1、第二章第二章 時域離散信號與系統(tǒng)的頻域分析時域離散信號與系統(tǒng)的頻域分析 離散時間傅立葉變換的定義離散時間傅立葉變換的定義 DTFTDTFT的主要性質的主要性質 周期序列的離散傅立葉變換周期序列的離散傅立葉變換 時域時域離散信號的離散信號的FTFT和模擬信號的和模擬信號的FTFT之間的關系之間的關系 離散系統(tǒng)的頻域特性離散系統(tǒng)的頻域特性序列的傅立葉變換、基本性質及應用序列的傅立葉變換、基本性質及應用離散系統(tǒng)的頻域特性離散系統(tǒng)的頻域特性學習內容：學習內容：學習重點、難點：學習重點、難點：2.1 2.1 連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的頻域分析知識回顧知識回顧1 1、連續(xù)時間周期信號

2、、連續(xù)時間周期信號CTFS( )x tFn 特點：時域連續(xù)，頻域離散特點：時域連續(xù)，頻域離散連續(xù)時間周期信號的連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數傅里葉級數對對0000/2/20 1( ) ( ) TjntTjntnFnx t edtTx tFn e2 2、連續(xù)時間非周期信號、連續(xù)時間非周期信號連續(xù)時間非周期信號的連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換傅里葉變換對對CTFT( )( j)x tX ()( )1( )( j)2jtjtX jx t edtx tXed 特點：時域連續(xù)，頻域連續(xù)特點：時域連續(xù)，頻域連續(xù)2.2 2.2 離散時間傅立葉變換的定義及性質離散時間傅立葉變換的定義及性質2.2.1 2.2.1

3、 離散時間傅立葉變換定義離散時間傅立葉變換定義 （DTFT)DTFT)() ( )( )jj nnX eDTFT xnxnen1( ) ()()2jjj nxnID TFTXeXe e dn1、正變換：正變換：反變換：反變換：2 2、序列傅立葉變換存在的條件、序列傅立葉變換存在的條件nnx| )(|3 3、序列的幅度譜與相位譜、序列的幅度譜與相位譜()( )jj nnX ex n ejjjRI(e )(e )j(e )XXXjjjjarg (e)j ( )(e ) |(e )|e( )eXXXX j2j2jRI( ) |(e )|(e )(e )XXXXjjIjR(e )( )arg (e )

4、=arg(e )XXX j(2)j(e)(e)MXX由：由：例例2.2.1 設設x(n)=RN(n)，求，求x(n)的的FT。解解: :11j Njee10()( )Njj nj nNnnX eRn ee/2/2/2/2/2/2()()j Nj Nj Njjjeeeeee(1)/2sin(/2)sin(/2)j NNesin(/2)|()|sin(/2)jNX e(1)sin(/2)arg()arg2sin(/2)jNNX e 當當N N4 4時，序列時，序列x(n)x(n)及其幅度譜與相位譜如下圖示。及其幅度譜與相位譜如下圖示。clc; clear;y=1 1 1 1;x=0; n=0:3;

5、w=0:0.01:2*pi;subplot(311);stem(n,y);xlabel(n);ylabel(x(n);for n=0:3 x=x+exp(-j*w*n);endxx=abs(x);subplot(312);plot(w,xx);xlabel(w);ylabel(幅度)yy=angle(x);subplot(313);plot(w,yy) xlabel(w);ylabel(相位)程序清單程序清單例：令因果性指數序列為例：令因果性指數序列為x(n)=ax(n)=an nu(n)u(n)，寫出其傅立，寫出其傅立 葉變換，并討論其收斂性。葉變換，并討論其收斂性。解：此序列的傅立葉變換為

6、：解：此序列的傅立葉變換為：()( )jnj nnX ea u n e0nj nna e0()jnnae1| 11jjaeae|a|1|a|1|a|1時，時，a an nu(n)u(n)的傅立葉變換存在。的傅立葉變換存在。2.2.2 2.2.2 序列傅立葉變換的性質序列傅立葉變換的性質1 1、FTFT的周期性的周期性(2)()( )( )jj njM nnnX ex n ex n e其中，其中， 0 0，2 2，44 對應直流分量對應直流分量 ，33，5 5 對于信號的最高頻分量對于信號的最高頻分量對信號頻譜只需分析對信號頻譜只需分析 之間或之間或0 02 2 之間之間因此：因此：X(eX(e

