高等數(shù)學(xué)第一高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期復(fù)習(xí)學(xué)期復(fù)習(xí) 一一、選擇題、選擇題 (每小題每小題 2 分分) 1. 函數(shù) 1 0 ( )ln01 1 1 1 x ex f xxx x x = ,當(dāng)( C )時(shí)無窮大量. (A) x (B) x + (C) 0 x (D) 1x 2. 下列函數(shù)中,在, 上滿足羅爾定理的條件是( C ). (A) 2 1 ( )f x x = (B) ( )sinf xx= (C) ( )cosf xx= (D) ( )cosf xxx= 3. 曲線 2 1 2 2 arctan (1)(2) x xx ye xx = + 有( B )條漸近線. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4. 若( )f x為奇函數(shù), ( )g x為偶函數(shù),則( B )為奇函數(shù). (A) ( )f g x (B) ( )ff x (C) ( )g f x (D) ( )g g x 5. 函數(shù)( )f x在( , )a b內(nèi)連續(xù),則( C )也在( , )a b內(nèi)連續(xù). (A) 1 ( )f x (B) ln( )f x (C) 2 3 ( )fx (D) arcsin( )f x 6. 若()( )()fxf xx= (C) ( )0,( )0fxfx,且 0 ()0fx=,則( )f x 在 0 x處( A ). (A) 取極大值 (B) 取極小值 (C) 不一定取到極值 (D) 一定不取到極值 8. 函數(shù)( C )的需求價(jià)格彈性 EQ Ep 與價(jià)格無關(guān). EQP Q EpQ = (A) Qabp= (B) 2 Qabpcp= (C) A a Qp= (D) A Q pa = + 9.下列不等式中,( B )成立. (A) 2 11 lnln ee xdxxdx (B) 22 2 lnln ee ee xdxxdx (C) 32 11 x dxx dx + (D) 22 43 11 x dxx dx 10.下列廣義積分收斂的是( D ). (A) ln e x dx x + (B) ln e dx xx + (C) ln e dx xx + (D) 2 ln e dx xx + 11、 x lim 2 22 )sin( 1cos xx xx + + ( B ) （A）0 （B）1 （C）不存在 （D） 12、函數(shù))(xf= = 12 1 1 1 2 x x x x 在點(diǎn) x = 1 處 ( A ) （A）不連續(xù) （B）連續(xù)但不可導(dǎo) （C）可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù) （D）可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù) 13、=+dyexye y 所確定的隱函數(shù)的微分由方程0( C )。 （A）dx ey x x + （B）dx ex y y + （C）dx ex y y + （D）dx ex y y + 1 14、設(shè)函數(shù))(xf二階可導(dǎo)且處處滿足方程 0)(2)(3)( 2 =+ xfexfxf x ，若 0 x是該函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)且)( 0 xf 0 時(shí), 曲線 x xy 1 sin= ( A )。 （A）僅有水平漸近線 （B）僅有鉛直漸近線 （C）既有水平還有鉛直漸近線 （D）既沒有水平也沒有鉛直漸近線 17、設(shè))(xf是 x 2 sin 的一個(gè)原函數(shù)，則 )( 2 xdf= ( A )。 （A）dxxx 22 sin2 （B）dxx4sin （C）dxxx 2 sin2 （D） 22 sindxx 18、)(cos) 1 cos 1 ( 2 xd x = ( D ) （A）cxx+tan （B）cxx+costan （C）cx x + cos 1 （D）cx x +cos cos 1 19、設(shè))(xf單調(diào)可導(dǎo)，)(xg是)(xf的反函數(shù)，則 )( 1 sin )( xf tdt t tg dx d = ( C )。 （A）)()(sin( )( xfxf x xf （B）)(sin( )( xf xf x （C）)()(sin( )( xfxf xf x （D）)(sin )( xf x xf x 20、下列廣義積分收斂的是 ( C )。 （A） + e dx x xln （B） + e dx xxln 1 （C） + e dx xx 2 ln 1 （D） + e dx xx ln 1 21、若當(dāng)x時(shí) 1 1 1 2 +xcbxax ，則 a、b、c 的值一定是( B )。 （A）a0，b1，c1 （B）a0，b1，c 任意 （C）a0，b、c 任意 （D）a、b、c 都任意 22、設(shè))(xf = = 00 0 1 2 x x x e x , 則 )0( f = ( D )。 （A）0 （B） 2 1 （C）1 （D）1 23、設(shè))(xf是可導(dǎo)函數(shù), 則 ( A ) （A）若)(xf為奇函數(shù), 則)(x f 為偶函數(shù) （B）若)(xf為奇函數(shù), 則)(x f 亦為奇函數(shù) （C）若)(xf為單調(diào)函數(shù), 則)(x f 亦為單調(diào)函數(shù) （D）若)(xf為非負(fù)函數(shù), 則)(x f 亦為非負(fù)函數(shù) 24、設(shè))( xfy= 可導(dǎo)，則 y ( D )。 （A）)(x f （B）)(x f （C）)( xf （D）)( xf 25、)( 0 x f = 0 且 )( 0 x f 0 是 )(xfy = 在點(diǎn) 0 x 處有極值的( B )條件。 （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）無關(guān) 26、若點(diǎn)（1, 3）是曲線 23 bxaxy+=上的拐點(diǎn)，則 a, b 分別為 ( B )。 （A）3/2，9/2 （B）3/2，9/2 （C）3/2，9/2 （D）3/2，9/2 27、已知 )(xF 是 )(xf 的原函數(shù), 則 + x a dtatf)(=( C )。 （A）)()(aFxF （B）)2()(aFatF+ （C）)2()(aFaxF+ （D）)()(aFtF 28、設(shè)+=)(,)( 22 xfcexdxxf x 則 = ( D ) 。 （A） x xe22 （B） x ex 22 2 （C）)2( 2 xxe x + （D）)1 (2 2 xxe x + 29、設(shè) )(xf 連續(xù)且不等于零, 若 +=cxdxxxfarcsin)(, 則 )(xf dx = ( D )。 （A）Cx+ 2/32) 1 ( 3 2 （B）Cx+ 2/32) 1 ( 3 1 （C）Cx+ 2/32) 1 ( 3 2 （D）Cx+ 2/32) 1 ( 3 1 30、當(dāng) ( C ) 時(shí)，廣義積分 0 dxe kx 收斂。 （A）k0 （B）k0 （C）k (B) 至少存在一點(diǎn),使得( )0f (C) 任一點(diǎn)處,總有( )0f= (D) 任一點(diǎn)處,總有( )0f 35. 設(shè)(0)0,f= 2 0 ( ) lim1 x f x x = ,則函數(shù)( )f x在0 x =處( B ). (A) 可導(dǎo),且(0)0 f (B) 取得極大值 (C) 取得極小值 (D) 不可導(dǎo) 36.設(shè)( )f x是(,) +上奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x有：(2)( )(2)f xf xf+=成 立, 則當(dāng)( )f x是以 2 為周期的周期函數(shù)時(shí),必有(1)f= ( B ). (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 37. 32 yaxbxcxd=+在同一x處有一拐點(diǎn)和一水平切線,則, ,a b c應(yīng)滿足關(guān) 系式為( C ). (A) ac= (B) 0abc+= (C) 2 30bac= (D) 2 40bac= 38. (1ln ) x xx dx+= ( B ). (A) 1 1 ln 1 x xxC x + + + (B) x xC+ (C) lnxxC+ (D) 1 ln 2 x xxC+ 39. 111 lim() 12 n nnnn += + ( A ). (A) ln2 (B) e (C) 0 (D) 1 40. 設(shè) sin 0 ( ) 0 x x f xx kx = = 的定積分 1 0 ( )f x dx ( C ). (A) 不存在 (B) 存在且與k有關(guān) (C) 存在且與k無關(guān) (D) , ,A B C都不對(duì) 41. 設(shè) 10 ( ) 10 xx g x xx = + ， 2 0 ( ) 0 xx f x xx = ，則( )g f x=( B ). (A) 2 10 10 xx xx + (B) 2 10 10 xx xx + + (C) 2 10 10 xx xx =+ ，則( D ). （提示：Lagrange 定理） (A) 1 21 T N (B) 1 21 T N (D) 1 2 T N ，則( )ln x f xxk e =+在(0,)+內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( C ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 46. 設(shè) 1 ( )ln( ) e f xxf t dt=+，則( )f x=( C ). (A) ln(1)xe+ (B) ln xC+ (C為任意常數(shù)) (C) 1 ln 2 x e + (D) ln x 47. 設(shè) sin 2 0 ( )sin x f xt dt=，( )tang xxx=，則當(dāng)0 x 時(shí)( A ). (A) ( ) ( )f xg x (B) ( )( ( )f xO g x=但( )f x不等價(jià)于( )g x (C) ( )( ( )f xO g x= (D) ( )( ( )g xO f x= 48. 