1、時空分數(shù)階導數(shù)算子BORIS BAEUMERMARK M. MEERSCHAERTJEFF MORTENSEN摘要不規(guī)則擴散的演化方程在空間和時間中使用分數(shù)階導數(shù)。在時空間的變量的連接產(chǎn)生了新型的分數(shù)階導數(shù)算子。本文討論一些算子的數(shù)學基礎(chǔ)。簡介在經(jīng)典擴散中，微粒以通常的鐘型的模式傳播，其寬度與時間的平方根相關(guān)。當生長率或粒子分布的形狀經(jīng)典模型預測不同時發(fā)生異常擴散。異常擴散在可以許多物理現(xiàn)象中觀察到，并激勵新的數(shù)學模型和物理模型的發(fā)展5，6，7，13，16，20。一些最成功的模型采用分數(shù)階導數(shù)21，27，其實就是異常擴散中常見整數(shù)情況的衍生物。建立異常擴散的物理模型一種方法是源于全體粒子在隨機

2、過程中的極限分布。連續(xù)時間下的隨機漫步 22，29 一直是最有用的18，20，30，其中每個隨機粒子跳躍后會有隨機的等待時間。非常大的顆粒的跳躍與空間分數(shù)階導數(shù)14有關(guān)，而很長的等待時間會產(chǎn)生時間的分數(shù)階導數(shù)18，26。同樣的模型方程也被應用到混沌動力學31和經(jīng)濟學28。在連續(xù)時間的隨機漫步中，顆粒跳躍的大小可以取決于在跳躍之間的等待時間。對于這些模型，顆粒的極限分布受控于涉及時空分數(shù)階導數(shù)算子的分數(shù)階微分方程3,19。本文建立了這些算子的數(shù)學基礎(chǔ)。尤其是，它們被證明是某些連續(xù)卷積半群的生成元，并且它們的域表現(xiàn)為一個合適的函數(shù)空間，其中的乘法的運算在傅立葉拉普拉斯空間的產(chǎn)物。普通空時算子的一般

3、形式被給出。在這方面的發(fā)展中所使用的技術(shù)手段是算子半群1，11，23，和算子穩(wěn)定的概率分布的理論12，15。分數(shù)階導數(shù)和異常擴散讓表示粒子在位置x處和時間t時的相對濃度。經(jīng)典擴散方程可以使用傅立葉變換求解，這把擴散方程轉(zhuǎn)化為一個常微分方程的。初始條件相當于，所以所有的顆粒都從開始。其解反轉(zhuǎn)得到均值為0標準差為的概率密度。使用中心極限定理，也就得到粒子隨機漫步的極限密度在跳躍代表0和方差之一時會跳躍。如果顆粒跳躍的概率分布有隨指數(shù)定期對變更的尾部（粗略地講，這意味著該跳躍的距離大于r的概率下降到），則方差無定義，所以經(jīng)典的中心極限定理不適用。一個推廣的中心極限定理8，9，15表明隨機漫步收斂到一

4、個穩(wěn)定的Levy運動其概率密度經(jīng)過傅里葉變換，顯然是，解。反轉(zhuǎn)表明粒子濃度解決了分數(shù)階偏微分方程其中對稱分數(shù)微分算子對應傅立葉空間 以為符號乘法。這是一般的二階導數(shù)算子的分數(shù)冪。非對稱粒子跳躍形成一個更一般形式的以為符號的分數(shù)階導數(shù)算子7,4，當為跳躍幅度趨向于無窮的正跳躍的漸近分數(shù)。對于對稱向量轉(zhuǎn)移的一個類似的討論我們可以對使用以為符號的拉普拉斯算子，可在中見到更普遍的形式14，16。這些擬微分算子也是某些連續(xù)卷積半群的生成元2,11。如果粒子跳躍間的等待時間以指數(shù)01定期復合，則隨機漫步粒子的跳躍（稱為連續(xù)時間隨機漫步）收斂到一個服從于逆-穩(wěn)定從屬的Levy運動17，18。假定等待時間和隨