7、jj) )以以22為周期為周期2 2、線性性質、線性性質1122()( ),()( ),jjX eFT x nXeFT x n設則：1212( )( )()(),jjFT ax nbx naX eXea bb其中為常數0000()() ( ), ()()( )()jj njjnjX eFT x nFT x nneX eFT ex nX e 設則：3 3、時移與頻移性質、時移與頻移性質時域移位，時域移位，頻域有相移頻域有相移 時域調制時域調制頻域移位頻域移位4 4、指數加權，線性加權、指數加權，線性加權( )()jneDTFT a x nXa( )()jdDTFT nx njX ed5 5、時域

8、卷積定理、時域卷積定理設設 y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n), h(n), 則則 Y(eY(ejj)=X(e)=X(ejj)H(e)H(ejj) )( )() ()() ( )() ()()( )()( )()()()mjjnnmjjkjmkmjkjmkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eh k ex m eH eX e證明：令k=n-m 時域卷積，時域卷積，頻域乘法頻域乘法6 6、頻域卷積定理、頻域卷積定理設 y(n)=x(n)h(n), 則 頻域卷積，頻域卷積，時域乘法時域乘法1()()*()2jjjY eX eH

9、e7 7、帕斯瓦爾定理（、帕斯瓦爾定理（ParsevalParseval）221( )()2jnx nX ed內容：時域、頻域能量守恒。內容：時域、頻域能量守恒。 即信號時域的總能量等于頻域的總能量。即信號時域的總能量等于頻域的總能量。2()jX e稱為能量譜密度1()( )2jj nnX ex n ed21()2jX ed2*1( )( ) ( )( )()2jj nnnnx nx n x nx nX ee d證明：證明：*1()()2jjX eXed將將x xe e(n)(n)用其實部與虛部表示用其實部與虛部表示 x xe e(n)=x(n)=xerer(n)+jx(n)+jxeiei(n

10、) (n) 將上式兩邊將上式兩邊n n用用-n-n代替，并取共軛，得到代替，并取共軛，得到 x x* *e e(-n)=x(-n)=xerer(-n)-jx(-n)-jxeiei(-n) (-n) 對比上面兩公式，對比上面兩公式， 左邊相等，左邊相等， 因此得到因此得到 x xerer(n)=x(n)=xerer(-n) (-n) x xeiei(n)=-x(n)=-xeiei(-n)(-n)（1 1）共軛對稱序列）共軛對稱序列： 若滿足下式：若滿足下式： x xe e(n)=x(n)=x* *e e(-n) (-n) 則稱則稱x xe e(n)(n)為共軛對稱序列。為共軛對稱序列。概念：概念

11、：共軛對稱序列的性質：實部是偶函數，共軛對稱序列的性質：實部是偶函數， 虛部是奇函數。虛部是奇函數。8 8、 DTFTDTFT的對稱性的對稱性（2 2）共軛反對稱序列）共軛反對稱序列： 若滿足下式：若滿足下式： x xO O(n)=-x(n)=-x* *O O(-n) (-n) 則稱則稱x xO O(n)(n)為共軛反對稱序列。為共軛反對稱序列。共軛反對稱序列的性質：實部是奇函數，共軛反對稱序列的性質：實部是奇函數， 虛部是偶函數。虛部是偶函數。例：共軛對稱序列例：共軛對稱序列 5 5j 4j 4j 0 4j 0 4j 5j 5j j 共軛反對稱序列共軛反對稱序列 5 5j j 4 4j 0

12、4j 0 4j 5j 5j j （3 3）對任意序列）對任意序列x(n)x(n)任意序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，任意序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示， x(n)=xx(n)=xe e(n)+x(n)+xo o(n)(n)由由 x x* *(-n)=x(-n)=xe e(n)-x(n)-xo o(n)(n)1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn有：有：( )()( )()eeoox nxnx nxn ( )( )( )eox nx nx n1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn任意序列任意序

13、列x(n)x(n)X(eX(ejj)=X)=Xe e(e(ejj)+X)+Xo o(e(ejj) )（4 4）對序列）對序列x(n)x(n)的的X(eX(ej j) )X Xe e(e(ejj)=X)=X* *e e(e(e-j-j) X) Xo o(e(ejj)=-X)=-X* *o o(e(e-j-j) )1()()()21()()()2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe對稱性：對稱性：（1 1）若序列）若序列x(n)x(n)分成實部分成實部x xr r(n)(n)與虛部與虛部x xi i(n) (n) x(n)=x x(n)=xr r(n)+jx(n)+jxi i(n)(n)

