1、高等數值分析歷年考題高值試題（李津老師）一，填空題(4*7) 1.求矩陣的二范數，條件數。矩陣A=0,2;3,0 2.把一個矩陣SVD，然后求個廣義逆算個結果 3.CG法，求余量的方向 二、簡答 1.三類矩陣哪些能被Householder變換變換出來 2.GMRES的性質，每次余量是否變小 3.本質上是證明牛頓迭代的超線性收斂 三、計算 1.strum算法的使用，比書上習題還簡單 2.Arnoldi過程中斷時的若干性質證明 3.第八章Galerkin方法的求解，邊值條件改成一階導數。定理8.4.3的變形。 答疑的時候一定要去聽聽，李老師在講牛頓迭代的超線性收斂和Galerkin方法時眉飛色舞，

2、果斷就考了。2012高等數值分析 （賈仲孝老師）首先慶賀自己研究生的第一門也是最后一門考試順利結束，哦也，再也沒有考試啦！ 賈哥延續(xù)了考題沿用往年題的優(yōu)良傳統(tǒng)，詳情見拍照，全部是歷年考題，基本上是按著去年 考題來的，只有一道題第二個小問號改了一下而已。 1. 用householder和givens變換做QR分解，由于矩陣特殊，非常簡單。如果拿不準，不妨用 GS方法做一遍驗證一下，因為不同的QR分解只是符號有差異而已，GS還是比householder簡 單很多的。 2.1證明rayleigh商最大值等于A的最大特征值，將x拆成各個特征向量之和就容易證。 2.2冪法求一個特征值，一步收斂 3. 第

3、三次作業(yè)第三題，也是去年的原題，基本上都不用想，直接默寫就行了 4.1 去年考題。注意到Ak*R（k-1）=R（k-1）*A（k-1），那么就類似冒泡算法把Ak移到最 右邊變成一個A 4.2 有點小惡心，去年這個問號問的是Qk第一列是特征向量x1，只需要兩邊同乘以e1即可， 但今年問的是最后一行是特征向量xn，頓時就不會證了，當時打眼一看覺得貌似A也不能說 明是可逆的，就沒往反冪法這個方向去，但是后來想想其實最多也就是lamdaN=0，其他不為 0，也許可以分情況討論下？后來有同學說假設可逆用了反冪法也沒得到什么結論.不知道 .還好就是5分，丟了就丟了吧 5 考過多年的經典背誦題，默寫rayl

4、eigh ritz方法和賈哥定理，以及Arnolid和精化Arnoli d算法 6.1 lagrange差值，三個點而已 6.2 最佳平方逼近，解一個2*2的法方程組就完事2003高等數值分析(賈仲孝) 1 證明不動點定理（存在唯一性）2 第三章習題83 共扼剃度法ak的選取，以及正交的證明4 梯形法（迭代，相容，穩(wěn)定區(qū)間）具體為 dy/dt + y=0 y(0)=1?5 求正交陣使H*（2/3 1/3 2/3）'=e1求I2ww' （w的二范數為1）的特征值已知H，問計算Ha的運算量6 攝動原理 誤差分析7 拉各朗日插值（這里實際考的是代數基本定理的應用）8 忘了2005高等

5、數值考題（賈哥版）下面是B卷內容，總共六道題1.用Givens變換QR分解一個3*2的矩陣，并求解一個最小二乘2.證明：對于Minres和Gmres(1)A有k個特征值時，至多k步收斂(2)A有n個不同的特征值，r0由k個屬于不同特征值的特征向量構成時，k步收斂（這里沒有 “至多”）3.A為m*n矩陣，m>n(1)用完全QR分解，不完全QR分解以及SVD表示A+(2)用完全QR分解以及SVD得到min|Ax-b|問題的xls和rls，并加以證明4.(1)證明Arnoldi過程中斷時找到準確解(2)證明Arnoldi過程中斷時不會發(fā)生方法中斷(3)當A為正定對稱陣時，證明Lanczos方法