設(shè) 2 cos0 ( ) 20 xx f x xx = ，則 4 0 (1)f xdx= ( A ). (A) sin1 3 (B) sin1 3 (C) sin1 3+ (D) sin1 15+ 49. 下列廣義積分發(fā)散的是( C ). (A) 2 1 (1)(3) dx xx (B) 0 100 x edx (C) 2 ln dx xx + (D) 1 0 lnxxdx 二、二、填空題填空題 (每小題每小題 2 分分) 1. 已知(1)21 x f ex+=, 則( )2ln(1) 1f xx=, 其定義域是(1,)+ 2. 3 cos lim0 1 x xx x = + 3. 設(shè) 2 ( )cos 2f xx=, 則(2 )2sin8fxx= 4. 設(shè))(xf可導(dǎo)，)(cos)(sin 2 xfxfy+=， 則 dx dy 2 (sin )cos(cos)2cos sinfxxfxxx 5.設(shè))()( 0 2 12 += xdtexf xt , 則(1)( )f x的奇偶性為奇函數(shù). (2)( )f x 的單調(diào)性為單調(diào)上升. (3) ( )f x的圖像之凹向是 6. 設(shè) 2 ( ) x x dxeC f x =+ (C為任意常數(shù)), 則 21 ( ) 2 x f xe= 7. 已知 2 (1) x fxe=,且 1 ( 1) 2 f =, 則 22 1 ( ) 2 x f xe + = 8. 已知 ( )f x 的一個(gè)原函數(shù)是 sin2x, 則 4 0 (2 )2fx dx = 9. 在 sin5x 的麥克勞林展開式中 3 x 前的系數(shù)是 3 5 3! 10. 設(shè) 0 ( )( )() x F xf txt dt= , 則( )( )Fxf x= 11. 設(shè) 34 ()fx dxxxC=+ , 則 2 ( )2f xxxC=+ 12. 假設(shè)當(dāng)0x時(shí) 3 1 2) 1 (ax+11cosx，則 =a 3 2 13. 已知 3 1 () d f x dxx = , 則 1 ( ) 3 fx x = 14. 已知 0 (2 ) lim3 x fx x =, 則 0 2 lim (3 )9 x x fx = 15. 5030 80 80 (32) (35)3 lim( ) (811)8 x xx x + = 16. 已知 2 12 ( )02 12 xx f xx xx + , 則 1 lim( )3 x ff x = 17. 若+=cxdxxxfarcsin)(, 則 2 1 1 ( ) xx f x = 18. 2 0 3 0 sin 1 3 lim x x t dt x = 19. 函數(shù) lim0 ( ) 1 sin0 n n n x x f x x xx = + , 僅有一個(gè)間斷點(diǎn)是1x = 20. 設(shè)( )sincos2 2 x f xx=+,則 (27)( ) 0f= 21. 設(shè)2)( 0 = x f，則 = + h hxfhxf h )()( lim 00 0 4 22. 設(shè) 2 2 0 ( ) x t f xedt =, 則 4 0 ()() lim4 x a f xaf xa xe a + = 23. 設(shè) 2 ( )max( ,)f xx x=,在區(qū)間(0,2)內(nèi) 101 ( ) 212 x fx xx = ， 21 ( ) 21 x g x x = ，則( )2g f x= 38. 由曲線 2 ) 1(1=xy 與直線 xy = 所圍平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 V 的 積 分 表 達(dá) 式 為 11 222 00 (11)y dyydy （不必計(jì)算） 。 39. 設(shè)( )f x是連續(xù)函數(shù)，且lim( )1 x f x + =，則 2 3 lim(sin ) ( )6 x xx tf t dt t + + = （利用 積分中值定理即可） 40.設(shè)( )f x是連續(xù)函數(shù)， 2 0 ()1 x x f tx dte=+ ，則 2 ( )2 x f xxe=（令 txu=） 42. () 1 lim 201020112012 nnn n n +=2012 三、計(jì)算題三、計(jì)算題 (每小題每小題 10 分分) 1. 計(jì)算 2 0 coscos1 lim sin4 x xx x = . 2. 24 ln(cos1 cos)yxx=+, 求 4 sin2 1 cos x dydx x = + . 3. 設(shè) 2 2 0 2 (1 cos )0 ( )10 1 cos0 x xx x f xx t dtx x , 討論( )f x在0 x =點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性： 連續(xù)且可導(dǎo). 4. 求不定積分 1 2 (1) (1) x x x xe dxxde e = + + . 分部積分 5. 計(jì)算定積分 2 2 2 2 8 cos (cos ) 23 x xx dx += . 6. 設(shè) 2 1 ( ) x t f xedt =, 求 1 0 ( )f x dx x . ( 1 0 ( ) (2)f x dx=分部積分) 7. 