1、 數(shù)列的概念及簡單表示法1 數(shù)列的定義 按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2 數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an1_an其中 n N遞減數(shù)列an1_1 時， an Sn Sn 1 3 an 3 an1.33an n 1 an 1n 1.an n 1a4 5an1 n 1a3 3a3 4 a2a22，a1以上 n 1個式子的等號兩端分別相乘，得到an n n 1 a12又 a1 1， ann12思維升華 已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解 當出現(xiàn) anan1

2、m時，構造等差數(shù)列；當出現(xiàn) anxan1y 時，構造等比數(shù)列；當出現(xiàn)an an 1f ( n)時，用累加法求解；當出現(xiàn)f ( n)時，用累乘法求解an1(1) 已知數(shù)列 an滿足 a11n1，annan1( n2) ，則 an .(2) 已知數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 Sn2an1(nN)，則 a5等于 (A 16 B 16 C 31 D 321答案 (1) (2)Bnn 1解析 (1) an n an1 ( n2)，n 21 an 1an 2， a2 a1.n 12以上 (n1) 個式子相乘得1 2n 1 a1 1an a1 .2 3 nn n(2) 當 n1 時， S1 2a1

3、1， a11.當 n2時， Sn 1 2an 1 1， an 2an 2an 1， an 2an 1.an 是等比數(shù)列且 a11，q2，44故 a5 a1 q4 24 16.典例： (12 分)已知數(shù)列 an (1) 若 an n 5n 4， 數(shù)列中有多少項是負數(shù)n 為何值時， an有最小值并求出最小值(2) 若 an n2 kn 4 且對于 n N，都有 an1an. 求實數(shù) k 的取值范圍思維啟迪 (1)求使 an0的n值；從二次函數(shù)看 an的最小值 (2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)， 通項 公式可以看作相應的解析式 f ( n) n2kn(n)在 N上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)從 二次函數(shù)的對稱軸

4、研究單調(diào)性規(guī)范解答2解 (1) 由 n2 5n40，解得 1nan 知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式ann2kn4，可以看作是關k3于 n 的二次函數(shù)，考慮到 nN，所以 2 3.12 分 溫馨提醒 (1) 本題給出的數(shù)列通項公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實數(shù) k 的取值范圍，使問題得到 解決(2) 在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取(3) 易錯分析：本題易錯答案為 k2. 原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量 是正整數(shù) .方法與技巧1 求數(shù)列通項或指定項通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般

5、用 ( 1)n或( 1) n1來區(qū)分奇偶項的符號 ) ；已知數(shù)列中的遞推關系，般只要求寫出數(shù)列的前幾項， 若求通項可用歸納、猜想和轉化的方法S1n 12 強調(diào) an 與 Sn的關系： anSn Sn 1n23 已知遞推關系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握一般有二種常見思路：(1) 算出前幾項，再歸納、猜想；(2) 利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項公式失誤與防范1 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時，一定要注意自變量的取值，如數(shù) 列 an f ( n)和函數(shù) yf(x) 的單調(diào)性是不同的2 數(shù)列的通項公式不一定唯一A 組 專項基礎訓練（ 時間： 40 分鐘 ）、選擇題1

6、數(shù)列 0,1,0 ， 1,0,1,0 ， 1，的一個通項公式是 an等于2Bcosn2n1 C cos 2 答案 DDcosn22解析 令 n 1,2,3 ，逐一驗證四個選項，易得D正確數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，若 a11，an13Sn（n1），則 a6等于（4A3444B3441C45D451答案 A解析 當 n1時， an 1 3Sn，則 an2 3Sn1， an 2an 1 3Sn 1 3Sn 3an1 ，即 an2 4an1，該數(shù)列從第二項開始是以 4 為公比的等比數(shù)列1 n 1 ， 又 a2 3S1 3a1 3， ann234n2 n2 .當 n 6 時， a634 34.

7、3 若數(shù)列 an的通項公式是 an（ 1） n（3 n2） ，則 a1a2 a10等于 （）A15 B 12 C 12 D 15答案 A解析 由題意知， a1 a2 a1010 14710 （1）10（310 2）9 10 （14）（710）（ 1）9（392）（1）10（3102） 3 5 15.4 n 2 n4 已知數(shù)列 an的通項公式為 an （ 9） n1（3） n1，則數(shù)列 an（ ）A有最大項，沒有最小項 B有最小項，沒有最大項 C既有最大項又有最小項 D既沒有最大項也沒有最小項 答案 C4 n 2 n解析 數(shù)列 an的通項公式為 an（ 9）n1（ 3）n1，2n令 t（ 3）

