1 復習題（一） 一、定義域 （1）函數的定義域 ()2lg 3 1 + =x x y （2）函數的定義域1 4 1 2 + =x x y （3）函數的定義域為0，1，則定義域為( )xf ( ) + += 4 1 4 1 xfxfxg 二、求極限 （1） + x x x x x 1 sin 2sin 3 lim 0 0 3 1 2 limsin sin2 2 x x x x x =+ 00 3 1 2 limlim sin sin2 2 xx x x x x =+ 0 0 3 lim 2 sin2 lim 2 x x x x = 3 2 = ()lim0 mm nn xa xa a xa 1 1 lim m n xa mx nx = lim m n xa m x n = m n m a n = x x x + 2 1lim 2 2 2 lim1 x x x =+ 2 2 2 2 lim 1 x x x =+ 2 e= x x x ln lim 1 lim0 x x = 45 86 lim 2 2 4 + + xx xx x4 2 lim 1 x x x = 2 3 = x x x x x tan2sin lim 000 sin2n1 lim2lim 2cos xx xsix xxx = 000 sin2n1 2 limlimlim 2cos xxx xsix xxx = 1= =2 11 lim 2 0 + + x x x () 2 0 lim11 x x + =+ 1 sin lim 0 x x e x 0 s lim1 x x co x e = ； ex x ex 1ln lim 11 lim xex e = ；()11lim 22 + xx x 22 2 lim0 11 x xx = + + ； x x x 1 sinlim 1 sin lim1 1x x x = x x x 2 1 1lim 2 2 1 lim1 x x e x = x x x3cos 5cos lim 2 2 5sin5 lim 3sin3x x x = 5 3 = 3 0 2 2sin limln 0 sin lim x x x xx x x e x + + = 2 0 cossin lim 2sin x xxxx x x e + = 0 sin 2 lim 2 1 x xx x e + = () 11 111ln limlim ln1ln1 xx xx xxxx = 1 1 1 lim 1 ln x x x x x = + 1 1 lim 1ln x x xxx = + 1 1 lim 2ln x x = + 1 2 = 1 11 lim 0 x x ex () 0 1 lim 1 x x x ex x e = 0 1 lim 1 x xx x e exe = + 0 lim 2 x xx x e exe = + 0 1 lim 2 x x = + 1 2 = 1 1 3 1 23 2 limlim 1 21 1 2 x x xx x x x x + + + + = + + 4 1 1 3 1 2 lim 1 1 2 x x x x x + + + = + 2 3 2 3 1 2 2 33 11 22 lim 11 11 22 x x x xx xx + = + e= 解法 2：原式 1 2 lim 1 21 x x x + =+ + 21 1 22 2 lim 1 21 x x x + + =+ + 211 22 22 lim 11 2121 x x xx + =+ + e= 解法 1： x xx x 3 0 sin 1sin1 lim () 3 0 sin lim sin1 sin1 x xx xxx = + 3 0 1sin lim 2sin x xx x = 2 0 11cos lim 23sincos x x xx = 2 2 0 1 1 2 lim 23 x x x = 1 12 = 解法 2： x xx x 3 0 sin 1sin1 lim 3 0 11 sin 22 lim x xx x + = 3 0 1sin lim 2 x xx x + = 5 2 0 1cos1 lim 23 x x x + = 2 2 0 1 1 2 lim 23 x x x = 1 12 = () 2 2 1 arctan 12 limlim 111 sincos xx x x xxx + + = 洛比達法則 2 2 lim 1 x x x + = + 1= 不存在 x x x1 sin arctan 2 lim () x x x tan 2 sinlim ， tan sin x yx=解：令tanlnsinyxx=則ln 22 limlimtanlnsin xx yxx =ln 2 lnsin lim 1 tan x x x = 2 2 2 cos