1、利用微分、積分關(guān)系直接作利用微分、積分關(guān)系直接作剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖l 無載荷作用段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；無載荷作用段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；l 均布力作用段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線；均布力向下，剪力圖為斜均布力作用段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線；均布力向下，剪力圖為斜向下的直線，彎矩圖為凹面向上的拋物線；均布力向上，剪力圖為斜向上的直線，向下的直線，彎矩圖為凹面向上的拋物線；均布力向上，剪力圖為斜向上的直線，彎矩圖為凹面向下的拋物線。（盾對著矛）彎矩圖為凹面向下的拋物線。（盾對著矛）l 集中力作用處，剪力圖有突變，彎矩圖有折角；剪力突變的方向和數(shù)值與集中

2、集中力作用處，剪力圖有突變，彎矩圖有折角；剪力突變的方向和數(shù)值與集中力作用方向和數(shù)值一致。力作用方向和數(shù)值一致。l 集中力偶作用處，彎矩圖有突變，剪力圖無變化；逆時(shí)針力偶令彎矩圖向上跳，集中力偶作用處，彎矩圖有突變，剪力圖無變化；逆時(shí)針力偶令彎矩圖向上跳，順時(shí)針力偶令彎矩圖向下跳，彎矩突變的數(shù)值等于外力偶矩的大小。順時(shí)針力偶令彎矩圖向下跳，彎矩突變的數(shù)值等于外力偶矩的大小。.,22ssqdxMdqdxdFFdxdMqAaFbF)()(sss)()(FAaMbM微分關(guān)系定性積分關(guān)系定量輔以突變規(guī)律 Geometrical Propertiesofthe Cross Section of a Ba

3、r附錄附錄截面幾何性質(zhì)：截面幾何性質(zhì)： 與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。截面幾何性質(zhì)截面幾何性質(zhì)拉伸：扭轉(zhuǎn)：本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容n靜矩和形心n慣性矩和慣性半徑n慣性積n平行移軸公式n轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸yzoyzoAdAzyCCyCzzyAASydASzdA 1. 1. 靜矩靜矩( (一次矩一次矩) )2. 2. 形心形心zyACACydASyAAzdASzAA zyCCSyASzA I.1 I.1 靜矩和形心靜矩和形心結(jié)論：結(jié)論：1、 Sz = 0 z 軸是形心軸軸是形心軸2、對稱軸必定是形心軸、對稱軸必定是形心軸zCyCSyASzA CyzdAyzzoyz-

4、ydA11zyniiiniiiSA ySA z 1111zyniiiCniiniiiCniiAySyAAAzSzAA 3. 組合截面的靜矩和形心組合截面的靜矩和形心dAyzzoyA1A2AnzAyASydASzdA 靜矩靜矩12z.nAAAASydAydA 12zzz.nSSS(yi,zi) 試求圖示曲線試求圖示曲線下的面積下的面積OAB對于對于y軸的軸的靜矩靜矩Sy和形心位置和形心位置xcnbxhyxyAobhnbxhyBxdxdACxc解：解：100nbhdxxbhydxdAAnbnbA22100nhbdxxbhxydxxdASnbnbAybnnASxyc21【例題例題 1】1nbhAbn

5、nxc21面積面積形心形心Cxcbh2bhA bxc32三角形三角形CxcbhbhA bxc21矩形矩形Cxcbh3bhA bxc43二次拋物線二次拋物線Cxcbh4bhA bxc54三次拋物線三次拋物線Cxcbh32bhA bxc85二次拋物線二次拋物線 nbxhy/ bxc2C2xchC niiniciicAxAx11C1xc1負(fù)面積法負(fù)面積法xyo212211AAxAxAcc bbhbhbbhbbh853432 AzAydAyIdAzI221. 慣性矩（二次軸矩）慣性矩（二次軸矩）慣性矩恒為正值慣性矩恒為正值2. 慣性半徑慣性半徑22zzyyiAIiAIAIiyyAIizz I.2 I.

