第三章均勻半導體,本章內容,3.1晶體中的電子的準經典力學3.2導帶結構3.3價帶結構3.4本征半導體3.5非本征半導體3.6空穴的概念3.7能帶中電子的態(tài)密度函數(shù)3.8費米狄拉克統(tǒng)計3.9電子和空穴暗能量的分布3.10總結,經典力學，包括我們所熟悉的物理量，如質量、速度、動能和勢能，以及我們所熟悉的方程，如等，不能用來描述晶體中的電子。但是，如果能夠使用經典力學，而不是量子力學，將是十分方便的，因為經典力學的方程很簡單，而且經典力學的物理圖像很清楚。在這一節(jié)里我們將看到，定義準經典力學是可能的。在準經典力學中，仍可以采用經典的物理量，只是需要將電子的真實質量換成電子的有效質量，有效質量包含了電子和晶體周期性勢場的相互作用。將有效質量應用到經典力學的方程中，可以正確地預測晶體中的電子在受到來自外部的力（或外力）時的行為。先討論最簡單的情況，一維晶體中的電子。,3.1晶體中的電子的準經典力學,在第1章，我們討論了一維晶體中的電子在兩種情況下的能量-波失關系。在自由電子近似中，假設勢能是常數(shù)。E-K關系有如下的形式,3.1.1一維晶體,一、自由電子,式中第二項是動能,對于自由電子，德布羅意關系成立，有，其中是電子的速度。動能的經典值是,在這種情況下，牛頓定律是成立的。注意到對于自由電子的情況，不存在來自晶體的附加的力，一次采用真正的經典方程和自由電子的真實質量。,晶體中，電子的速度由群速度確定,速度正比于E-K曲線的斜率。電子的質量可以表示成,由于E-K曲線是拋物線，因此是一個常數(shù)，所以電子的質量也是常數(shù)，和能量無關。,在準自由電子模型中，電子處于晶體的某個區(qū)域，電子的勢能是在兩個方向都延伸到無窮遠的周期函數(shù)。為了得到準自由電子行為的物理圖像，用類似于自由電子的形式來表示他們的性質是很方便的。,二、準自由電子,圖3.1（a）E-K曲線,圖3.1（b）E-K曲線,圖3.1（c）E-K曲線,為了得到有效質量，考察材料的E-K曲線。我們選擇了一種導帶底在K=0的材料，GaAs就是這樣的材料。將E-K關系展開成冪級數(shù)。因為我們考慮的是導帶底E=Ec處的電子，因此把能量在K=0附近展開為,式中，HOTs代表高階項。導數(shù)項K=0處的值，其中。忽略高階項，有,這是一個拋物線方程?？梢宰C明，對于E-K關系是拋物線的區(qū)域此處就是能帶底部附近，忽略高階項是可以的。對于自由電子，群速度為,晶體中的群速度也具有同樣的形式。也就是說，晶體中電子的速度等于群速度，為,群速度正比于E-K關系曲線的斜率。因為動能是與運動相關的能量，因此可以推斷，在處的動能。電子的總能量是動能和勢能的和，所以，在導帶底部的電子的總能量等于勢能。也就是說，因此，在導帶底部附近的電子的勢能就等于能帶底的能量。,自由電子,準自由電子,動能,有效質量定義為,與自由電子質量的表示類似,有效質量反比于E-K關系曲線的斜率。,下面考察作用在電子上的力。根據經典力學在準經典力學中，對于帶底附近的電子，勢能等于,并且,圖3.2一個外部電場施加在半導體棒上（a）物理圖像,(b)能帶圖。導帶的電子被電場向右加速，在兩次碰撞之間，保持恒定的能量運動,電子在運動的過程中，會和原子、缺陷或者是雜志發(fā)生碰撞。在碰撞中，能量是傳遞給其他粒子，同時電子會損失一部分總能量，如圖3.2（b）所示。但是，電子還會繼續(xù)被外加電場加速。加速度為在最小值附近，是正值，根據，電子在外力的方向上被加速。相反地，在最大值附近，有效質量是負的，這表明電子朝著外力相反的方向加速這一概念和直覺是相反的。