摘要 隨著科學技術的發(fā)展和生產實際的需要，將水力學方法應用于河道匯流越來 越醬遍，特別是在平原感潮河網地區(qū)應用更為廣泛。應用經典的圣維南方程組， 并采用偏微分方程的數(shù)值解法的流域型大范圍一維河網水流的數(shù)值模擬已經很 成熟。河道二維的數(shù)值求解在近二十年來也已日趨成熟，但目前二維求解僅限于 小范圍內的應用而且多為單一河道水流模擬。本文由此而提出了一種流域型的 河網二維水流數(shù)值模擬的計算模式，希望能解決大范圍內的河網二維水流模擬以 及一二維耦臺的模擬。 受一維河網詡算模式的啟發(fā)，提出了河網= 維基本計算單元的概念。將河網 二維的基本單元劃分為：單一河道單元、“樹狀”河道單元、“環(huán)狀”河道單元、 “十字型”河道單元。隨著研究問題的深入，計算單元類型會相應的擴充?；?思想是：分別對這些基本單元進行二維數(shù)值模擬，利用矩陣追趕法，將單元中的 所有待求變基都用單元的邊界水位表達。通過這種方式，可以方便地借用一維河 網的全隱式解法，用所有單元的邊界水位節(jié)點作為控制節(jié)點，建立閉合的方程組 求解這些水位節(jié)點，進而可以完成全流域的河網二維或者一二維耦合求解。 關鍵訶：流域動力模型、河網二維模型、“樹狀”河道單元、“環(huán)狀”河道單 元、矩陣追趕法 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n dn e e do fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，a p p l y i n gt h eh y d r a u l i c s m e t h o dt ot h er i v e rb e c o m em o r ea n dm o r eg e n e r a l ，e s p e c i a l l yu s i n gm o r ee x t e n s i v e i nt h ea r e ao fp l a i nw h i c hi n c l u d er i v e r - n e t w o r k t h em e t h o du s e dt os i m u l a t e w a t e r w a y so fl a r g es c a l eb ya p p l y i n gc l a s s i c a ls a i n t - v e n a n ta n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw a sa l r e a d yv e r yr i p e t h em e t h o du s e dt os i m u l a t et w o - d i m r i v e rw a sa l s or i p ee v e nt h ep a s t2 0y e a r s ，b u ti ti sl i m i t e dt oa p p l ya m o n gas m a l l e x t e n d ，a n dm o r ef o rs i n g l er i v e rs i m u l a t i o n t h i sp a p e rh a sp r o p o s e dt oe s t a b l i s ha m o d e lo ft w o - d i mr i v e r - n e t w o r kf o rb a s i n ，h o p et os o l v et w o d i ms i m u l a t i o no r t w o d i mc o i n c i d e n c ew i t ho n e d i ms i m u l a t i o no fr i v e r n e t w o r k u n d e rt h ei n s p i r a t i o no fo n e d i mr i v e r - n e t w o r kc o m p u t a t i o n a lp a t t e r n ，w a sp u t f o r w a r dt h eb a s i cc o m p u t i n ge l e m e n t c o n c e p t o ft w o - d i mr i v e r - n e t w o r k t h e t w o d i m e n s i o n a lr i v