5、后的粒子跳躍是獨立的，其從屬是獨立的Levy過程，并控制方程成為，它是由Zaslavsky31作為一種哈密頓混亂模型首次提出的。非對稱跳躍，或矢量轉(zhuǎn)移，其改變空間導數(shù)方式如前2。重尾粒子跳躍產(chǎn)生空間的分數(shù)階導數(shù)，重尾等候時間產(chǎn)生時間的分數(shù)階導數(shù)。當?shù)却龝r間和粒子跳躍依賴隨機變量，控制方程的另一種形式便出現(xiàn)了。該極限過程是仍然一個從屬于平穩(wěn)的從屬的Levy運動，但現(xiàn)在這兩個過程相互依賴。時空向量組成的等待時間和跳轉(zhuǎn)必須使用算子穩(wěn)定極限理論來處理，因為每個坐標不同的尾部行為3。這導致了控制方程采用一種新的耦合時空分數(shù)階導數(shù)。假設(shè)等待時間滿足并且對稱粒子的跳躍幅度在等待時間時是均值為方差為的正常分布

6、。那么，控制方程采用了時空分數(shù)階導數(shù)與傅立葉拉普拉斯符號。本文的目的是探討這些算子的性質(zhì)，以建立分析這些方程的數(shù)學基礎(chǔ)。讓這個問題有趣的是，由于空間和時間有密不可分的關(guān)系，不能用通常的方式，即泛函空間中的常微分方程來看待這些發(fā)展方程。時空分數(shù)階導數(shù)設(shè)，并假設(shè)是一個概率分布，并在傅立葉變換拉普拉斯變換為。令表示對自身n次的卷積。如果對于每個存在概率分布且滿足我們就說是無窮可分的。其Levy表示（例如，見引理3的2.1 ）說明是無窮可分的當且僅當對于一些獨特連續(xù)函數(shù)我們可以得到。例如：。且有 對于一些特殊的定點，一些的非負定矩陣，和 上的正測度，在遠離原點的有界域上有界并滿足 該測度稱為的Levy

7、測度，并且被稱為的levy表示。在這種情況下，我們定義（可能是小數(shù)）卷積冪在 Levy表示為三元組下的無窮可分律，因此對于任意，具有特征函數(shù) 。且對任意有。無窮可分分布可以用來定義半群卷積。令表示可測函數(shù)集，其積分和范數(shù)存在。我們稱此范數(shù)為范數(shù)，且是巴拿赫空間。除非明確說明，將被看作是一個正實數(shù)。顯然，是真包含，除非時，兩個函數(shù)空間是相同的。此外，若，則有。在巴拿赫空間上的一族有界線性算子如果有 是單位算子且對所有有，則被稱為的有界線性算子半群。如果對所有的成立，則稱半群是一致有界的;如果在這種情況下，我們就稱之為收縮半群。如果當時，在上對于所有成立，這個半群就是強連續(xù)的。我們可以輕易檢驗如果

8、當 時， 對所有 成立那么是強連續(xù)的。如果可以推出對所有 有，則稱這個半群在巴拿赫格是正的。一個強連續(xù)的收縮正半群被稱作半群。下面的結(jié)果說明在上的任一無窮可分律定義了一個上的半群。命題3.1 令是上一個無窮可分律并定義 對所有的都成立。那么對于所有的，這族線性算子有如下性質(zhì)。（a）,（b）（c）可推出對所有有（d），（e）證明。性質(zhì)（a）（b）（c）可由無窮可分的定義直接得到。性質(zhì)（d）可由費比尼定理得到： 性質(zhì)（e）相較來說會更巧妙一些。我們首先證明（e）在矩形中建立了一個指示函數(shù)。;即，令，矩形為。那么就有 ，由于是無窮可分的，當時我們有 (例，見15的推論3.1.4），這意味著使得所有波