這種結果是由于作用在電子上的總的力，是外部施加的作用力，加上晶體內部所有原子施加在電子上的力。有效質量中計入了內部原子的作用力，所以準經典力學才得以應用。這種違反直覺的情況就是由于內部的作用力，才使得電子在外力作用下向“錯誤的”方向加速。,3.1.2三維晶體在經典力學中，我們用E-K關系來求有效質量，并據此推斷電子的行為，例如在外加電場下的運動。記得在第1章，我們通過討論布洛赫波函數(shù)得到了一些關于E-K圖的般形狀和性質的知識(例如，關于K的周期性、在布里淵區(qū)中心的斜率為零，等等)。一維情況下關于E-K圖的討論和準經典力學中用到的有效參數(shù)可以推廣到二維和三維的情況。這里給出三維晶體的結果。1、三維布洛赫波由下式給出：2、任意一個能帶的關系在空間是周期性的，周期為,3、從E-K關系得到的全部信息和從中推出的參數(shù)，都包含在簡約布里淵區(qū)或第一布里淵區(qū)。4、三維情況下，電子的（群）速度為5、對于每一個主要晶向，在K=0處和簡約布里淵區(qū)的邊界都存在相對極值。6、對于三維晶體，關系是很難畫出來的。7、在一個能帶的相對極值附近，可以定義有效質量，以便應用牛頓定律。在極小值附近，有效質量是正的；在極大值附近，有效質量是負的。8、在極值附近曲線的曲率和的方向有關，從而和電子運動的方向有關。9、對于立方晶胞結構的半導體，如果在K=0處有極值，那么曲率就和方向無關，并且有,3.2導帶結構,GaAs導帶能量的絕對最小值位于K=0處。由于立方結構的對稱性，最小值附近E-K圖的曲率，從而在任何運動方向上都是相同的。因此，對于GaAs，導帶底附近電子的有效質量是一個標量。測得GaAs的電子有效質量是0.067m0，m0是自由電子的靜止質量。GaAs就是一種在布里淵區(qū)方向邊界處兩個能帶具有相同能量的材料，因此，在邊界處，E-K關系曲線的斜率不為零，但是兩個E-K關系曲線斜率的和等于零。,圖3.3三種常見半導體的E-K關系圖。,對于Si（如圖3.3（b）所示），導帶最小值在方向，位于大約等于布里淵區(qū)邊界K值0.85倍的K值處，這一點就是導帶底，絕大多數(shù)我們感興趣的電子都在這里。不幸的是，這里的電子有效質量不是標量，這是因為在此最小值處，沿K空間的不同方向，關系的曲率不同。對Si沿100方向運動的電子，有一個有效質量，叫做縱有效質量;還有兩個橫有效質量，用來表征沿另外兩個方向運動的電子，它們是相等的，用表示。從圖3.3(c)我們看到，Ge導帶的絕對最小值位于方向布里淵區(qū)的邊界，有效質量也不是標量。在K=0處還有另一個能量較高的極小值。在此較高能量的極小值處，電子的有效質量是一個標量。兩種最常用的平均方法可以得到兩種有效質量，種是電子的電導率有效質量，用于電導率和有關的計算；另一類是態(tài)密度有效質量，用于計算電子濃度。,3.3價帶結構,雖然半導體的導帶結構隨材料不同而不同，但是大多數(shù)電子學中有重要應用的半導體材料的價帶結構都是類似的。價帶結構一般比導帶結構簡單，包含3個交疊的能帶。這3個能帶的絕對最大值都在K=0處，但是E-K關系的曲率不同，因此有效質量也不同，如圖3.4所示。,電子的有效質量和E-K關系的曲率成反比，價帶頂附近電子的有效質量是負值。另外，價帶一般情況下幾乎完全被電子占滿，只在帶頂附近有少量空態(tài)。如果把這此事態(tài)看成空穴的話可以認為空穴是只有正有效質量的，擁有一個正電荷的粒子。,圖3.4大多數(shù)半導體材料價帶的E-K關系圖,在K=0處的兩個能帶具有相同的最大值。h和l這兩個帶分別代表重空穴(較小曲率)和輕空穴(較大曲率)。