e r - n e t w o r kb a s i ci n c l u d e ： s i n g l er i v e r ”u n i t 、”t r e e l i k e r i v e r - n e t w o r k ”u n i t 、”r i n g l i k er i v e r - n e t w o r k ”u n i t 、”c r o s s l i k er i v e r - n e t w o r k ”u n i t a l o n gw i t h r e s e a r c hw e n t t h o r o u g h ，t h ec o m p u t i n ge i e m e n t c o u l di n c r e a s e c o r r e s p o n d i n g l y t h eb a s i ct h o u g h ta sf o l l o w s ：s i m u l a t e dt h e s e b a s i ct w o d i m e n s i o n a l u n i t ss e p a r a t e l y e x p j 。e s sa l lv a r i a b l e st ot h er e l a t i o n so ft h ew a t e rl e v e lo fe a c hu n i t t h eb o u n d a r y t h r o u g ht h i sw a y , m a yc o n v e n i e n t l yl e a r nt h eh o l e - i m p l i c i tm e t h o do f o r e d i nr i v e r n e t w o r k r e g a r d e da l lu n i t sb o u n d a r y sw a t e rl e v e la st h ec o n t r o lp o i n t ， e s t a b l i s h e dt h ec l o s e de q u a t i o n st os o l v et h e s ew a t e rl e v e lp o i n t s ：a n dt h e nm a ys o l v e t w o d i ms i m u l a t i o no rt w o - d i mc o i n c i d e n c ew i t ho n e d i mr i v e r - n e t w o r ko fe n t i r e b a s i n k e yw o r d s ：h y d r o d y n a w i em o d e lf o rb a s i n 、t w o d i m e n s i o n a lr i v e r - n e t w o r k m o d e l 、t r e e l i k er i v e r - n e t w o r k 、r i n g l i k er i v e r - n e t w o r k 、m a t r i xc h a s e - a f t e r m e t h o d 學位論文獨創(chuàng)性聲明 本人所呈交的學位論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及 取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外， 論文中不包含其他人已經發(fā)表或撰寫過的研究成果。與我一同工作的 同事對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了 謝意。如不實，本人負全部責任。 論文作者( 簽名) ：囪土壘2 0 0 6 年6 月7 日 學位論文使用授權說明 河海大學、中國科學技術信息研究所、國家圖書館、中國學術期 刊( 光盤版) 電子雜志社有權保留本人所送交學位論文的復印件或電 子文檔，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文。本人電子文 檔的內容和紙質論文的內容相一致。除在保密期內的保密論文外，允 許論文被查閱和借閱。論文全部或部分內容的公布( 包括刊登) 授權河 海大學研究生院辦理。 