9、爾子集 有。由于點質(zhì)量為零，這種情況發(fā)生當且僅當。那么對于所有的， ，且，我們得到 因此，通過控制收斂原理，因此，由（3.4）式，可得，由此可知，于是對于這樣的用范數(shù)取代了范數(shù)（e）成立。又因為對任意指示函數(shù)都有，這便輕易得到了當任意在范數(shù)下（e）成立?，F(xiàn)在對于任意建立。顯然并且因此我們可以對積分進行黎曼近似得到且。然后令，它可以得到。利用三角不等式，得到應用命題的性質(zhì)（d）因此得到 建立性質(zhì)（e）唯一決定于證明 ，。如果我們?nèi)?，就有所有的范?shù)在不等式和中與范數(shù)相等且時指示函數(shù)?，F(xiàn)在令，在這種情況下是一個函數(shù)而且由于我們剛剛證實了性質(zhì)（e）對于函數(shù)是成立的，于是式成立因此我們證實了對于函數(shù)性質(zhì)

10、（e）也成立。對于任一強連續(xù)半群在巴拿赫空間上我們定義生成元 意味著在巴拿赫空間范數(shù)下。線性算子的域是所有滿足中限制的。而且在中是稠密的，并且是閉的，這就說明如果并在上有，則（例見23 I.2.5）。在下面的定理中，我們把如方程（3.3）所定義的半群的算子特征化。對于任何，其傅立葉拉普拉斯變換對于所有的以及均有定義。 定理3.2. 假設(shè)按照情況3.1.中方程（3.3）定義并且令。設(shè)是強連續(xù)半群的生成元。那么對所有的都有，其中由（3.1）式給出并且進一步，如果表示的子集，且它的一二階空間弱導數(shù)和一階時間弱導也在上，那么且對任意有 式是階梯函數(shù)。證明。 如果，那么存在其傅里葉拉普拉斯變換。由于卷積

11、的傅里葉拉普拉斯變換是一個乘積。那么由于對任意都有，其本性上確界由決定，再由（3.7）得到 對所有成立。反之，取滿足對一些有。那么對所有都有。此外，它是半群理論的基本事實（參見，例如23 定理I.5.2），該預解算子對于所有都是有界線性算子，并且把映到。設(shè)。則有及。因此有因此，。最終，我們得到了算子在方程（3.8）中的形式。令我們假設(shè)時定義為0并抑制(3.8)式中的函數(shù)。首先假定對存在二階偏導對存在一階偏導。使用泰勒級數(shù)對展開，其中是在的矩陣，容易得到存在常數(shù)使得同樣的，對使用泰勒級數(shù)展開，存在常數(shù)使得使用費比尼定理按慣例通過加減從而利用先前的估計我們得到 其中為（3.2）的常數(shù)。因此對所有滿

12、足連續(xù)條件的（3.8）式可以很好地被定義。由于是的傅里葉拉普拉斯變換，是的傅里葉拉普拉斯變換而且的傅里葉拉普拉斯變換為，由此推出（3.8）式右邊的傅里葉拉普拉斯變換為。接下來我們證明.首先如果有就能得到其中為與無關(guān)的常數(shù)。進一步，如果則并且對有 如果，就有數(shù)列使得在范數(shù)下并且在范數(shù)有同樣結(jié)論。不等式（3.11）說明在范數(shù)下收斂到。由于是閉的，于是有。注3.3. 另一個影響成為強連續(xù)半群的因素是解決抽象柯西問題 其中。更進一步，積分方程對所有（例子見23定理）。這個發(fā)展方程小心去解，因為現(xiàn)在對 同時是空間和時間函數(shù)。注3.4.盡管從定理3.2的一些結(jié)論可以從強連續(xù)半群的一般理論1，11，23中得

13、到,我們還沒有看到有任何結(jié)果能說明時間是空間的一部分變量。另一個難點就是，注3.3.中的函數(shù)對任意的在上沒有緊支持。此外，注意到如果是對的概率密度，那么不論是還是在上都沒有收斂的傅里葉積分。時空耦合擴散方程在本節(jié)中，我們結(jié)合3中的隨機過程極限理論應用第3部分的結(jié)果來研究耦合連續(xù)時間隨機行漫步。在模型中，每個隨機等待時間都會伴隨一個隨機粒子的跳躍。我們假設(shè)時空矢量是獨立的，。但是我們允許和之間存在依賴。如果有限，8中的一個更新定理表明這些伴隨時間的跳躍數(shù)量是漸近恒定的，從而說明這個極限過程和非隨機等待時間的簡單隨機漫步是一樣的。另一方面，若對一些有，則在溫和條件下隨機漫步的時空矢量收斂到維Lev