6、不會發(fā)生方法中斷（即W'AV非奇異，講義上有的）5.A=uv'。u,v均為向量，A的秩為1(1)證明u'v為A的特征值(2)A還有哪些其他的特征值？（答案：0）(3)用冪法求A的主特征值，幾步可收斂？為什么？（答案：1步）6.關于CG的問題(1)類似于推導alpha(k)，直接用書本上的方法就可以了(2)當A=I-BB'時，其中B的秩為p，用CG求解Ax=b問題，最多幾步可收斂？為什么？（答案：min(p+1,n)）感覺把講義上的東東都看懂了就沒問題了，賈哥還是很好的人哪 _d2005高等數值分析試題（陸金甫老師）1.A=1,3;1,3;1,1;1,1，b=記不

7、清楚了，歡迎補充，反正4×1的:)1）用householder變換完成QR分解2）用QR分解的結果，求|b-Ax|的最小二乘解2.A=6,3;3,2 b=0;-11)用CG法解這個方程2)說了一堆CG里面關于A共軛的東西之后，讓你證名CG法理論上至多需要n步就可以得到精確解（有提示，先證明r(k)正交）3.A=1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 1,v1=1,0,0,0',完成Arnoldi過程4.F(x)記不清了，不過可以從G(x)推出來。G(x)= 0.25(x2-0.1×ex1+1)0.25(x1-0.125×x12)D=x1,x2

8、|0<=x1,x2<=0.51)這個迭代是否存在唯一不動點？用Ostrowsky定理說明這個迭代的收斂性2)x00,0'用newton迭代計算x15.變分問題1)-(u對x的2階偏導u對y的2階偏導)f(x,y)在邊界上(u對n的偏導alpha×u)=0推倒這個問題的Galerkin變分問題與Ritz變分問題，懷疑下面還有些問題。2)給了一個微分方程，條件是第三類邊界條件，用RitzGalerkin方法求U2(X),基函數是phi(k)(x)=Xk6.敘述并證明Newton迭代收斂并且是超線性收斂的那個定理。（貌似就是存在唯一不動點+F(x)在不動點的鄰域上可導，

9、導數連續(xù)，不動點處的導數非奇異，則鄰域內存在閉球使newton迭代有意義，且超線性收斂于不動點）。2006高等數值分析A卷（賈仲孝）1A=1，1，1，1；0，1，2，3，r是最小化二乘問題|b-Ax|的殘差，r可能是下面那個向量？給了3個向量。用法方程，根據A'r=0解。2A=sqrt（2），1，1；0，1，1，b=（1，1，1）（1）用Givens變換求A的QR分解（2）用QR求最小化二乘問題|b-Ax|3.（1）證明對Arnoldi方法和GMRES方法，Arnoldi過程中斷，方法找到了精確解。（2）證明如果Arnoldi方法中斷，則Arnoldi過程一定不中斷。4.（1）證明對于

10、MINRES和GMRES，如果A只有k個不同的特征值，則k步收斂。（2）如果A的特征值互不相同，x0=0，b由A的k個特征向量組成，證明MINRES和GMRES方法k步收斂。5（1）推導alpha（k），證明r（k）與一個什么向量垂直（記不起了。很簡單，就是幾步數學演繹）（2）為什么在絕對精確的計算下，CG，Lanczos，MINRES，Arnoldi，GMRES方法至多n步一定找到精確解。6（1）敘述Rayleigh-Ritz方法和精化的Rayleigh-Ritz方法的主要收斂結論。（2）描述Arnoldi方法和精化的Arnoldi方法。補充：1.備選項：(a) 1 1 1 1' (