6、2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑dAyzzoyAdAyzzoy ApdAI2 pyzIII 截面對任意一對互相垂直的軸的慣性矩之和，截面對任意一對互相垂直的軸的慣性矩之和，等于它對該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。等于它對該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。3. 極慣性矩（二次極矩）極慣性矩（二次極矩）AzAydAyIdAzI22 試計(jì)算圖示矩試計(jì)算圖示矩形對其對稱軸的慣性矩。形對其對稱軸的慣性矩。2212322hhbhbdzzdAzIAyCyzbhzdz解：解：123hbIz【例題例題 2】【例題例題 3】試計(jì)算圖示試計(jì)算圖示圓形對其形心軸的慣性圓形對其形心軸的慣性矩和極慣性矩。矩和極慣性矩。20422322DD

7、ddAIAp 解：解：6424DIIIpzy yzDCzypIII d nipipnizizniyiyIIIIII1114. 組合截面的慣性矩和極慣性矩組合截面的慣性矩和極慣性矩dAyzzoyA1A2AnAzAydAyIdAzI22ApdAI2 yzDdC646444dDIIzy 323244dDIp 【例題例題 4】試計(jì)算圖示圓環(huán)對其形心軸的慣性試計(jì)算圖示圓環(huán)對其形心軸的慣性矩和極慣性矩。矩和極慣性矩。AyzyzdAI慣性積可正、可負(fù)、可為零慣性積可正、可負(fù)、可為零 I.3 I.3 慣性積慣性積dAyzzoyAAyzyzdAI坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一個(gè)是截面的坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一

8、個(gè)是截面的對稱軸對稱軸，則截面對該坐標(biāo)系的慣性積等于零。，則截面對該坐標(biāo)系的慣性積等于零。dAyzzoyz-ydA已知：已知：cccczyzyIIIba求：求：yzzyIII ( a 和和 b 是截面的形心是截面的形心在在 oyz 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo) ) I.I. 平行移軸公式平行移軸公式CyzoabyczcazzbyyccAaIAaSaIdAadAzadAzdAazdAzIcccyyyAAcAcAcAy22222222)(0cyS其中：其中：IyIycdACyzozzcayycbyczc在一組平行坐標(biāo)軸中，截面對形心軸的慣性矩為最小。在一組平行坐標(biāo)軸中，截面對形心軸的慣性矩為最小。

9、222()occpyzppIIIIabAIOC A 平行移軸公式：平行移軸公式：dACyzozzcayycbyczc已知：已知：123bhIcy解：解：Cyczcbhy求：求：yI32123232bhbhhbhAaIIcyy【例題例題 5】解：解：1、確定整個(gè)截面、確定整個(gè)截面的形心位置的形心位置8 cm12 cm1 cm1 cmzyo【例題例題6】 求圖示求圖示截面對與截面對與y和和z平平行形心軸的慣性行形心軸的慣性矩和慣性積。矩和慣性積。8 cm12 cm1 cm1 cmzyocc1c2（yc， zc ）111 2670 .51 273 .9 7nic iicniiA zzAc m 111

10、 20 .574 .51 271 .9 7nic iicniiA yyAc m 計(jì)算形心坐標(biāo)：8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcyccc1c2zcyca1a2b1b2a1 = -1.47b1 = 2.03a2 = 2.53b2 = -3.47計(jì)算形心坐標(biāo)系中各部分形心坐標(biāo)：3 .9 7czc m 1 .9 7cyc m 2、計(jì)算對形心軸、計(jì)算對形心軸慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcyccc1c2a1a2b1b2a1 = -1.47b1 = 2.03a2 = 2.53b2 = -3.47423232221212797473121712032121

11、2121cmAbIAbIIcccyyy).(.11221 11222497c cccccy zyzyzIIa b AIa b Acm 44497100279cmIcmIcmIcccczyzy8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcycc已知：已知：yzzyIII 求：求：1111zyzyIIIdAyzozz1yy1 y1z1 I.5 I.5 轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸1. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)軸公式定點(diǎn)轉(zhuǎn)軸公式 sincossincosyzzzyy11 2222222222222211sincossinsincoscossinsincos)sincos(yzzyzyyzzyAAAAAyIIIIII

12、IIyzdAdAydAzdAyzdAzIIy1 Iy, Iz , IyzdAyzozz1yy1 y1z1112zyII 2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIII 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 1 11 1090y zyzy zyzIIII dAyzozz1yy1 y1z1定義：若截面對某對坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則這對坐標(biāo)軸稱為主慣性軸，簡稱為主軸。即：若即：若000zyI，則，則 y0 , z0 是主軸。是主軸。02220000 cossinyzzyzyIIII令：令：得：得：zyyzIIItg220 可確定