論文作者( 簽名) 囪i ：堡2 0 0 6 年6 月 日 1 1 問題的提出及研究意義 第一章概論 山于數(shù)學梭型理論的不斷發(fā)展，以及其廉價和易操作等特點，逐步取代物理模型實驗 而成為研究水流運動規(guī)律的重要手段。數(shù)學模型是- - 1 7 綜合性的模擬技術，它采用數(shù)學的 手段來抽象模擬復雜的物理現(xiàn)象，并通過計算機數(shù)值計算方法進行近似求解，籍以重現(xiàn)自 然演變的過程的總稱。數(shù)學模型從最初的研究，發(fā)展到現(xiàn)在的廣泛應用，已經滲入到各個 自然利學領域，航天科技，i 級預報，水文預撇，水環(huán)境監(jiān)測等等，到處郝可以見到數(shù)學 模型的應用。現(xiàn)代河網水流數(shù)值模擬也是其中一個相當重要的方而，它是一門以水流為研 究對象，以水動力學為赫礎。采用偏微分方程數(shù)值解等數(shù)學理論為支撐并結合具體： 程而 發(fā)展起來的新型應用科學。 河流是個綜合的動力開放系統(tǒng)，內部存在著復雜的動力反饋機制。沖積平原地區(qū)的河 流具有自動調節(jié)功能，在不同的水沙條件下自我調整形成不同的河形。工程界常將河流劃 分為四種類型， ! f jj l ! ；j i 直型、彎曲型、分汊型和游蕩型。自然界中順直型河道是很少存在的 游蕩型河道是最不穩(wěn)定的河道，相比之下彎曲河道和分汊河道能長時問的保持穩(wěn)定，也是 自然界中最常見的河流，由河流的彎曲以及分漢而產生了紛繁復雜的河網類型：“樹狀” 河道單元，“環(huán)? 狀”河道單元等等。對這些河流的模擬也就具有了更強的研究意義和現(xiàn)實 意義。 由于數(shù)學模型理淪及計算技術的飛速發(fā)展，列于流域型火范圍維河網水流的數(shù)值模 擬已經很成熟“，并且廣泛應用于各行各業(yè)的實際問題中。河道二維水流模擬計算的研究， 在近二十年來也已f f 趨成熟，主要有a d ?！狈ā m p l e ”及“矩陣追趕法”6 1 等算法，這 些算法成功的解決了一些實際問題，但這些問題一般局限在局部小范圍區(qū)域，且以單一河 道模擬計算為多。隨著實際應用需求的不斷增加，迫切要求研究出流域范圍內的河網二維 水流模擬的方法以及方便實現(xiàn)全流域河網、二維耦合的算法。 1 。2 河道二維水流數(shù)值模擬的發(fā)展 人們依據(jù)普適的物聯(lián)規(guī)律質量守恒定律以及動量守恒定律建立了著名的非恒定流 運動規(guī)律的理論方程組一n a vi e r - s t o c k e s 方程組。由于n a v i e r s t o c k e s 方程組是偏微分 方程組，在數(shù)學卜的復雜性限制了它的求解，在此后的八十年中只能根據(jù)各種假設將其簡 化為便于求解的方程組，極大的限制了它的使川。只是到了墩近的5 0 年，隨著高性能計 算機硬 - 1 二以及軟什的發(fā)展，對完爛的n a v ie r l fr k o s 方程組的求解力變?yōu)榭赡堋?塒海太學般l - 學位論z列鼬二維承漉數(shù)值模擬 有限差分法和有限單元法是求解偏微分方程的主要方法，但有限差分法多用于規(guī)則 幾何區(qū)域的流體問題，在河道這種不規(guī)則區(qū)域的應用中受到限制。有限單元法在處理不規(guī) 則邊界方面顯示出了極大的優(yōu)勢。但對于河道水流運動來說，有限差分法在計算方法、計 算技巧方面比有限單元法成熟許多。因此如何采用有限差分法處理復雜幾何區(qū)域成為眾多 學者研究的重點。 1 2 1 正交貼體坐標的形成與發(fā)展 很多流場的計算方法都對網格的正交性提出了較苛刻的要求。如有限分析法、s i m p l e 法等較成熟的方法，雖然能對對流項進行很好的模擬。計算精度很高，對各種復雜流動的 適應性也很強但是這些方法都要求網格是正交的，否則會給計算精度造成很大的影響。 所以構造能適應復熱幾何邊界的貼體f 交網格是現(xiàn)有差分算法成功與否的關鍵。 目前應用最廣的是2 0 世紀7 0 年代中期t h o m p s o n 等“3 提出的橢圓型方程法。該方法應 用l a p l a c e 方程或p o is s o n 方程進行坐標變換，將物理區(qū)域變換為計算區(qū)域，計算區(qū)域上 的直角正交網格和物理區(qū)域上的曲線正交網格一一對應。利用差分法在計算區(qū)域內劃分的 網格上求解物理區(qū)域的正交網格點坐標，所生成的貼體網格貼體性好，網格線光滑，而且 用p o i s s o n 方程生成的貼體坐標網格疏密可調，生成的網格滿足了水流計算的要求，為了 快速準確的生成正交貼體坐標系國內外許多學者進行了獨到的研究。