14、y運動算子，其中是從屬于穩(wěn)定的拉普拉斯變換。在注3.3.中的函數(shù)是這個極限過程的概率密度時，是相關(guān)半群的生成元。由于可以計算跳躍次數(shù)，其逆過程表明跳躍的次數(shù)，并且極限代表耦合異常擴散模型的極限隨機過程。在3的計算表明這一過程的概率密度是 并且其傅里葉拉普拉斯變換是 由于。所以，其中是生成元的傅里葉拉普拉斯標志?，F(xiàn)在假設(shè)在時間的顆粒位置是隨機變量在的概率密度。在模型里，在時間的隨機顆粒位置是，假設(shè)是獨立的，則的概率密度為則有，其中是傅里葉變換?，F(xiàn)在就有式子右邊可以轉(zhuǎn)化為，并且是的元素。由于滿足定理3.2.的條件所以在域中且可以轉(zhuǎn)化為上面的方程從而給出結(jié)論是時空耦合方程 的特殊的傅里葉拉普拉斯變換

15、解。注4.1.（4.3）中使用拉普拉斯傅里葉標志的偽微分算子可以通過（3.1）的levy表示及3中定理2.2來計算，可以明確levy測度的形式。3中有一些具體的例子。在非耦合情況下的對稱梯度跳躍，其標志與非耦合算子相關(guān)并且由此（4.3）變?nèi)鯙榈姆謹?shù)運動方程31。如果均值為0方差為那么當就有并且（4.3）式就變?yōu)?重尾對稱跳躍就導致了在中與在中的相似形式。結(jié)論當粒子跳躍之間的等待時間影響跳躍大小的確定時，時空耦合分數(shù)階擴散方程對在物理建立異常擴散模型是很有用的。時空耦合分數(shù)階導數(shù)可以被定義為確定的卷積半群的生成元。最近在10,28中的經(jīng)濟學研究對各種各樣的經(jīng)濟學工具的收益使用了耦合模型。由24,

16、25所得到的經(jīng)驗證據(jù)表明交易之間的等待時間影響價格變動的確定。由此，基于時空分數(shù)階導數(shù)的時空耦合分數(shù)階擴散方程，在這方面的領(lǐng)域內(nèi)可能會有所應用。參考書目（省略）個人感想翻譯論文這件事對我來說本是罕見，但在這門課上卻是連著經(jīng)歷了兩次。怎么說呢，翻譯的過程基本都不會一帆風順，但也算不上困難重重。其實相比上次的小組翻譯這次的各人翻譯相對來說能更順利一些，畢竟一個人的譯文比多人合作出來的東西看起來通順了不少。再者，對于譯者來說，從始而終的過程也比從中間某一段莫名其妙的開始翻譯要簡單不少。那么本次我所翻譯的論文是針對時空分數(shù)階倒數(shù)算子的。它主要應用于時空異常擴散?？吹綌U散一詞大多都會想到物理或者化學中的粒子擴散。然而它并非我們平常所見的那種擴散過程，由擴散中心向周圍慢慢的運動開去，而是或靜止或突變，仿佛一個情緒極其不穩(wěn)定的孩子。而該論文的作者將這種模型的應用方向基本定在了經(jīng)濟學的方面，將這種靜止和突變的過程類比為交易間隔的時間以及價格的變動，這無疑是非常貼切的。當然本文的重點是在與這種模型的數(shù)學基礎(chǔ)，而非在現(xiàn)實生活上的應用，讀來多多少少是有些枯燥。論文的主題部分分為三個部分：分數(shù)階導數(shù)和異常擴散，時空分數(shù)階導數(shù)，以及時空耦合方程。當然第一部分其實是相當于一個引子，通過介紹控制方程的演化，告訴我們不能用