11、b) 1 -1 -1 1' (c) -1 1 1 -1'5(1).給定phi(x_k) = (1/2)(x_k)'A(x_k)- (x_k)'b； 遞推式x_k+1= x_k + alpha * p_k，問alpha多少時使得phi(x_k+1)最小，并證明b - A(x_k+1)和p_k垂直。2006高等數值分析（白峰衫）填空題4*101) a=1 0.5;0.5 1 求普半徑 條件數2) QR上述矩陣3) n維內急空間是賦范空間，無窮就不一定了。 判斷4) 稀疏矩陣gauss分解就是不完全LU，能用來預處理。判斷5) u'=(u-u1)(u-u2)

12、u1>u2 問兩點的穩(wěn)定情況。6) 對稱正定陣的問題可以一般化討論3對角即可。判斷7) 特征值問題條件數和解方程條件數是一回事。(就是去年那個題目)判斷8) 多重網格xxx。粗網絡平滑高頻，細網絡平滑低頻。判斷9) 線性規(guī)劃內點問題是多項式問題。任何線性規(guī)劃問題都能數值求解。 判斷10)去年那個正則點題目計算題 10(建議現在大腦里裝個matlab)某該死的矩陣lanczos3q0=(1 2 2)A=4 1 11 3 11 1 2計算題15奇異值分解 求廣義逆秩A=4 1 ;1 1;1 2計算題15去年那個迭代題目，驗證11是解，求牛頓迭代式以及x1 x0=0.5 0.5 另外給了一個迭

13、代式，同樣初值求x1證明題10 (u'',v'')=(v,f) 以及一堆0的邊界條件 u''''=f以及一堆0的邊界條件證明上述兩個問題等價證明題10引理3.3.22006高等數值分析（白峰杉）填空4'×101. A=(1,0.5;0.5,1),求2范數和條件數。2. 還是這個A，求QR分解。38. 判斷對錯，涉及到GUASS消去，線性規(guī)劃，多重網格，求特征值時的條件數cond(A)，賦范空間，還有一個忘了。9. du/dt=(u-(u+)(u-(u-)，則(u+)是_（穩(wěn)定/不穩(wěn)定）的穩(wěn)態(tài)解，(u-)是_（穩(wěn)定

14、/不穩(wěn)定）的穩(wěn)態(tài)解。10. f(x)=f(x1,x2,x3)=.（忘了），求臨界點、臨界值、正則點、正則值。計算證明15'×210'×31.對稱陣A=(4,1,1;1,3,1;1,1,2)，取3q1=(1,2,2)'，用Lanczos過程將其三對角化。2.f(x)=(f1(x),f2(x)=0。（1）驗證x*=(1,1)'是方程的解。（2）寫出Newton法迭代式，x0=(0.5,0.5)'，求x1。（3）給了一個迭代式fai(x)=.，證明它在x*有局部收斂性，并做一步迭代，計算x1。3. A=(4,1;1,1;1,2)，求SVD，

15、A的廣義逆和A的秩。4.zm是Krylov子空間Km的向量，Lm=AKm。證明：(r0-Azm,v)，任取v屬于Lm等價于|r0-Azm|=|r0-Az|，z屬于Km。5.證明：求解方程：d4u/dx4=f，u(0)=u(1)=u'(0)=u'(1)=0等價于在空間L中找到這樣的u滿足：(u'',v'')=(f,v)，任取v屬于L。（L主要的性質就是v(0)=v(1)=v'(0)=v'(1)=0。）2007高等數值分析(賈仲孝)1.(1) f ( x_0 ) = a， f ( x_1 ) = b， f ( x_2 ) = c， x

16、_k = ( k - 1 )/h, k = 0,1,2, 求 f ( x ) 的拉格朗日差值多項式。(2) 求 f(x) = |x| 在-1 , 1 上的最小平方逼近，基函數取1， x22.(1) 若 A 可對角化，則當 A 僅有 k 個不同特征值時，證明對于 A x = b MINRES方法與GMRES方法至多 k 步找到精確解。(2) 若A的特征值各不相同，對 A x = b 而言，取 x_0 = 0，b 可以表示成由 k 個特征向量，證明MINRES方法與GMRES方法k步找到準確解。3.A = | 0 3 4 | 3 0 0 | 4 0 1 |(1) 用Givens變換實現 A 的相思