8、n 1， t （0,1 ， t 是減函數(shù)，311則 ant2t（t 2）24， 由復合函數(shù)單調(diào)性知 an 先遞增后遞減 故有最大項和最小項，選 C.n15 若Sn為數(shù)列 an的前 n項和，且 Snnn 1，則a15等于D30答案 Dn n 11解析 當 n2時， an Sn Sn1 ，n 1n n n 11 所以 5 6 30.a5二、填空題26 已知數(shù)列 2n ，則是它的第 項n1答案 7解析n214950， n 7.7數(shù)列 an 中， a1 1，對于所有的n2， nN，都有 a1a2 a32n ，則 a3 a5答案61162解析 由題意知： a1 a2 a3 an1(n1) 2，n2an(

9、nn1)2(n2)，32 5 2 61 a3a5 (2) ( 4) 16. 的取值范圍8 已知 an 是遞增數(shù)列，且對于任意的 nN，ann2n恒成立，則實數(shù) 是 答案 ( 3，)解析 方法一 ( 定義法 )因為 an 是遞增數(shù)列，所以對任意的 nN，都有 an1an，22即( n 1) 2 ( n 1) n2 n，整理，得2n10，即 (2 n1) (*)因為 n1，所以 (2n1) 3，要使不等式 (*) 恒成立，只需 3. 方法二 ( 函數(shù)法 )2 設 f ( n) an n n，其圖象的對稱軸為直線 n 2 ，要使數(shù)列 an為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f ( n)為增函數(shù)，故

10、只需滿足 f (1) 3.三、解答題9 數(shù)列 an 的通項公式是 an n2 7n6.(1) 這個數(shù)列的第 4 項是多少(2)150 是不是這個數(shù)列的項若是這個數(shù)列的項，它是第幾項(3) 該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)2解 (1) 當 n 4時， a44247 6 6.2(2) 令 an 150，即 n27n6150，解得 n16或 n9( 舍去)，即 150 是這個數(shù)列的第 16 項(3) 令 ann27n60，解得 n6或 n1(舍) 故數(shù)列從第 7 項起各項都是正數(shù)10已知數(shù)列 an的通項公式為9nann1n10n，試判斷此數(shù)列是否有最大項若有，第幾項最大，最大項是多少若沒有，說明理由9

11、n1 n 29n n19n 8 n解 an1 an10n1 10n10n 10 ，當 n0，即 an 1an；當 n 8 時， an1 an 0，即 an1 an；當 n8 時， an 1 an0，即 an 1an.則 a1a2a3a10a11，故數(shù)列 an有最大項，為第 8 項和第 9 項，89且 989 99 .且 a8a9 108 108.B 組 專項能力提升( 時間： 30 分鐘 )1 跳格游戲： 如圖，人從格子外只能進入第 1 個格子， 在格子中每次可向前跳 1格或 2 格， 那么人從格子外跳到第 8 個格子的方法種數(shù)為 ( )A8種 B 13種 C21種 D 34種答案 C解析 設

12、跳到第 n 個格子的方法種數(shù)有 an，則到達第 n 個格子的方法有兩類：向前跳 1格到達第 n 個格子，方法種數(shù)為 an1；向前跳 2 格到達第 n 個格子，方法種數(shù)為 an2，則 anan1 an2， 由數(shù)列的遞推關系得到數(shù)列的前8 項分別是 1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第 8個格子的方法種數(shù)是 21. 故選 C.2 數(shù)列an滿足 anan112 ( nN)，a22，Sn是數(shù)列an的前 n項和，則 S21為()A5答案 B1解析 anan12（ nN） ，1 1 1 a1 2a222， a2 2， a3 22，a42，1故 a2n2， a2n12 2.1 1 7 S2110 a1

13、 5 2 .21 2 1 2 22n3 若數(shù)列 n( n4)( 3) n中的最大項是第 k 項，則 k答案 4kk423kk1k52k 13解析由題意得2k2k 1kk43k1k332k210所以2，由k N可得k4.k22k904 已知數(shù)列 an滿足前 n項和Snn21，數(shù)列 bn滿足 bna 2 1，且前 n項和為 Tn，設 cnan1 T2n1 Tn.(1) 求數(shù)列 bn 的通項公式；(2) 判斷數(shù)列 cn 的增減性解 (1) a12，anSnSn12n1(n2) 23 n 1 bn1n2n(2) cn bn1 bn2 b2n 1111 ， n1n 22n1111 c n 1 c n n 1 n 2n 2 2n 3 n1112n32n212n32n 2c n 是遞減數(shù)列5 設數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn.已知 a1a，an1Sn3n，nN.(1) 設 bn Sn 3n，求數(shù)列 bn 的通項公式；(2) 若 an1 an， nN，求 a 的取值范圍解 (1) 依題意， Sn1Snan1 Sn3 ，即 Sn12Sn3n，由此得 Sn13n12(Sn3n) 即 bn12