkiiiiikjjkjkiiiiikjjkjxxxxxqqqqqqqqyyyyyqqqqqqqqzzzzzqqqqqqqq(1,2,)in12121212( ,)( ,)( ,)( ,)iikiikiikiikxx q qqyy q qqzz q qqrr q qq), 2 , 1(ni30 例例1、分析圖示機構(gòu)在圖示位置時，點、分析圖示機構(gòu)在圖示位置時，點C、A與與B的虛位移。的虛位移。 (已知已知 OC=BC= a， OA=l )看書看書p321例題例題1 CArarl1、幾何法、幾何法12sin2 sinCBrP CarP Ba

16、解：此為一個自由度系統(tǒng)，解：此為一個自由度系統(tǒng)， 取取OA桿與桿與x 軸夾角軸夾角為廣義坐標。為廣義坐標。31 0 , sin2cos , sincos , sin , BBAACCACyaxlylxayaxlrar將將C、A、B點的坐標表示成點的坐標表示成廣義坐標廣義坐標 的函數(shù)，得的函數(shù)，得0 , cos2sin , cossin , cosBBAACCyaxlylxayax2、解析法、解析法對廣義坐標對廣義坐標 求變分，得各點虛求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：位移在相應坐標軸上的投影：sin, cossin, cos2sin, 0CCAABBxayaxlylxay 32 一、虛

17、功一、虛功力力 在質(zhì)點發(fā)生的虛位移在質(zhì)點發(fā)生的虛位移 上所作的功稱為上所作的功稱為虛功虛功，記為，記為 。 FrWxyzWFrWFxFyFz二、理想約束二、理想約束（書（書p257) 如果約束力在質(zhì)點系的任何虛位移上的虛功之和等于零，如果約束力在質(zhì)點系的任何虛位移上的虛功之和等于零，則稱這種約束為則稱這種約束為理想約束理想約束。 質(zhì)點系受有理想約束的條件：質(zhì)點系受有理想約束的條件：0NiiNWFr是該質(zhì)點的虛位移的約束力，質(zhì)點為作用在質(zhì)點系中任一式中，iiiNrMF33 理想約束的例子：理想約束的例子：1、光滑支承面、光滑支承面2、光滑鉸鏈、光滑鉸鏈3、無重剛桿、無重剛桿4、不可伸長的柔索、不

18、可伸長的柔索5、剛體在粗糙面上的純滾動、剛體在粗糙面上的純滾動0NNWFr()0NNSCWFFr0NNNWFrFr一般，沒有摩擦的約束都屬于此類一般，沒有摩擦的約束都屬于此類34 一、虛位移原理（虛功原理）一、虛位移原理（虛功原理） 具有具有雙面雙面、理想理想約束的質(zhì)點系，在給定位置平衡的約束的質(zhì)點系，在給定位置平衡的必要必要與與充分充分條件是：作用于質(zhì)點系的所有條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力主動力在任何在任何虛位移虛位移上所作上所作的的虛功之和虛功之和等于等于零零。即。即0iiFr()0i xii yii ziFxFyFz解析式：解析式：作用點的任一虛位移為力一主動力，為作用在質(zhì)點系上的任

19、iiiFrF此方程又叫此方程又叫靜力學普遍方程靜力學普遍方程35 證明證明：(1) 必要性：即質(zhì)點系處于平衡時，必有必要性：即質(zhì)點系處于平衡時，必有0iiFr 質(zhì)點系處于平衡質(zhì)點系處于平衡 選取任一質(zhì)點選取任一質(zhì)點Mi也平衡。也平衡。0iNiFF對質(zhì)點對質(zhì)點Mi 的任一虛位移的任一虛位移 ，有，有ir()0iNiiFFr()0iNiiFFr0iiiNiFrFr由于是理想約束由于是理想約束0iiFr0NiiFr所以所以對整個質(zhì)點系：對整個質(zhì)點系：36 (2) 充分性：即當質(zhì)點系滿足充分性：即當質(zhì)點系滿足 ，質(zhì)點系一定平衡。，質(zhì)點系一定平衡。若若 ，而質(zhì)點系不平衡，則至少有第，而質(zhì)點系不平衡，則至

20、少有第i個質(zhì)點不平衡。個質(zhì)點不平衡。0iiFr0iiFr 在在 方向上產(chǎn)生實位移方向上產(chǎn)生實位移 ，取，取 ，則，則iRidriirdr()0iNiiRiiFFrFr()0iNiiFFr對質(zhì)點系：對質(zhì)點系：(理想約束下，理想約束下， )0NiiFr 0iFr與前題條件矛盾與前題條件矛盾故故 時質(zhì)點系必處于平衡。時質(zhì)點系必處于平衡。0iFr 0iNiRiFFF37 38 圖圖39 40 41 r42 圖圖43 r幾何法幾何法44 ABCDEG45 圖圖46 解析法解析法（1）系統(tǒng)自由度）系統(tǒng)自由度k=1（2）（3） B，G（4）ABCDEG（5）由由 的任意性的任意性47 48 49 50 51

21、 52 53 54 ABMFCaaaaD55 56 FBxDAMFCaaaarDrBrCC*AB57 58 BMFCAFByDrBrCrD59 虛位移原理虛位移原理0iiFr其中：各主動力作用點的虛位移其中：各主動力作用點的虛位移 并不獨立，并不獨立，需要在求解時找到虛位移之間的關系。需要在求解時找到虛位移之間的關系。ir又又12( ,)(1,2, )iikrr q qqin1(1,2, )kiijjjrrq inq代入虛功方程：代入虛功方程：111()0knniiiiiijjjrFrFqq（廣義坐標的變分是獨立的）（廣義坐標的變分是獨立的）60 111()0knniiiiiijjjrFrFq

22、q11()kijjjniirqFq11()niiikjjjrFqq0交換求和次序：交換求和次序：61 111111121112222221212222kknnnnnnkkkkrrrFFFqqqrrrFFFqqqrrrFFFqqqqqqqqqqqq11212()iiikiknirrrqqqqqFq11()kniijjijrFqq 62 11()0niijjijkqrFq jq 是相互獨立的廣義坐標的變分，可以認為是是相互獨立的廣義坐標的變分，可以認為是對應于廣義坐標的對應于廣義坐標的廣義虛位移廣義虛位移。1niiijrFqjq為對應于廣義坐標為對應于廣義坐標 的廣義力的廣義力記為：記為：1niQjiijrFFq1()niiiixiyizijjjxyzFFFqqq63 11()0niijjijkqrFq 可改寫為：可改寫為：10kQjjjFq完整約束系統(tǒng)，廣義坐標的變分完整約束