17、變換使得 A 化成對稱三對角矩陣 T ;(2) 用Householder變換實現A的 QR 分解。4.取 G = -1 1 , x = g(x) = (x2 - 1)/3 , 求證上述變換在 G 內有唯一不動點。5.取 x_k+1 = x_k + a_k d_k，其中 d_k 為迭代方向(1)若選取a_k使得| r_k+1 | = min | b - A x_k |，給出 a_k 的算式；(2)求證 r_k+1 與 A d_k 垂直；(3)若取d_k = r_k，證明對于任意的x_0，則上述方法均收斂。6.取 A = u v'，其中 u 與 v 不正交。(1)證明 v' u 為

18、 A 特征值；(2)證明 A 的其余特征值均為 0；(3)若對上述 A 使用冪法，則迭代幾步之后收斂，收斂向量是什么？2007高等數值分析(白峰杉)一、 填空 13題每題6分，46題每題3分1、A=1 1/4 求A 求解Axb問題中的條件數cond2（A）1/4 1;2、求A的奇異值分解3、求解特征值問題Axx問題中的條件數4 求A的廣義逆 A5 用A 進行jabobi松弛迭代 迭代矩陣為6 如果求方程xn+a1xn-1an=0的根等價于求一個矩陣的特征值，這個矩陣是？二、判斷對錯 并說明理由 每題3分1、2、列主元高斯消去法與LU方法是等價的，求解大型稀疏矩陣的列主元消去法，由于不必每次都選

19、取最大的主元，因此與LU方法不等價3、guass消去解方程時，如果增長因子很大，結果一定不可靠4、任何實矩陣的問題，不失一般性，都可以只研究上三角矩陣5、多元代數方程組的解由方程組唯一確定，而且復雜度是多項式的，易于求解6、粗網格解決的是高頻分量，細網格是低頻7、任意空間，如果可以定義內積，就一定是賦范空間三、A4 2 1 3*q1=1 求前兩個ritz值2 3 1 21 1 2; 2四、方程 8x1-x12+x2-8=08x2-x22+x1-8=0 1、證明（1，1）是方程的解2、x0（0，0）,newton迭代，求x13，對于函數 x11/8*x12+1/8*x2-1x2- 1/8*x22

20、+1/8*x1-1 (1) 證明函數在x*處局部收斂(2) 如果0<x1,x2<1.5 證明函數是壓縮的 且全局收斂五、如果矩陣的無窮范數定義為A= max Axx1則Amax aiji，j2008數值分析試題(賈哥版) 1、算一個2階拉格朗日插值，f（x）=1/x，插值點，2、2.5、4，寫出插值函數，分析在3點的偏差。1/60我記得。然后f（x）=sqrt（x），權函數=1，問一階最佳平方估計的插值函數是多少？大概是4/5x+2/15？這題其實用chebyshev和拉格朗日都一樣，一階情況下一樣的。2、用givens和householder變換把A QR了。A=0，3，4；3，

21、0，0；4，0，1。答案應該是G變化下，忘記了，H變換下，R=5，0，0.8；0，3，4；0，0，-3，只記得兩個R不一樣，QR向來不唯一吧。3、證明Arnoldi過程中斷時Arnoldi方法找到了精確解，證明Arnoldi方法在第k步中斷，則Arnoldi過程必不中斷，證明A=A'0時lanczos方法一定不中斷。比較簡單4、簡述算部分特征值的arnoldi一般方法和精細方法。略5、phi（x）=1/2（x，Ax）-（x，b），phi(x_k+a*p_k)在a取什么值時得到最小，其中x_k 是Ax=b的目前近似，p_k是搜索方向，并且證明，b-Ax_k+1垂直于p_k。這題目課件的C