第三個能帶向下分裂了能量，這是自旋軌道耦合導致的。這種自旋軌道相互作用來自于電子個體的自旋形成的磁場和電子軌道的磁場的影響，這個分裂能帶用s來表示。,表3.2幾種半導體的價帶空穴有效質量（質量的單位是自由電子靜止質量）,3.4本征半導體,一個半導體如果沒有雜質和晶格缺陷，就稱它是本征的。我們將看到，本征意味著導帶中電子的濃度(單位體積的數(shù)日)等于價帶中空穴的濃度。在絕對零度時，對于本征半導體，電子占據了價帶中所有的電子能態(tài)，導帶中的所有能態(tài)即是空的。這是因為在絕對零度，每一個電子都處于可能的最低能態(tài)。在稍高的溫度下，電子獲得從晶格傳遞過來的熱能。晶體中的原子會發(fā)生振動，晶格的振動以波的形式在晶體中傳播，這種聲學波也叫聲子，每個聲子都是具有能量和波矢。像子和光子一樣，聲子可以當作是波，也可以看作粒子。聲子可以將電子從價帶激發(fā)到導帶，這樣就在價帶留下一個空態(tài)或空穴。這個導帶的電子是準自由的，價帶的空穴也是準自由的。電子和空穴一起稱做電子空穴對。如果電子一空穴對是通過吸收聲子產生的。我們就把這個過程稱為熱產生。因為聲子或晶格振動攜帶晶體的熱能如果激發(fā)的能量是由光子提供的，這個過程就叫做光產生。,圖3.5在熱產生過程中，一個價帶電子需要獲得額外的能量，躍遷到導帶。（a）實際圖像或化學鍵圖示。（b）能帶圖。在復合過程（c）中，導帶的一個電子落到價帶的空穴中，導帶電子和價帶空穴同時消失。電子還可以通過和其他粒子碰撞（c）圖右邊）而損失一部分能量,3.5非本征半導體,在本征半導體中，導帶電子的濃度等于價帶空穴的濃度。通過加入摻雜原子，可以讓電子和空穴的數(shù)目不等，在這種情況下，材料就是非本征的。如果一個半導體的的，稱之為非本征半導體。通過添加雜質原子到本征材料中，就可以形成非本征半導體(這個過程叫摻雜)。如后面將介紹的，摻雜原子可以是施主，也可以是受主。如果，那么半導體就是n型的，意味著電流主要由帶負電的電子攜帶。如果，那么半導體就是P型的，電流主要由帶正電的空穴攜帶。,3.5.1施主假設一個外層有5個電子的原子，例如磷(P)替代了純硅晶體中的一個Si原子，如圖3.6（a）的價鍵圖所示。Si是4價。磷原子多余的一個電子不需要參與構成共價鍵，因為已經有足夠的電子構成共價鍵了。因此，多余的這個電子就比共價鍵的電子受磷原子的束縛弱。正如我們將看到的，這個電子很容易“貢獻”給導帶，因此磷原子稱為施主原子。,圖3.6硅晶體中的施主：（a）晶體的價鍵圖。（b）摻有一個磷（施主）原子的硅的能帶圖,現(xiàn)在我們來較為定量地研究施主，并試著確定它們的能級。前面講過，由施主原子貢獻的多余的電子處于導帶。如果是這樣的話，施主原子失去一個電子，應該成為正離子，那么離子的正電荷就對帶負電的電子產生庫侖力。這個問題和氫原子類似，在氫原子中，一個電子束縛在帶有一個正電荷的氫原子核周圍。根據氫原子的玻爾模型（同時依據量子力學），第n個能級由下式確定玻爾半徑是對于真空中的氫原子，是將一個電子從氫原子核的作用下移走(產生一個自由電子)所需要的最小總能量。空間中一個孤立的磷原子和氫原子類似，也具有一系列分立能級。,圖3.7（a）孤立磷離子中的分立能態(tài)。（b）含有一個受主原子的半導體晶體的能帶圖。對于孤立原子來說，一個電子的能量必須等于或大于，才能脫離原子核的影響。在半導體中，電子的能量必須等于或大于，才能不受受主原子的影響。（c）GaAs中的一個受主原子的能級圖。,3.5.2受主除了向半導體中摻雜施主，還可以摻雜外層電子數(shù)比被替代原子的電子數(shù)少的雜質。