教學資料范本新課改瘦專用2020版高考數(shù)學一輪復習課時跟蹤檢測二十八解三角形的實際應用含解析新人教A版編 輯：_時 間：_課時跟蹤檢測(二十八)解三角形的實際應用一、題點全面練1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東80 D南偏西80解析：選D由條件及題圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：選Ctan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)3一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：選A作出示意圖如圖所示，設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在RtBCD中，BCh，在ABC中，A60，ACh，AB100，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4地面上有兩座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫?，在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，且在兩塔底連線的中點O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，則兩塔的高度分別為()A50 m,100 m B40 m,90 mC40 m,50 m D30 m,40 m解析：選B設(shè)高塔高H m，矮塔高h m，在O點望高塔塔頂?shù)难鼋菫?則tan ，tan，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有.因為在兩塔底連線的中點O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵栽贠點望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，由tan ，tan，得.聯(lián)立解得H90，h40.即兩座塔的高度分別為40 m,90 m.5.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2 min，從D沿著DC走到C用了3 min.若此人步行的速度為50 m/min，則該扇形的半徑的長度為()A50 m B50 mC50 m D50 m解析：選B設(shè)該扇形的半徑為r(m)，連接CO，如圖所示由題意，得CD150(m)，OD100(m)，CDO60，在CDO中，由余弦定理，得CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50(m)6.如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30，塔底C與A的連線同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到達M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60角，則電視塔CD的高度為_m.解析：在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，DC600600.答案：6007.如圖，為了測量河對岸A，B兩點之間的距離，觀察者找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C.測量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，則A，B兩點之間的距離為_.解析：依題意知，在ACD中，DAC30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，解得AB.答案：8.如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15，沿山坡前進50 m到達B處，又測得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _.解析：由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.在ABD中，根據(jù)正弦定理可得，即，所以BD100sin 15100sin(4530)25()在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBCD1.所以cos cos(BCD90)sinBCD1.答案：19如圖所示，在一條海防警戒線上的點A，B，C處各有一個水聲監(jiān)測點，B，C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻，B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s后A，C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標P到海防警戒線AC的距離解：(1)依題意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因為cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于點D(圖略)，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD314(km)故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4 km.10.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一座發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM100 m和BN200 m，一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30，該測量車向北偏西60方向行駛了100 m后到達點Q，在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為，且BQA，經(jīng)測量tan 2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離解：在RtAMP中，APM30，AM100，PM100.連接QM(圖略)，在PQM中，QPM60，PQ100，PQM為等邊三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m.二、專項培優(yōu)練(一)易錯專練不丟怨枉分1一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75，距燈塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為_n mile/h.解析：如圖，由題意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，MN6834 n mile.又由M到N所用的時間為14104小時，此船的航行速度v n mile/h.答案：2.如圖，一位同學從P1處觀測塔頂B及旗桿頂A，得仰角分別為和90.后退l m至點P2處再觀測塔頂B，仰角變?yōu)樵瓉淼囊话?，設(shè)塔CB和旗桿BA都垂直于地面，且C，P1，P2三點在同一條水平線上，則塔BC的高為_m；旗桿BA的高為_m(用含有l(wèi)和的式子表示)解析：在RtBCP1中，BP1C，在RtP2BC中，P2.BP1CP1BP2P2，P1BP2，即P1BP2為等腰三角形，BP1P1P2l，BClsin .在RtACP1中，tan(90)，AC，則BAACBClsin .答案：lsin (二)素養(yǎng)專練學會更學通3.直觀想象、數(shù)學建模為了應對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣象觀測如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進行彈射實驗，觀測點A，B兩地相距100米，BAC60.在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30(已知聲音的傳播速度為340米/秒)(1)求A，C兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.解：(1)由題意，設(shè)ACx，因為在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒，所以BCx340x40，在ABC內(nèi)，由余弦定理得BC2AC2BA22BAACcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.故A，C兩地的距離為420米(2)在RtACH中，AC420，CAH30，所以CHACtanCAH140米故該儀器的垂直彈射高度CH為140米4.數(shù)學建模如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)記AMN.(1)將AN，AM用含的關(guān)系式表示出來；(2)如何設(shè)計(即AN，AM為多長時)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?解：(1)AMN，在AMN中，由正弦定理，得，所以ANsin ，AMsin(1