22、G中都 有類似的證明，第一問求導，第二問直接算內積，把x_k+1=x_k+a_k*p_k的關系以及上面求導的a的值代入即可。這里沒有提到CG，所以不能用CG的一些假設前提，比如Pk*p_k=0就好，實際上更簡單了。第二問是在精確求解情況下，證明CG，lanczos，MINRES、Arnoldi，GMRES五種方法在k=n時都一定找到準確解。CG、M、G都是最優(yōu)，有限步算法，比較簡單，L、A主要是在k=n的條件下，AQ=QT成立，沒有那個小尾巴了，證明T的非奇異后，算y算z算x，Ax一算等于b于是精確解。6、給了一個三階矩陣A=-3，1，0；3，-2，3；0，1，-3，給了一個初始向量v0=1/

23、sqrt（3）（1，1，1），用冪法求主特征值和主特征向量。一部就收斂了，然后v1Av1得到這特征值-5。2009高等數值分析(賈哥版)1、(1)插值，f(x)=sqrt(1+x),給了3個點0，0.6，0.9(2)最小二乘，基函數為1,x2，在區(qū)間-1,1，f(x)=|x|2、證明(1)A只有k個不同特征值且能夠對角化時，MINRES和GMRES至多k步收斂(2)A有n個不同特征值但是r0只由k個特征向量線性組合，MINRES和GMRES迭代k步收斂3、(1)x_(k+1)=x_k+alpha_k*d_k,求使得|x-x*|盡量小的alpha_k，其中x*=inv(A)*b(2)證明(x_k

24、-x*)垂直于d_k(3)f_k=A'*d_k，取f_k=b-A*x_k方法是否一定收斂4、(1)敘述冪法特征值lambda_a對應的特征向量為x_1,sin(x1,vk)=epsilon_k,證明|rho-lambda_1|=O(epsilon2)(2)A=1,1,1;1,1,1;1,1,1,用冪法求主特征值和特征向量 5、A=2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2(1)用Givens變換變成3對角(2)用Householder變換作QR分解2009高等數值分析_賈仲孝第四題和第五題記得不是特別清楚。1.1.) f(x)=sqrt(1+x),x_0=0,x_1=0.6,x_2

25、=0.9,求二次插值多項式。并計算f(0.44),計算在該點準確值與估計值的誤差；2.) f(x)=abs(x),積分區(qū)間-1,1,phi(x)=1,x*x,權函數為1，求最佳逼近2. 矩陣A可以對角化，A*x=b，取x_0=0.對于MINRES和GMRES方法；1.) 當A僅有k個不同特征值時，證明至多k步即可收斂2.) 若A的特征值各不相同，b可以表示成k個特征向量的線性組合，證明k步找到準確解；3.矩陣A=2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 21.) 利用givens變換把A轉化成對稱三對角矩陣2.) 利用householder變化實現A的QR分解4.Ax=b,x_*為方程的

26、精確解，x_*=(A-1)*b, x_k+1=x_k + alpha_k * d_k,其中d_k為搜索方向，d_k= A'*f，f為非零向量，1.) 確定alpha的表達式使得范數|x_* - x_k+1|盡可能小2.) 證明x_* - x_k+1 與 d_k 正交，(alpha的表達式中不要顯示x_*)3.) 若取d_k = r_k= b - A*x_k,問算法是否收斂，說明理由5.1.) A為實數矩陣，且特征值滿足lamda_1>lamda_2>=.>=lamda_n陳述冪法，并證明sin (v1,x1)=O(dieta),p為第k步冪法得到的特征值，證明|p-l