13、一對主軸可確定一對主軸y0 , z0的方位的方位2. 主慣性軸（主軸）主慣性軸（主軸）dAyzozz1yy1 y1z1 2222222111cossinsincosyzzyzyyzzyzyyIIIIIIIIII令：令：01 ddIy得：得：sin2cos202yzyzIII 可見，可見，使慣性矩取極值的軸即為主軸。使慣性矩取極值的軸即為主軸。討論討論：主軸方向的慣性矩：主軸方向的慣性矩3. 主慣性矩主慣性矩定義定義：截面對：截面對主軸的慣性矩稱為主軸的慣性矩稱為主慣性矩主慣性矩。由：由：得：得：zyyzIIItg220 02 yzI2zyII 224yzzyIII)(22042yzzyzyII

14、III)(cos 220422yzzyyzIIII)(sin 將上式代入將上式代入0022220 sincosyzzyzyyIIIIII得主慣性矩的計(jì)算公式：得主慣性矩的計(jì)算公式：22minmax22yzzyzyIIIIII 顯然：顯然：11maxminyzyzpIIIIIII 主慣性矩的計(jì)算公式：主慣性矩的計(jì)算公式：dAyzozz1yy1 y1z1定義定義：(1)通過形心的通過形心的主軸稱為主軸稱為主形心軸。主形心軸。(2)對主形心對主形心軸的慣性矩稱為軸的慣性矩稱為主形心慣性矩。主形心慣性矩。(3)由主形心軸和桿件軸線所確定的平面稱由主形心軸和桿件軸線所確定的平面稱為為主形心慣性平面。主形

15、心慣性平面。顯然顯然：對稱軸必定是：對稱軸必定是主形心軸。主形心軸。4.主形心軸和主形心慣性矩主形心軸和主形心慣性矩證明證明：設(shè)通過截面：設(shè)通過截面 O 點(diǎn)的點(diǎn)的y、z 軸為主軸，軸為主軸，u、v 為另一對為另一對主軸，其中主軸，其中 o不是不是 /2 的整數(shù)倍，由轉(zhuǎn)軸公式：的整數(shù)倍，由轉(zhuǎn)軸公式：022200 cossinyzzyuvIIII而：而：0yzI020 sinzyII022211 cossinyzzyzyIIII從而：從而：yzoz1y10 vu【例題例題 5】試證明下列定試證明下列定理：理：如果通過截面的任一如果通過截面的任一指定點(diǎn)有多于一對的主軸，指定點(diǎn)有多于一對的主軸，那么通

16、過該點(diǎn)的所有軸都那么通過該點(diǎn)的所有軸都是主軸。是主軸。故過點(diǎn)的任何一對正故過點(diǎn)的任何一對正交軸都是主軸，定理得證。交軸都是主軸，定理得證。若通過截面某點(diǎn)有三根（或三根以上）的若通過截面某點(diǎn)有三根（或三根以上）的對稱軸，則通過該點(diǎn)的所有軸都是主軸。對稱軸，則通過該點(diǎn)的所有軸都是主軸。正多邊形有無數(shù)對主形心軸。正多邊形有無數(shù)對主形心軸。cccccyzoz1y10 vu推論：推論：解：解：1、建立參考坐標(biāo)建立參考坐標(biāo)系系，確定整個(gè)截，確定整個(gè)截面的形心位置面的形心位置8 cm12 cm1 cm1 cmzyo【例題例題 6】 求圖求圖示截面的主形心示截面的主形心慣性矩。慣性矩。8 cm12 cm1 c

17、m1 cmzyocc1c2（yc， zc ）111 2670 .51 273 .9 7nic iicniiA zzAc m 111 20 .574 .51 271 .9 7nic iicniiA yyAc m 計(jì)算形心坐標(biāo)：8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcyccc1c2zcyca1a2b1b2a1 = -1.47b1 = 2.03a2 = 2.53b2 = -3.47建立形心坐標(biāo)系，計(jì)算形心坐標(biāo)系中各部分形心坐標(biāo)：3 .9 7czc m 1 .9 7cyc m 2、計(jì)算對形心軸、計(jì)算對形心軸慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcyccc1c2a1a

18、2b1b2a1 = -1.47b1 = 2.03a2 = 2.53b2 = -3.474232322212127974731217120321212121cmAbIAbIIcccyyy).(.11221 11222497c cccccy zyzyzIIa b AIa b Acm 4100czIcm 44497100279cmIcmIcmIcccczyzy8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcycc3、計(jì)算主形心軸、計(jì)算主形心軸和主形心慣性矩和主形心慣性矩0871100279972220.)(cccczyzyIIItg 9072372300. 8 cm12 cm1 cm1 cmzozcycc