sin lim sec tan x x x x x = 2 2 cos limsin sin x x x x = 2 1 limsin2 2x x = 0= , 0 2 limln x ye =ln 2 lim1 x y = 6 解： sinsin ln 00 limlim xxx xx xe + = 0 lim sin ln x xx e + = 00 ln limsin lnlim 1 sin xx x xx x + = 0 2 1 lim cos sin xx x x + = 2 0 sin lim cos x x xx + = 0 limsin x x + = 0= sin 0 lim1 x x x + = xx x 3tan 6 sinlim 6 ， 6 tx =解：令 0 6 limsintan3limsin cot3 6 t x xxtt = 則 0 cos3 limsin sin3 t t t t = 0 sin lim sin3 t t t = 1 3 = x xx x 5sin sin3sin lim 0 00 sin3sin2sin2 cos limlim sin5sin5 xx xxxx xx =解： 0 2sin2 lim sin5 x x x = 4 5 = 7 ； + 2 sin 12 coslim 2 2 0 xx x x 2 22 22 00 212 limcoslimcos sinsin 22 xx x xx xxxx +=+ 解： 2 2 2 00 2 limcoslim sin 2 xx x x xx =+ 2 2 2 00 2 2 limcoslim2 sin 2 xx x x xx =+ 0= 3 0 sin1tan1 lim x xx x + 33 00 11 tansin 1tan1sin 22 limlim xx xx xx xx + =解： 3 0 1tansin lim 2 x xx x = () 3 0 sin1cos1 lim 2cos x xx xx = 2 0 11cos lim 2 x x x = 0 1sin lim 22 x x x = 1 4 = ；()xx x x 2coscos1 1 lim 2 0 8 () 2 0 1 lim1coscos2 x xx x 解： ； ()1ln 1 0 lim + x e x x ()() 1ln ln1ln1 00 limlim xx x ee xx xe + =解： () 0 ln lim ln1 x x x e e + = 0 1 lim x x x e xe e + = 0 lim x xx x e exe e + + = 0 1 lim 1 x x e + + = e= （2），則（）3 2 lim= + x x kx kx =k （a）（b）（c）（d d d d） 2 e 2 1 e 23ln 3 1 2 2 1 lim3 2 1 k x k k xx k k x k x + = 分析： 3 2 1 33ln3 3 k k k e ek e = （12）數列的極限是（） n nn xn cos+ = （a a a a）1（b）-1（c）0（d）不存在 cos1 limlimlim 1cos1 n nnn nn xn nn + =+= 分析： （16）（） ()()() = + 3 321 lim n nnn n （a）0（b）1（c）3（d）6 9 ()()() 3 123123 limlim 1111 nn nnn nnnn + =+= 分析： （18）（）= x x x 3sin 5sin lim （a）（b）-1（c）1（d d d d） 3 4 3 5 sin55cos55 limlim sin33cos33 xx xx xx =分析： （22）（）= + + + xx xx x sin 31 lim 2 （a）-1（b b b b）-2（c）1（d）2 2 2 1 13 13 limlim2 sin sin 1 xx xx x x xx x + + + = + + 分析： （23）若，則（） () 5 1sin lim 2 1 = + x baxx x （a）（b）3, 5=ba6, 7=ba （c c c c）（d）4, 3=ba1, 0=ba () () 2 2 11 lim5lim01 sin1 xx xaxb xaxbba x + =+= 分析：由，可知，即 ()() () 1 11 1lim5 sin1 x xxa ba x + = = 將代入 () 1 lim153 x xaa +=得，即 （26）（）= + + 1 12 cos 1 lim 2 2 x xx x x x （a）0（b）1（c c c c）2（d）3 10 22 22 121121 limcoslimcoslim 11 xxx