我們來看Si(4個價電子)個摻雜有3個價電子的硼原子的情況。圖3.8（a）描述了摻人硼原子的Si是如何成為P型材料的。在Si中，硼叫做受主。我們知道，原子通?？偸莾A向于填滿外面的殼層，即使是通過共享電子的方式。B原子周圍的Si原子都希望有8個外層電子但是總數(shù)卻少一個。如果鄰近的Si原子能提供一個電子占據這個空態(tài)，價鍵就填滿了。但是硼原子就變成帶負電的了，因為這時它的電子數(shù)多于質子數(shù)。由于待膩子最有可能來自于鄰近的共價鍵，因此將在那里留下一個空穴。摻雜了一個受主的半導體材料的能帶圖如圖3.8（b）所示。注意，在圖3.8(a)中，空穴已經運動離開硼原子一段距離了。將一個電子從價帶激發(fā)到受主態(tài)并不需要很高的能量。當電子激發(fā)到受主態(tài)時，在價帶產生一個空穴(空穴可以四處移動)，受主原子成為負離子。同樣，受主原子被固定在晶體中不能移動，也不能攜帶電流；只行有空穴能夠移動。,圖3.8半導體中的受主：（a）價鍵圖。（b）能帶圖。一個電子從價帶激發(fā)到受主態(tài)，留下一個準自由空穴,對于受主，求受主態(tài)的能量EA，要看價帶，而不是看導帶。如前面所指出的，大部分在電子學中有用的半導體有3個價帶，最大值都在K=0處。其中，兩個帶的最大值在E=EV，第三個帶的最大值比EV低。采用和計算施主態(tài)類似的步驟并作相同的假設，得到空穴的束縛態(tài)為如果-族材料(如GaAs)是主體材料，那么可以通過將砷原子(5個價電子)用元素周期表中的族元素(如碲)來代替，使其成為n型(將稼原子(3個價電子)用族原子(如硅)來代替，也可以使GaAs成為n型。無論是哪一種方法，都比形成完整的共價鍵多出一個電子)。類似地，用族原子(鋅)替代族原于(鎵)，或者用族原子硅替代族原子砷，都可以使GaAs成為P型。兩種方法都使系統(tǒng)比形成完整的共價鍵少一個電子、摻入的原子就成為受主。因此在GaAs中，族元素(如鍺和硅)既可以是施主，也可以是受主，取決于所替代的是哪一種原子。我們把這種原子叫做雙性雜質。在GaAs中，硅趨向于占據鎵原子的位置因此一般是施主。,3.6空穴的概念,3.6.1空穴的電荷價帶中未被電子占據的能態(tài)可以看作是空穴，這些空穴可以在價帶中移動。在這一節(jié)，我們將進一步發(fā)展這一概念，還將更嚴格地說明空穴具有正電荷并可以攜帶電流，我們通過考察電流來進行分析?？疾焓┘恿穗妶龅膎型半導體。在導帶，單位體積內有n個電子，價帶單位體積內有p個空穴。這樣，導帶中的電荷密度為-qn，即電子電荷乘以電子密度。電子的電流密度(單位面積安培數(shù))為,圖3.9圖上的價帶能態(tài)。（a）所有的能態(tài)都被沾滿。（b）有一個能態(tài)是空的（空穴），這表明有一個電子沒有能量相同但波矢和速度相反的電子與之對應,從圖中可以看出，E-K曲線是對稱的，因此，每個速度為vi的電子都對應一個速度為-vi的電子。因此，當價帶中的能態(tài)被填滿時，價帶電子的總電流密度J=0。當然，電子是在真實空間運功的，但是對于任何一個給定的能量E，圖中都有兩個具有相反速度的能態(tài)。,3.6.2空穴的有效質量在價帶頂附近的電子具有負的有效質量，因為在這個區(qū)域，能帶的曲率是負值?，F(xiàn)在要說明，如果把價帶頂?shù)目諔B(tài)當作帶正電的空穴，必須認為它們具有正的有效質量，大小等于那個未成對電子的有效質量，但符號相反?？疾祀娏飨蛴伊鲃?電子向左流動)的p型半導體，如圖3.10(a)所示。另外還施加了一個指向紙面的磁場B。