第1課時導數(shù)與不等式題型一證明不等式例1設函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論f(x)的單調性；(2)證明當x(1，)時，1x.(1)解由題設知，f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.當0x0，f(x)單調遞增；當x1時，f(x)0，f(x)單調遞減(2)證明由(1)知，f(x)在x1處取得極大值也為最大值，最大值為f(1)0.所以當x1時，lnxx1.故當x(1，)時，lnxx1，ln1，即1g(x)的一般方法是證明h(x)f(x)g(x)0(利用單調性)，特殊情況是證明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性(2)證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式使兩個變元成為一個整體，另一種方法為轉化后利用函數(shù)的單調性，如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)對x1x2恒成立，即等價于函數(shù)h(x)f(x)g(x)為增函數(shù)跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)xlnxex1.(1)求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)證明：f(x)sinx在(0，)上恒成立(1)解依題意得f(x)lnx1ex，又f(1)1e，f(1)1e，故所求切線方程為y1e(1e)(x1)，即y(1e)x.(2)證明依題意，要證f(x)sinx，即證xlnxex1sinx，即證xlnxexsinx1.當00，xlnx0，故xlnxexsinx1，即f(x)1時，令g(x)exsinx1xlnx，故g(x)excosxlnx1.令h(x)g(x)excosxlnx1，則h(x)exsinx，當x1時，exe11，所以h(x)exsinx0，故h(x)在(1，)上單調遞增故h(x)h(1)ecos110，即g(x)0，所以g(x)在(1，)上單調遞增，所以g(x)g(1)esin110，即xlnxexsinx1，即f(x)sinx.綜上所述，f(x)0，f(x)單調遞增；當x(1，)時，f(x)0，f(x)單調遞減所以x1為函數(shù)f(x)的極大值點，且是唯一極值點，所以0a1a，故a0，所以g(x)為單調增函數(shù)，所以g(x)g(1)2，故k2，即實數(shù)k的取值范圍是(，2引申探究本例(2)中若改為：x01，e，使不等式f(x0)成立，求實數(shù)k的取值范圍解當x1，e時，k有解，令g(x)(x1，e)，由例(2)解題知，g(x)為單調增函數(shù)，所以g(x)maxg(e)2，所以k2，即實數(shù)k的取值范圍是.思維升華利用導數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值，求出參數(shù)的取值范圍(2)也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)axlnx，x1，e，若f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解f(x)0，即axlnx0對x1，e恒成立，a，x1，e令g(x)，x1，e，則g(x)，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上單調遞減，g(x)ming(e)，a.實數(shù)a的取值范圍是.1已知函數(shù)f(x)lnxx，g(x)xex1，求證：f(x)g(x)證明令F(x)f(x)g(x)lnxxxex1(x0)，則F(x)1exxex(x1)ex(x1).令G(x)ex，可知G(x)在(0，)上為減函數(shù)，且G20，G(1)1e0，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)為增函數(shù)；當x(x0，)時，G(x)0，F(xiàn)(x)1時，令h(x)0，得xlna；令h(x)0，得0x1不合題意綜上，a的取值范圍為(，13(2018貴州適應性考試)已知函數(shù)f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范圍解(1)因為f(x)aex，xR.當a0時，f(x)0時，令f(x)0，得xlna.由f(x)0，得f(x)的單調遞增區(qū)間為(，lna)；由f(x)0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(，lna)，單調遞減區(qū)間為(lna，)(2)因為x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，則ax，即a.設h(x)，則問題轉化為amax，由h(x)，令h(x)0，得x.當x在區(qū)間(0，)內變化時，h(x)，h(x)隨x變化的變化情況如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)極大值由上表可知，當x時，函數(shù)h(x)有極大值，即最大值為，所以a.故a的取值范圍是.4(2018天津河西區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)lnxax(aR)(1)若曲線yf(x)與直線xy1ln20相切，求實數(shù)a的值；(2)若不等式(x1)f(x)lnx在定義域內恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)a，設切點的橫坐標為x0，由題意得解得x0，a1，所以實數(shù)a的值為1.(2)由題意，(x1)(lnxax)lnx在定義域內恒成立，得a在(0，)上恒成立，令g(x)(x0)，則g(x)，再令h(x)1lnx，則h(x)0，從而g(x)0，yg(x)在(0，e)上單調遞增；當x(e，)時，h(x)0，從而g(x)1)，都有f(xm)2ex，求整數(shù)k的最小值解因為f(x)為偶函數(shù)，且當x0時，f(x)2ex，所以f(x)2e|x|，對于x1，k，由f(xm)2ex得2e|xm|2ex，兩邊取以e為底的對數(shù)得|xm|lnx1，所以xlnx1mxlnx1在1，k上恒成立，設g(x)xlnx1(x1，k)，則g(x)10，所以g(x)在1，k上單調遞減，所以g(x)ming(k)klnk1，設h(x)xlnx1(x1，k)，易知h(x)在1，k上單調遞減，所以h(x)maxh(1)2，故2mklnk1，若實數(shù)m存在，則必有klnk3，又k1，且k為整數(shù)，所以k2滿足要求，故整數(shù)k的最小值為2.6設函數(shù)f(x)ax2xlnx(2a1)xa1(aR)若對任意的x1，)，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解f(x)2ax1lnx(2a1)2a(x1)lnx(x0)，易知當x(0，)時，lnxx1，則f(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1)當2a10，即a時，由x1，)得f(x)0恒成立，f(x)在1，)上單調遞增，f(x)f(1)0，符合題意當a0時，由x1，)得f(x)0恒成立，f