14、則則 X(eX(ejj)=X)=Xe e(e(ejj)+X)+Xo o(e(ejj) ) 即序列實、虛部分解，頻域作共軛對稱與反對稱的分解即序列實、虛部分解，頻域作共軛對稱與反對稱的分解()( )( )()( )( )jj nerrnjj noirnXeFT x nx n eXeFT jx njx n e其中其中證明略證明略（2）若序列若序列x(n)x(n)分成分成 x(n)=xx(n)=xe e(n)+x(n)+xo o(n) (n) 則則 X(eX(ejj)=X)=XR R(e(ejj)+jX)+jXI I(e(ejj) ) 即序列對稱、反對稱分解，頻域作實部、虛部的分解即序列對稱、反對稱

15、分解，頻域作實部、虛部的分解()( )( )()( )( )jj nReenjj nIoonXeFT x nx n ejXeFT x nx n e其中其中1( )()*()()21( )()*()()2jjjeRjjjoIFT x nX eXeXeFT x nX eXejXe有：有：1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn由：由：證明證明 （3 3）實因果序列的對稱性）實因果序列的對稱性因此實序列的因此實序列的FTFT的實部是偶函數，的實部是偶函數， 虛部是奇函數，虛部是奇函數， 用公式表示為：用公式表示為： 若若x(n)x(n)是實序列，是實序列， 則

16、其則其FTFT只有共軛對稱部分只有共軛對稱部分X Xe e(e(ejj) )， 共軛反對稱部分為零。共軛反對稱部分為零。 X(eX(ejj)=X)=Xe e(e(ejj)=X)=X* *(e(e-j-j) )X XR R(e(ejj)=X)=XR R(e(e-j-j) X) XI I(e(ejj)=-X)=-XI I(e(e-j-j) )|X(e|X(ejwjw)|)|幅度是幅度是w w的偶函數的偶函數argX(eargX(ejwjw)相角是相角是w w的奇函數的奇函數x(n)x(n)為實序列：為實序列： x(n)=xx(n)=xe e(n)+x(n)+xo o(n) (n) 1( ) ( )

17、()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn例例 x(n)=ax(n)=an nu(n); 0a1; u(n); 0a1; 求其偶函數求其偶函數x xe e(n)(n) 和奇函數和奇函數x xo o(n)(n)。解解:序列序列x(n)x(n)共軛對稱部分共軛對稱部分x xe e(n)(n)共軛反對稱部分共軛反對稱部分x xo o(n)(n)2.3 2.3 周期序列的離散傅立葉級數周期序列的離散傅立葉級數 及傅立葉變換及傅立葉變換2.3.1 2.3.1 周期序列的離散傅立葉級數（周期序列的離散傅立

18、葉級數（DFS)DFS)()(rNnxnx設設 是一個周期為是一個周期為N N的周期序列，的周期序列， 即即 )(nx r r為任意整數為任意整數 周期序列不絕對可和周期序列不絕對可和, ,因此周期序列的因此周期序列的DTFTDTFT不存在，與不存在，與連續(xù)信號一樣，用傅立葉級數表示，即：連續(xù)信號一樣，用傅立葉級數表示，即：DFSDFS一、一、 的離散傅立葉級數（的離散傅立葉級數（DFSDFS）( )x n210( )NjknNkkx na ea ak k：傅立葉系數：傅立葉系數物理意義：物理意義：將周期序列用周期為將周期序列用周期為N N的復指數序列表示。的復指數序列表示。對應于信號的分解，

19、將信號分解為對應于信號的分解，將信號分解為N N個信號的求和。個信號的求和。22222212222jnNjnNjk nNkeNeaNkekaN 01直流分量：a基頻序列：基頻：基頻序數：a次諧波序列：二次諧波：二次諧波系數：次諧波序列：k次諧波：k次諧波系數：二、傅立葉系數二、傅立葉系數a ak k210( )NjknNkkx na e由：由：2101( )NjknNknax n eN0kN-10kN-121()021201( )011( )Njk lN nNk lNnNjknjlnNnkax n ekNNx n eeNa所以：所以：a ak k為周期序列，周期為為周期序列，周期為N N。又：