魯守華。1 提出的變 換計算平面網格長寬的方法解決了復雜物理邊界形狀下的緊密貼體問題，所采用的方法適 用于單連通區(qū)域和多連通區(qū)域。程文輝、王船海。1 采用固定計算區(qū)域網格長寬的方法對 p o i s s o b 方程進行離散，通過選取適當?shù)氖湛s因子促使變換網格i f 交，對于邊界條件選取 造成正交變換不能達到滿意效果的問題，提出了“滑移邊界”的方法，加快了網格的收斂 以及角度的正交性。余利仁“通過在任意一組鄰邊上預先指定邊界網格點，通過調整計算 區(qū)域網格長寬的方法獲得正交曲線網格的解。 由于對l a p l a c e 方程或p o i s s o n 方程進行坐標變換所得到的計算區(qū)域內的控制方程是 非線性的，而且差分法處理第二類邊界條件很困難雕以通過常規(guī)的有限差分法構造出滿 意的正交貼體坐標網格，為了解決這個問題，劉順隆，鄭洪套等1 利用有限元素法對l a p l a c e 方程在物理區(qū)域內直接進行求解，然后用尋找等值線的方法在物：哩區(qū)域內直接生成正交帖 體坐標網格，并通過等值線l 白j 隔的調整來調恕網格的疏密。為了生成j 下交網格的精度高， 速度快，國內外還有很多學者做 = l ：5 了貢獻。g u p t a “”以及b e l l t l ：n 提出了求解p o i s s o n 方程 的雙調和方程法，齊學義3 通過求解耦合的l a p l a c e 方程及p o is s o n 方程得到了雙調和方 程的數(shù)值解：同樣采用十三點有限差分格式也得到了雙調和方程的解。 1 2 2 二維數(shù)值方法的形成與發(fā)展 n a v i e r s t o c k e s 方程組是三維的偏微分方程組，簽于天然河道山于其深度與廣度相比 較起來很小，水流：狀況在深度方向的變化率遠較j 。度方向的變化率小，故可以采用深度方 辯齲絎論 向均化的方法水簡化n a vie f s t o c k e s 方程組，由此產生平面二維淺水運動方程。關于平 面二維非恒定流的研究已經有相當長的歷史，國內外的許多專家和學者做出了大量的研究 成果。a b b o t t ( 1 9 7 9 ) 及s t e l l i n g ”( 1 9 8 4 ) 曾對平面二維淺水方程作出了仔細的分析，更有 l e e n d e r t s e s 將有限差分法以及a d i 法成功地應用于河口與海岸的平面二維，三維的水力 學模型中隨后p a t a n k a r 雨is p a l d jn “”提出了s i m p l e 算法，該方法現(xiàn)在被廣泛地應用于 不可壓縮流體的流動數(shù)值模擬。在此基礎上有了進一步的改進，主要有s i m p l e r “7 1 算法、 s i m p l e c “”算法、s i m p l e x “”1 算法和s i m p l e 蚰”算法等，這些模型都成功的應用于速度 勢耦合的流場模擬，深度均化的淺水流動模型足在靜壓下導出的，故一般流體模型中的速 度勢耦合的問題也就轉化成了速度水深的耦合”。h o t t m “”采用“逆風”格式離 散平面淺水波的守恒型方程進行水流模擬計算。王船海、程文輝。6 。”提出了天然河道非恒 定流場的通用數(shù)學模型，采用正交曲線擬合坐標來克服天然河道復雜的邊界給有限差分帶 來的困難，冗服了天然河道邊界形狀復雜，長寬尺度相差懸殊等問題，采用露灘處理方法 一“凍結法”，在計算過程中對“動邊界”進行追蹤，確定非恒定流時因水位引起的計算 區(qū)域的變化，從而解決了由水位波動引起的計算邊界變化等困難，并采用全隱式方法離敝 計算，極大地克服了分裂法時問步長的限制。周建軍、林秉南和王連祥?！睉闷崎_算子法 原理，將平面二維非恒定流方程按不同的物理意義破開成對流、擴散和傳播三個子方程， 對對流方程，采用特征線的迭代解法，對擴散和傳播方程，引入有限差分法求解，用“動 邊界”技術追蹤在非恒定流時因水位的變化而引起的計算區(qū)域邊界的變化。大連理工大學 吳修廣、沈永明”等采用l a p l a c e 方程坐標變換方法生成正交曲線網格，并對淺水流動的 控制方程進行坐標變化，方程離散時采用b 型交錯網格。方春明“”針對河道平面形狀窄長 的特點采用全隱式差分法求解河道平面二維恒定水流運動方程。劉曉東、華祖林和趙玉 萍“”建立了基于四漢樹網格的二維水流數(shù)學模型，控制方程采用有限體積法對守恒變量進 行離散，應用g o d u n o v 型通量差分格式計算邊界上的法向數(shù)值通量。