1、 實用文檔 文案大全 知識點一：橢圓的定義 平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距. 注意：若，則動點的軌跡為線段； 若，則動點的軌跡無圖形. 講練結合一.橢圓的定義 1若ABC?的兩個頂點?4,0,4,0AB?，ABC?的周長為18，則頂點C的軌跡方程是 知識點二：橢圓的標準方程 1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中； 2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中； 注意： 1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程； 2在橢圓的兩種標準方程中，都有和； 3橢圓的焦點

2、總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，。 講練結合二利用標準方程確定參數(shù) 1橢圓2214xym?的焦距為2，則m= 。 2橢圓5522?kyx的一個焦點是)2,0(，那么?k 。 陳氏優(yōu)學 教學課題 橢圓 實用文檔 文案大全 知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì) 橢圓的的簡單幾何性質(zhì) （1）對稱性 對于橢圓標準方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。 （2）范圍 橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±

3、b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|a，|y|b。 （3）頂點 橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。 橢圓（ab0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（a，0）， A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。 線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長 和短半軸長。 （4）離心率 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。 因為ac0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因 此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時

4、橢圓就越接近于圓。當且僅當 a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。 實用文檔 文案大全 橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）： （1），； （2），； （3）,，； 知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系 標準方程 圖形 性質(zhì) 焦點 ， ， 焦距 范圍 ， ， 對稱性 關于x軸、y軸和原點對稱 頂點 ， ， 軸 長軸長=，短軸長= 離心率 實用文檔 文案大全 準線方程 焦半徑 ， ， 注意：橢圓，（ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。 題型一 橢圓焦點三角形面積公式

5、的應用 定理 在橢圓12222?byax（ab0）中，焦點分別為1F、2F，點P是橢圓上任意一點，?21PFF，則2tan221?bSPFF?. 證明：記2211|,|rPFrPF?，由橢圓的第一定義得 .4)(,2222121arrarr? 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr? 配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr? 即.4)cos1(242212crra? .cos12cos1)(222221?bcarr 由任意三角形的面積公式得： 2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121?bbbrrSPFF. .

6、2tan221?bSPFF? 典題妙解 例1 若P是橢圓16410022?yx上的一點，1F、2F是其焦點，且?6021PFF，求 P y F1 O F2 x P 實用文檔 文案大全 21PFF的面積. 解法一：在橢圓16410022?yx中，,6,8,10?cba而.60?記.|,|2211rPFrPF? ?點P在橢圓上， ?由橢圓的第一定義得：.20221?arr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr? 配方，得：.1443)(21221?rrrr .144340021?rr從而.325621?rr .336423325621sin212121?rrSPF

7、F 解法二：在橢圓16410022?yx中，642?b，而.60?.336430tan642tan221?bSPFF 解法一復雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！ 例2 已知P是橢圓192522?yx上的點，1F、2F分別是橢圓的左、右焦點，若21|2121?PFPFPFPF，則21PFF的面積為（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33 解：設?21PFF，則21|cos2121?PFPFPFPF?，.60?.3330tan92tan221?bSPFF 故選答案A. 練習 6已知橢圓的中心在原點，1F、2F為左右焦點，P為橢圓上一點，且21|2121?PFPFPF

8、PF，21PFF 的面積是3，準線方程為334?x，求橢圓的標準方程. 參考答案 實用文檔 文案大全 6解：設?21PFF，?120,21|cos2121?PFPFPFPF. 3360tan2tan22221?bbbSPFF?，?1?b. 又?3342?ca，即33333411222?cccccbc. ?3?c或33?c. 當3?c時，222?cba，這時橢圓的標準方程為1422?yx； 當33?c時，33222?cba，這時橢圓的標準方程為13422?yx； 但是，此時點P為橢圓短軸的端點時，?為最大，?60?，不合題意. 故所求的橢圓的標準方程為1422?yx. 題型二 中點弦問題 點差法

9、 中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓12222?byax中，以00(,)Pxy為中點的弦所在直線方程？ 例3. 過橢圓內(nèi)一點，引一條弦，使弦被點平分，求這條xyMM22164121?() 弦所在的直線方程。 分析：本例的實質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進一步的研究。 解：法一 設所求直線方程為，代入橢圓方程并整理，得ykx?12() ()()()4124211602222kxkkxk?，又設直線與橢圓的交點為 AxyBxyxxxxkkk()()()11221212228241，、，則、是方程的兩個根，于是，? 又為