20、又：2101( )NjknNknax n eN0kN-1由：由：引入：引入：( )kNaX k則：則：( )( )X kNx n為周期序列，周期為為周期序列，周期為N210( )( )NjknNnX kx n e且：且：三、離散傅立葉級數變換對三、離散傅立葉級數變換對210( )( )NjknNnX kx n e2101( )( )NjknNkx nX k eN( )( )x nX k1( )( ),0jntnnnf tf tF enF 與連續(xù)不同，頻率分量有無窮多項，只是當時，DFSDFS的正變換：的正變換：DFSDFS的反變換：的反變換：周期序列周期序列DFSDFS特點：特點： 時域離散，

21、頻域離散時域離散，頻域離散 均以均以N N為周期，周期延拓為周期，周期延拓 實際頻率分量只有實際頻率分量只有N N項，直流，項，直流， 2 2/N,2/N,2/N/N* *2,2/N2,2/N* *k,k,2 2/N/N* *(N-1)(N-1)( )x n( )X k四、離散傅氏級數的習慣表示法離散傅氏級數的習慣表示法 通常用符號 代入，則：NjNeW221100( )( )( )( )NNjknknNNnnX kDFS x nx n ex n W21100( )( )11( )( )NNjknknNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN正變換：反變換：273840044422

22、24888( )( )111()1()jknjknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kx n eeeeeeeeeeee38sin2sin8jkkek解：解：幅度譜見書幅度譜見書P42P42( )x n例例 2.3.1 2.3.1 設設x(n)=Rx(n)=R4 4(n)(n)，將，將x(n)x(n)以以N=8N=8為周期，進為周期，進 行周期延拓，得到周期為行周期延拓，得到周期為8 8的周期序列的周期序列 ，求，求 的的DFS.DFS.( )x n周期序列的譜：周期序列的譜：時域離散，頻域離散時域離散，頻域離散22()( ) ()jkX eX kkNN 210( )( )Njkn

23、NnX kx n e對周期為對周期為N N的序列的序列( )x n其其DFS:DFS:其其FT:FT:結論：同一周期序列，其結論：同一周期序列，其DFSDFS和和DTFTDTFT分別取模的形狀分別取模的形狀是一樣的，不同的只是是一樣的，不同的只是DTFTDTFT用單位沖激函數表示，用單位沖激函數表示，幅度倍乘幅度倍乘2 2/N/N。2.3.2 2.3.2 周期序列的傅立葉變換周期序列的傅立葉變換例例 2.3.2 2.3.2 設設x(n)=Rx(n)=R4 4(n)(n)，將，將x(n)x(n)以以N=8N=8為周期，進為周期，進 行周期延拓，得到周期為行周期延拓，得到周期為8 8的周期序列的周

24、期序列 ，求，求 的的FT.FT.( )x n( )x n周期序列周期序列DFS周期序列周期序列DTFT22()( ) ()jkX eX kkNN 210( )( )NjknNnX kx n e2/()|jk NX e2/( )|j nk Nnx n e( )X k210( )NjknNnx n e 是對有限長是對有限長序列序列x(n)x(n)的傅立的傅立葉變換葉變換X(eX(ejj) )的的等間隔抽樣，抽等間隔抽樣，抽樣間隔為樣間隔為2 2/N/N，具有周期性，每具有周期性，每個個22周期內抽樣周期內抽樣N N個點。個點。( )X k()( )jj nnX exne一個結論：一個結論：有限長

25、序列有限長序列DTFTDTFT()( )jj nnX ex n e周期序列周期序列DFSDFS210( )( )NjknNnX kx n e周期序列周期序列DTFTDTFT ( )22( ) ()kDTFT x nX kkNN ( )1 ()x nn 幾個特殊信號的傅立葉變換幾個特殊信號的傅立葉變換: :0( )njnx ne任意 2 2、余弦序列的、余弦序列的FTFT 1 1、復指數序列的、復指數序列的FTFT 3 3、常數序列的、常數序列的FTFT 0( )cos()x nn見書見書P43P43表表1 1、復指數序列的、復指數序列的FTFT0( )njnx ne任意00()2(2)jnji