施加到末成對電子的洛侖茲力由下式確定如果不考慮電子，而是考慮如圖3.10（b）所示的一個空穴，那么洛侖茲力為,圖3.10作用在P型半導體中的一個電子上的洛倫茲力。（a）未成對電子（負電荷，負有效值量）被向下加速。（b）具有正電荷和正有效質量的空穴被向上加速。,因為電流是向右的，所以帶正電的空穴的速度也是向右的?？昭ㄊ艿降膬袈鍋銎澚臀闯蓪﹄娮拥拇笮　⒎较蚨枷嗤?。因此，可以得到如下結論：在一個接近填滿的能帶（價帶）中，可以把空的能態(tài)當作粒子來處理，這種粒子叫做空穴?？昭ň哂姓姾珊驼行з|量，并對外力有響應?？昭ǖ挠行з|量大小等于價帶頂電子的有效質量，而符號相反（為正）。,3.7能帶中電子的態(tài)密度函數(shù),我們已經知道，半導體中的能態(tài)形成能帶，電子可以占據這些能態(tài)。同時，大多數(shù)我們感興趣的電子在導帶底附近，而大多數(shù)空穴在價帶定附近。要描述半導體中的電流，還需要更多的信息。需要更準確地知道自由電子和空穴的密度，以及按能量的分布。雖然并不是顯而易見的，但是對大多數(shù)電子器件來說，器件電流是由具有足夠能量來越過器件內不同勢壘的電子或空穴的數(shù)目決定的。要確定這些器件的電流-電壓關系，必須知道電子（和空穴）按能量的分布。要確定電子（空穴）按能量的分布，需要知道兩件事情。首先知道允許的能態(tài)按能量如何分布，第二是給定能量的能態(tài)被電子（空穴）占據的幾率。例如，我們的直覺是，能量越高的能態(tài)，被占據的可能性越小。,3.7.1態(tài)密度和態(tài)密度有效質量對一個自由電子(Ep=E0為常數(shù))，允許的能態(tài)按能量的分布為考慮E-K關系中拋物線的區(qū)域，其中，有效質量是常數(shù)。對導帶底附近的一個電子，有,導帶,價帶,圖3.11導帶和價帶中的電子和空穴的態(tài)密度函數(shù)。態(tài)密度與能量關系的曲線疊加在能帶圖（能量對位置x的關系上）,圖3.11所示是導帶和價帶中，電子和空穴的態(tài)密度示意圖，其中是疊加在能帶圖(能量對位置的關系)上的。注意到禁帶中沒有電子或空穴的態(tài)(純的本征材料)，因此禁帶中的為零。,3.8費米-狄拉克統(tǒng)計,3.9.1能帶中電子和空穴的費米-狄拉克統(tǒng)計在一個允許的能帶中，電子占據能量為E的給定能態(tài)的幾率為圖3.12（a）給出了幾種不同溫度下，作為能量的函數(shù)的費米一狄拉克分布。圖中還標出了可能的Ec和Ev的值。在間3.12（b）中,我們把通常的圖旋轉900，用自變量作y軸、因變量作x軸。這樣,分布圖就可以和其他以能量為縱軸的圖(如能帶圖)統(tǒng)一起來。在圖3.12（b）中，橫軸向左代表幾率增大。,費米-狄拉克幾率函數(shù),圖3.12費米-狄拉克分布函數(shù)給出能量為E的能態(tài)（如果該能態(tài)存在的話）被占據的幾率,費米能級是一個特殊的能級，在費米能級處f(E)=1/2，也就是處于該能量的能態(tài)(如果該能態(tài)存在的話)被占據的幾率是50。在費米能級以下的能級被占據的幾率大于空著的幾率。在費米能級以上的能級，被占據的幾率小于1/2，意味著這些能態(tài)更趨向于是空著的。圖3.12中畫出了幾個不同溫度下的費米狄拉克分布函數(shù)。在絕對零度，每個電子占據盡可能低的能態(tài)。對半導體而言，這意味著價帶的每一個能態(tài)都被占據，因此，價帶中的任何能態(tài)被占據的幾率為1，而導帶中的任何能態(tài)被占據的幾率為0。對本征半導體來說，費米能級位于十分接近禁帶中央的位置。