10、的中點，解之得，故所求直線方MABxxkkkk122224241212?() 程為xy?240 實用文檔 文案大全 法二 設直線與橢圓的交點為，、，為的中點，AxyBxyMAB()()()112221 ，又、兩點在橢圓上，則，xxyyABxyxy121212122222424164? ?164012221222，兩式相減得()()xxyy yyxxxxyy12121212412?() 即，故所求直線為kxyAB?12240 點差法 1.過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為22的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=21x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對

11、稱，試求直線l與橢圓C的方程. 命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強，屬級題目. 知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題. 錯解分析：不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關鍵. 技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理. 解法一：由e=22?ac,得21222?aba,從而a2=2b2,c=b. 設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上. 則

12、x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12實用文檔 文案大全 y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy? 設AB中點為(x0,y0),則kAB=002yx,又(x0,y0)在直線y=21x上，y0=21x0,于是002yx= 1,kAB=1,設l的方程為y=x+1. 右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x,y), ?byxbxybxy11 1221解得則 由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692?a. 所求橢圓C的方程為2291698yx? =1,l的方程為y=x+1. 解法二：由e=21,222

13、22?abaac得,從而a2=2b2,c=b. 設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1), 將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=22214kk?,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk?. 直線l：y=21x過AB的中點(2,22121yyxx?),則2222122121kkkk?,解得k=0，或k=1. 若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一. 題型

14、三 弦長公式與焦半徑公式 1、一般弦長公式 弦長公式：若直線ykxb?與圓錐曲線相交于兩點A、B，且12,xx分別為A、B的橫坐標，則AB實用文檔 文案大全 2121kxx?，（若12,yy分別為A、B的縱坐標，則AB21211yyk?），若弦AB所在直線方程設為xkyb?，則AB2121kyy?。 2、焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù) ecaeM?()01的動點的軌跡叫做橢圓，定點為橢圓的一個焦點，定直線為 橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離

15、心率。 注意：對對應于右焦點，的準線稱為右準線，xaybabFc22222100?()() 方程是，對應于左焦點，的準線為左準線xacFcxac?2120() e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線的距離的比。 2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。 對于橢圓，設，為橢圓上一點，由第二定義：xaybabPxy22210?()() 左焦半徑·左左rxaccarexcaacaex02020? 右焦半徑右右racxcaraex200? 已知點P在橢圓yaxbab222210?()上，F(xiàn)F12、為橢圓的兩個焦點，求|PFPF12·的

16、取值范圍 實用文檔 文案大全 6. 解：設P()xy00，橢圓的準線方程為yac?±2，不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點 則|PFyaccaPFacyca102220?， ，|PFcayaPFacay1020? ·|()()PFPFacayacay1200?acay22202 ?aya0， 當y00?時，|PFPFa122·最大，最大值為 當yaPFPFacb012222?±時，·最小，最小值為| 因此，|PFPF12·的取值范圍是ba22， 例2. 橢圓的焦點為、，點為其上的動點，當為鈍角xyFFPFPF221212941? 時

17、，點P橫坐標的取值范圍是_。（2000年全國高考題） 分析：可先求F1PF290°時，P點的橫坐標。 解：法一 在橢圓中，依焦半徑公式知，abcPFx?3253531| |PFxFPFPFPFFF2121222122353?，由余弦定理知為鈍角 ()()()353353259535352222?xxxx，應填 法二 設，則當°時，點的軌跡方程為，PxyFPFPxy()1222905? 由此可得點的橫坐標±，點在軸上時，；點在軸上PxPxFPFPy?35012 時，為鈍角，由此可得點橫坐標的取值范圍是FPFPx123535? 實用文檔 文案大全 題型四 參數(shù)方程 3

18、. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BNAN，垂足為M，求當半徑OA繞O旋轉時點M的軌跡的參數(shù)方程。 解：設點的坐標是，是以為始邊，為終邊的正角，取為Mxy()?Ox? 參數(shù)。 那么xONOAyNMOBxayb?|cos|sincossin()?1 這就是橢圓參數(shù)方程：為參數(shù)時，稱為“離心角”? 說明：<1> 對上述方程（1）消參即 xaybxayb?cossin?22221普通方程 <2>由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數(shù)

19、方程。 直線與橢圓位置關系： xaybykxb22221? 求橢圓上動點P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結合，求平行線間距離，作l'l且l'與橢圓相切） 例4. 已知橢圓，在橢圓上求一點，使到直線：xyPPlxy228840? 實用文檔 文案大全 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 設，由參數(shù)方程得P(cossin)()22? 則d?|cossin|sin()|2242342? 其中，當時，tanmin?2221222d 此時，cossinsincos?22313 即點坐標為，PP()?8313 法二 因與橢圓相離，故把直