若 2 2 sin 00 1 lim1 sin x t x t dt xx e + = , 求,. 1,ln2= 8. 設(shè) 11 0 1 ( ) 1 0 2 x x xe f x x = = , 討論0 x =點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性. 連續(xù)且可導(dǎo) 9. 0= + xye yx ，求 dx dy x y x y ye ex + + = 10. 設(shè) 2 3 1 ( )01 00 x ax f xxx x = 求 2 2 00 ( )301 2ln1 x x fxxx aax ，由0sin1)( =xaxf， 得到)(xf在)2 , 0(內(nèi)的駐點(diǎn)為 0 1 arcsin(0,) 2 x a =或 0 (, ) 2 x 。 又因?yàn)? )cosfxax= ，所以 0 ()0fx。 從而( )f x 在 0 x取得極小值 0，即 00000 ()cos0cosfxxaxxax=+=； ( )f x在 0 1 arcsinx a =取得極大值 0，極大值為 000 ()cosf xxx=+=。 20 求極限 0 1cos1 lim 2(1 cos) x x xx + = . 21. 設(shè) 1 2 0 1 ( )( )2 1 x xef x dxf x x += + ， 求 1 0 )(dxxf 兩邊取定積分后得： 1 8 = 22. 111 11 ( )( )(0) xa axx yxaxa ax =+，求 y . 1 11 1 1 222 111111 ( ) ln( )()ln ()(1 ln ) x xa ax x xaaax aaaxxxx =+ 23. 設(shè)D1是由曲線 2 2xy =、ax =、2=x及0=y所圍平面區(qū)域；D2 是由曲線 2 2xy =、0=y、ax = 所圍平面區(qū)域（20時(shí) ln(1) 1 x xx x ),并求這條切線與x軸 及直線4y =的交點(diǎn)；切線： 2 111 (4)2 ()yxx xx= ，與 x 軸交點(diǎn)： 2 1 1 4 ,0 2 x x + ，與 4y = 交點(diǎn)： 1 ,4 2 x (3) 如果(2)中P點(diǎn)處切線與曲線及x軸和4y =所圍圖形面積最小，則P點(diǎn)應(yīng) 在何處？面積 2 1 1 4216 3 x S x + =，P點(diǎn) ( 2,2) 33設(shè)曲線 )0(),4( 2 =axay，過此曲線與 x 軸交點(diǎn) )0, 2(及 )0, 2( 作曲線的兩條法線， 求曲線與這兩條法線所圍成的平面圖形面積的最小值 34求 6 lim3() 6 x tg x tgx （換元： 6 xt =） 35. 設(shè) 1 1 =x， n n x x + = + 1 1 2 1 ，,.2 , 1=n，求證：數(shù)列 n x 的極限 存在并求其極限 15 2 + =（數(shù)列單調(diào)上升、有上界 2） 36求 a，b 使得函數(shù) 212 2 ( )lim 1 n n n xaxbx f x x = + 是連續(xù)的 37設(shè) 222 2 xba x y =，求 )(n y 先用綜合除法 38設(shè) 2 lim( 221)0 x xxaxb + + =，試確定 ba,之值 （分子有理化） 39求 8 (5) dx x x + （= 88 8 (5) 5 (5) xx dx x x + + ） 40. 設(shè) ：設(shè) 00 (0,1) |()|xf xM= （1） 0 1 0 2 x：由 L. 定理 0 00 |()(0)| |( )| |1/ 2 f xfMM f xx = （2） 0 1 1 2 x：類似 2. 設(shè)( )f x在01 ，上連續(xù), 且 1 0 ( )0f x dx = ，證明至少存在一點(diǎn)0,1，使 (1)( )ff= 因?yàn)?11 00 0( )(1)f x dxft dt= （令 1xt= ） 所以 1 0 ( ) (1)0f xfx dx+= ，再由積分中值定理即可 3. 設(shè) 2 0 ( )(2 ) x t F xxt edt = ，證明：(1) ( )F x是偶函數(shù)；(2) ( )F x在(0,)+上 是增函數(shù). 4. 函數(shù)( )f x在0,1上有定義，且單調(diào)不增，證明對(duì)任何(0,1)a有 1 00 ( )( ) a f x dxaf x dx . （令 = 1 0 0 )( )( )(dxxf a dxxf xF a ，則由積分中值定理可得 0)( xF） 5用極限定義證明： 2 1 32 1 lim 2 2 = + + nn n n 6設(shè) 2 sin) 1 1 ( n n xn +=，證明：數(shù)列 n x 沒有極限 子列 2 4 00 k x=， 2 (41) 1 11 41 k x k + = + + 7用極限定義證明： 0 2 1 lim 1 = x x x 8 設(shè) 0x 且 10xf ，求證：)(2)()(afhafhaf+， )0( h （將 ()f ah+，()f ah 分別在 xa= 處作展開） 15設(shè) )(xf 在 ,ba 連續(xù)且)()(bfaf=，)( xf在 ),(ba 內(nèi)存在且 0)( + af，)( xf在 ),(ba 內(nèi)存在，