26、X eDTFT ei 00cos()DTFTn002jnjneeDTFT00 (2)(2)iii 2 2、余弦序列的、余弦序列的FTFT 0( )cos()x nn 3 3、常數序列的、常數序列的FTFT ()11jj nnX eDTFTe00()jnjnjj nnX eDTFT eee02(2)ii 當當0 00 0時時2(2)ii 2.4 2.4 離散信號的傅氏變換與模擬信號的傅氏離散信號的傅氏變換與模擬信號的傅氏變換的關系變換的關系()( )1( )()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt ( )() ()aanxtxnTtnT1()()aaskXjXjjkT ( )

27、()()( )1( )()2ajj nnjj nx nx nTX ex n ex nX eed一、幾組關系一、幾組關系原連續(xù)信號及其頻譜原連續(xù)信號及其頻譜采樣信號及其頻譜采樣信號及其頻譜序列及其頻譜序列及其頻譜？二、離散信號傅氏變換與模擬信號傅氏變換的關系二、離散信號傅氏變換與模擬信號傅氏變換的關系()( )j taaXjx t edt () (j tnx nTtnTedt ）()(j tnx nTtnTedt ）1、推導：、推導：()( )j nTj nTnnx nT ex n e 即有：即有：()( )j TnanXjx n e ()( )jj nnX ex n eT對照：對照：結論：結論

28、：()()|()()|jaTjaTX eXjXjX e 2、采樣信號頻譜與對應序列頻譜的曲線關系：、采樣信號頻譜與對應序列頻譜的曲線關系：()()1()()jajaXjX eX eXjT 曲線 橫軸放大T倍曲線曲線 橫軸壓縮倍曲線()aXjmax( )ax t 的譜0()aXj1Tss( )axt模擬信號譜采樣信號譜序列的頻譜1T()jXe22( )x n 12()()jakX eXjjkTTT3、原模擬信號頻譜與對應序列頻譜的關系：、原模擬信號頻譜與對應序列頻譜的關系：1()()aaskXjXjjkT ()()|jaTX eXj由：由：有：有：見書見書P45P45頁頁式式2.4.32.4.3

29、三、模擬頻率和數字頻率之間的定標關系三、模擬頻率和數字頻率之間的定標關系在一些文獻中經常使用歸一化頻率。在一些文獻中經常使用歸一化頻率。f=f/fsf=f/fs或或=/s=/s， =/2=/2， 將將f f、 、 、 f f、 、 的定標值的定標值對應關系用下圖表示。對應關系用下圖表示。 0.5 100.51 0.5 100.51 0.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss00022 例例 2.4.1 2.4.1 設設x xa a(t)=cos(2f(t)=cos(2f0 0t)t)， f f0 0=50 Hz=50 Hz以采樣頻以采樣頻率率f fs s=200 Hz=200

30、 Hz對對x xa a(t)(t)進行采樣，進行采樣， 得到采樣信號得到采樣信號 和時域離散信號和時域離散信號x(n)x(n)， 求求x xa a(t)(t)、 、x(n)x(n)及其傅及其傅立葉變換。立葉變換。 ( )axt( )axt解：略。解：略。2.5 2.5 離散時間系統(tǒng)的頻響特性離散時間系統(tǒng)的頻響特性()( )jj nnH eh n e()( )|jjz eH eH z離散時間系統(tǒng)的單位沖激響應：離散時間系統(tǒng)的單位沖激響應：h(n)h(n)( )( )nnH zh n z離散時間系統(tǒng)的頻率響應函數：離散時間系統(tǒng)的頻率響應函數：arg()|()|jjjH eH ee幅度響應：幅度響應：| |H H(e(ejj)|)|相位響應：相位響應：()=arg()=argH H(e(ejj)頻率響應函數的物理含義：頻率響應函數的物理含義：)(arg| )(|)(jeHjjjeeHeH)(argcos| )(|)(000jjeHneHAny0( )cos()x nAn設系統(tǒng)的輸入為設系統(tǒng)的輸入為 則經過系統(tǒng)后的響應為：則經過系統(tǒng)后的響應為：即：當系統(tǒng)輸入為正弦序列，輸出為同頻率的正弦序列，即：當系統(tǒng)輸入為正弦序列，輸出為同頻率的正弦序列，其幅度受頻率響應幅度其幅度受頻率響應幅度| |H H(e(ej0j0)|)|加