20、線平移至，使與橢圓相切，則與的距離，llllll''' 即為所求的最小值，切點為所求點最大('')l? 設：，則由消得lxymxymxyx'?008822 9280449802222ymymmm?，令×?() 解之得±，為最大，由圖得mm?333() 此時，由平行線間距離得Pl()min?831322 2222000210310123xyabeABabABxPABCxyxFAFBF?橢圓（）的離心率，、是橢圓上關于坐標不對稱的兩點，線段的中垂線與軸交于點（，）。（）設中點為（，），求的值。（）若是橢圓的右焦點，且，求橢圓的方程

21、。 實用文檔 文案大全 159523233322923322332499951959500195943232122122202121212122120000000000202212121020221212122121222222222222122122222222220021210210212211?yxbcacaaxxxxxaexaexaexaBFexaAFxcaBFacxcaAFBFAFxxxyxyxyxyaxbxxyyyyyaxbxxyyyyaxxxxbbayaxbbayaxbbyaxBAababaaceyxxxyyyyyxxxyxByxA所求橢圓方程為）（又）（）（）（）（）（上在橢圓

22、、又由，則），（）、，（）令（ 1橢圓221925xy?的焦點為1F、2F，AB是橢圓過焦點1F的弦，則2ABF?的周長是 。 2設1F，2F為橢圓400251622?yx的焦點，P為橢圓上的任一點，則21FPF?的周長是多少？21FPF?的面積的最大值是多少？ 實用文檔 文案大全 3設點P是橢圓2212516xy?上的一點，12,FF是焦點，若12FPF?是直角，則12FPF?的面積為 。 變式：已知橢圓14416922?yx，焦點為1F、2F，P是橢圓上一點 若?6021PFF， 求21FPF?的面積 五離心率的有關問題 1.橢圓1422?myx的離心率為21，則?m 2.從橢圓短軸的一個

23、端點看長軸兩端點的視角為0120，則此橢圓的離心率e為 3橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。 5.在ABC中，3,2|,300?ABCSABA若以AB，為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率e? 講練結合六.最值問題 1.橢圓2214xy?兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_，最小值為_ 實用文檔 文案大全 2、橢圓2212516xy?兩焦點為F1、F2，A(3，1)點P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的

24、最大值為_，最小值為 _ 3、已知橢圓2214xy?，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值 最小值 。 4.設F是橢圓322x242y=1的右焦點,定點A(2,3)在橢圓內(nèi),在橢圓上求一點P使|PA|+2|PF|最小,求P點坐標 最小值 . 知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系 標準方程 圖形 性質(zhì) 焦點 ， ， 焦距 范圍 ， ， 對稱性 關于x軸、y軸和原點對稱 頂點 ， ， 軸 長軸長=，短軸長= 離心率 實用文檔 文案大全 準線方程 焦半徑 ， ， 注意：橢圓，（ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同

25、，它們的焦點坐標也不相同。 1如何確定橢圓的標準方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。 確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a、b，一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。 2橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義 橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2。 可借助下圖幫助記憶： a、b、c恰構成一

26、個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。 3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置 橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。 4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件 方程Ax2+By2=C可化為，即， 所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。 實用文檔 文案大全 當時，橢圓的焦點在x軸上； 當時，橢圓的焦點在y軸上。 5求橢圓標準方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方 程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再

27、定量”； 定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。 6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異 共焦點，則c相同。 與橢圓（ab0）共焦點的橢圓方程可設為（kb2）。此類問題常用待定系數(shù)法求解。 7判斷曲線關于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x，方程不變，則曲線關于y軸對稱； 若把曲線方程中的y換成y，方程不變，則曲線關于x軸對稱； 若把曲線方程中的x、y同時換成x、y，方程不變，則曲線關于原點對稱。 8如何解決與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？ 與焦點三角形有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面

28、積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、，有關角()結合起來，建立、之間的關系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關系？ 長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為c2=a2b2，ac0，用a、b表示為，當越小時，橢圓越扁，e越大；當越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0e1。 實用文檔 文案大全 課后作業(yè) 1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為( ) A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線 2、橢圓221169xy?左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則?CDF1的周長為_ 3已知方程22111xykk?表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-1 4、求滿足以下條件的橢圓的標準方程 (1)長軸長為10，短軸長為6 (2)長軸是短軸的2倍，且過點(2，1) (3) 經(jīng)過點(5，