xxxx xx xxxx + +=+ 分析： 2 2 11 2 1 limcoslim 1 1 xx xx x x x + =+ 2= （28）如果，則（） 3 2 2 sin3 lim 0 = x mx x =m （a）1（b）2（c）4/9（d）9/4 00 3sin23sin2324 limlim 2323239 xx mmxmmxm m mxmx =分析： （29）（）= + 222 21 lim n n nn n （a）0（b）（c c c c）1/2（d）1 () 2222 1 1 121 2 limlim 2 nn n n n nnnn + += 分析： （30）若，則（）2 1 34 lim 2 = + + bax x x x （a）（b b b b）6 , 2 =ba2 , 4 =ba （c）（d）1, 3=ba2, 0=ba 2 43 lim2404 1 x x axbaa x + +=+= 分析：由，可知 ()43 lim2422 1 x b xb bb x + + =+= （31）的值為（） x x x x sin 1 sin lim 2 0 （a）1（b）（c）不存在（d d d d）0 11 2 00 11 sinsin 0 limlim0 sin sin1 xx xx xx x x x =分析： （32）（）= 2 2 2 sin lim x mx x （a a a a）0（b）（c）（d） 2 m 2 2 m 2 2 22 sin1 limlimsin0 22 xx mx mx xx =分析： 三、函數連續(xù) （5）已知函數在連續(xù)，則（） ( ) () = = 0, 0,21 1 xb xx xf x 0=x=b ( )( ) 0 lim0 x fxf =分析：函數在一點連續(xù)的充分必要條件是 而( )() 1 2 00 limlim 1 2 x xx f xxe = ( )0fb= 2 be= （6）已知函數在連續(xù)，則（） ( ) () = + = 0, 0, 21ln xb x x x xg 0=x=b 解：( ) () ()() 11 0000 ln 12 limlimlimln 12lnlim 122 xx xxxx x fxxx x + =+=+= ( )0fb= 2b= （11）已知函數在內連續(xù)，則（） ( ) = = 0 0, 2sin xa x x x xf ()+,=a 12 解：， ( )() sin2 ,0 0 x x f xx ax = + = 要使在，內連續(xù) sin2x x x 當0時,是連續(xù)函數 ( ) sin2 ,0 0 x x f xxx ax = = 只要使在 =0處連續(xù) ( )( ) 0 lim0 x fxf =即只要使 0 sin2 lim22 2 x x aa x = （20）已知函數在連續(xù)，則（）( ) =+ = 1 1, 1 1 3 xax x x x xf1=x=a （a a a a）2（b）-2（c）1（d）-1 ( ) 3 1, 1 1 1 x x f x x xax = += 分析：要使有意義 ( )( ) 1 lim1 x fxf =須使 3 1 1 lim1312 1 x x aaa x = += += 即 （34）若在連續(xù)，則（） ( ) + = + = 0 2 sin 0 2 x x bx xbxa xf 0=x （a）（b）1 , 0 =ba0, 1=ba （c）（d）ba2=ab2= () 2 00 sin limlim 2 xx bx abxa x + +=由題意，只要使 () 2 0 0 lim sin lim 22 x x abxa bbxb aa bx + += = 四、無窮小 （1）函數在哪個變化過程中是無窮小量（）1 1 = x ey （a）（b）（c c c c）（d）0+x0xx1+x （2）當時，是 的（）0x1 x ex （a）高階（b）低階無窮?。╟）同階無窮小（d d d d）等價無窮小 00 1 limlim1 1 xx xx ee x =分析： （3）當時，是 的（）0xxxsin 2 x （a）高階無窮?。╞）低階（c c c c）同階無窮小（d）等價無窮小 14 （4）已知當時，為無窮大量，則當時，下列變量必為無窮0x( )xf0x 小量是（） （a）（b b b b）（c）（d）( )xxf ( )xf x ( )xxf 11 +( ) x xf 1 （6）時的無窮小量（）0x （a a a a）（b）（c）（d） x x 1 sin2 xx 1 sin 1 x xsin x x 2 arcsin （7）曲線的垂直漸進線是（） 32 4 2 = xx y （a）僅有一條（b）僅有一條3=x1=x （c c c c）有兩條，（d）不