27、amda|=O(dietak),就是說精度是dieta的k次方量級。2.) 利用冪法求下列矩陣的主特征值和特征向量A= 1 1 1; 1 1 1; 1 1 1一步收斂，特征值是3，特征向量是1/sqrt(3)* 1 1 1'2009高等數值分析(白峰杉老師)總體來說，今年的題目不難，很多難的都沒考。但是白老師今年出來3道多選題。同時很多東西光靠課件和教材是找不到，聽課很重要一、填空（3*6=18）A=2,1;1,2;(1)求|A|1；求多項式方程組Ax=b的Cond1(A);(2)已知QR分解中的Q=-0.8944 -0.4472;-0.4472 0.8944， 求R=?若記A(0)=

28、A，用QR迭代求特征值，問A(1)=? (3)求A的特征值問題條件數(4)廣義逆矩陣A+=?二、判斷題（請說明理由，或者改正）（3*4=12）1、Newton法丟非線性方程組，只要初值充分接近解，那么一定收斂；2、如果一個多項式的條件數很大，那么這個問題有可能很不好求解；3、任意線性橢圓微分方程都可以4、由于有限維空間的范數相互等價，所以min|Ax-b|v都相同。三、多選題（3*10=30）1、多項式Pn(x)=xn+a1x(n-1)+a0，以下說法正確的是：A、多項式的實值根的個數（算重根）由方程的次數和系數決定；B、用Newton法求多項式的解一定收斂；C、D、E、多元多項式的根只有方程

29、的階數決定。2、假設有n的觀察變量，總共有m個采樣值。形成矩陣A（m*n）。以下說法正確的是：A、如果矩陣的奇異值維r，其秩為r；B、變量的協(xié)方差矩陣為m階；C、主成分分析的中心化指的是求每一行的平均值并減去該值；D、使用PCA實際上使用線性方法對數據進行降維和去噪；E、當矩陣很大的時候，使用奇異值分解算法穩(wěn)定；3、線性規(guī)劃問題。以下說法正確的是：A、單純性問題如果有最優(yōu)解，一定在頂點處求到；B、單純性算法可以有效求解大部分問題；C、單純性經典意義上的復雜度是指數的；D、內點法的復雜度指示多項式的；E、？三、計算題1、Househoulder變化（對教材的做法有一點改動）H2 2 1 0

30、9;=(I-2vv'/v'v)2 2 1 0'=a,0,0,0;(1)a=？v=？(2)證明Householder矩陣對稱、正交；2、考慮一維poison過程 -(正三角)u=f。f=6x。區(qū)間在0,1；u(0)=0;u(1)=1;(1)采用中心差分迭代格式，步長h=0.25，離散化方程；(2)考慮線性方程組Ax=b，A對稱正定。說明并證明極小化原理；3、非線性方程組F(x)=0;(1)用Newton法求解，寫出G(x)；(2)當F(x)=Ax-b時，求出G(x);(3)寫出G'(x*)的譜半徑，從而證明收斂。2010高等數值分析(賈哥)今年賈哥很厚道啊，幾乎拿

31、得是06年的卷子。我就不抄寫了，和以前的題是一樣的按著pretest上的年號-題號看就可以了。06-306-206-406-507-106-62010高等數值分析 (白峰杉)一、填空(18'，每空3分)：1.A4,3;3,4求二范數，和二范數的特征值的條件數2.將A進行QR分解，求household變換矩陣H= ；R=3.求A的奇異值分解的三個矩陣U= ;S= ;V= .二、判斷并寫理由/更正(12',每題3分)：1.解非線性方程的牛頓法是迭代法但不是不動點迭代2.多重網格的粗網格是對高頻分量的改善，。3.QR分解求特征值，迭代得到的矩陣都是上hessenberg矩陣4.線性規(guī)劃問題的優(yōu)化。，平均意義下的計算復雜度是指數型的三、多項選擇題(30',每題10,把你認為錯誤的寫上理由)1.多元多項式方程組P(X)=(p1(x),p2(x),.,pm(x)=0，pk(x)的多項式次數為dk,k=1,2,.,mA.方程組解的個數上界滿足d1+d2+.+d3B.m=1時結論A符合代數基本