李光熾、周晶晏和張 貴壽?！痹谟脭?shù)值模擬方法研究高樁碼頭對河道流場影響的基礎上，為確保流場模擬精度， 采用正交邊界擬合坐標變換，應用二維全隱式耦合聯(lián)解模型離散控制方程，利用矩陣追趕 法求解代數(shù)方程；同時引入過水率和修正糙率的概念，并提出了問接等效模擬高樁碼頭對 流場影響的方法。鄧家泉?！币詁 g k 波爾茲曼方程為基本方程利用有限體積法，建立了滿 足熵原理的二維明渠非恒定水流的b g k 數(shù)值模型。胡四一、譚維炎洶1 提出在無結構網格上 建立有限體積高性能格式族的統(tǒng)一框架，通過引入跨單元界面法向數(shù)值通量的“逆風”解 法，將一維o s h e r 、t v d 兩種通量分裂格式自然地推廣至二維淺水方程組。王如云、張東 生、張k 寬和朱壽峰”針對水動力學中的涌波現(xiàn)象導出二維曲線坐標系下的守恒型方程， 然后利用算子分裂法和1 、v d 差分格式思想構造出計算格式，在此基礎上建立起由實際流場 域至方_ l ；汁算區(qū)域的全局同艇映射，對急流過縮窄河道產生的淌波結構進行數(shù)值模擬。邵 頌東、1 蔓光謙和贊彈俊。“1 在分析總結有關1 e 法，m a c 法及p j c 法等優(yōu)越性的基礎上，建立 沁海犬學碳 ? 學也論史銣 畸二橥承詭數(shù)位接拙 了適合于計算類似分洪區(qū)水流運動的平面二維l e 法的數(shù)學模型。程永光、索麗生?！备鶕?jù) 二維淺水波方程的特點應用由b o l t z m a n n 方程展開的多尺度方程，建立了一個能模擬二 維明渠非恒定流的格子b o l t z m a n n 模型。魏文禮、沈永明”4 1 等采用基于m a c c o r m a c k 預測一 校正技術的隱式數(shù)值格式，求解控制水流運動的二二維淺水方程，建立了模擬大壩瞬間全潰 或局部潰倒所致的洪水演進進程數(shù)學模型。 1 3 一二維耦合及全河網二維水流模擬的發(fā)展 由于關注重點區(qū)域的需要，全河網一維嵌套局部二維的一二維水動力耦合的水流模式 逐漸為學者們所關注。目前一、二維模型耦合求解方法有兩種：將一、二維模型區(qū)域延 長一段重疊段求解”“”。：無需延長一段重疊段，在耦合模型連接斷面處，根據(jù)水位、 流量相同的條件求解?！薄榜Z。后一種方法相對前一種方法更嚴格、合理。徐祖信、尹海 龍“”采用有限元法研究平原感潮河網地區(qū)一維、二維水動力耦合模型，該方法對求解單一 河道以及一二維耦臺問題的時候有其特點，對彎曲的河道適應性較強，但是對于二維的河 網區(qū)域，有限元處理河道銜接處有相當?shù)睦щy。諸裕良、嚴以新。在一維顯式、二維隱式 水動力聯(lián)網數(shù)學模型 ! l 勺基礎上，建立了一種一維、二維全隱河網海灣水動力聯(lián)網數(shù)學模型， 該一維河網模型采用p r e i s s m a n n 四點隱式格式，用節(jié)點水位控制法進行數(shù)值計算，二維海 灣模型采用改進型雙向隱式( d s i ) 法進行數(shù)值求解。在河口一維、二維連接處，水力因子 通過接口斷而法傳遞，無需重疊個一維河段來傳遞水力因子避免了口門處二維網格需 取較小尺度的問題。賴錫軍，汪德爛采用時刪滯后條件，構造了虛擬的重疊計算水域， 利用重疊投影法，在連接處建立一、二維耦合模型實現(xiàn)了由一維計算水域向二維計算 水域的準確過度。 全河網二維的研究目前較少，關于河舾二維方麗的論述多見于多江心洲引起的漢道、 河口以及多島嶼造成的多連通區(qū)域的處理。李浩麟”1 根據(jù)迦略金加權剩余原理，推導了河 口不恒定流有限元數(shù)值計算模式，在窄帕j 方麗采用二結點線性單元，在時間方面采用加權 隱差分格式，對汊道及網河采用分級計算，可將一個大型代數(shù)方程組簡化為僅包含漢口水 位的小型代數(shù)方程組求解。王震、張二駿”1 1 采用修正的正交貼體坐標系下平面二維水流方 程對多連通河道進行= 維模擬，取得了良好的效果。楊勝發(fā)等建立了水流運動二維數(shù)學 模型，給出了處理分漢河道復雜邊界的方法。王船海、李光熾等”應用“矩陣追趕法”和 “非線性二維潮流模型”等求解方法，很好地模擬了閩江河口復雜的潮流場，計算時間步 長可長達十分鐘。該數(shù)學模型已在閩江口等多個r 程中得到應用，效果良好。 1 4 現(xiàn)有方法的不足 當前二維交漢 1 i j 逍的處冀h 辦法末嬰有有限元法剌有i 蜓羞分法。有限元法在求解單一河 靖一常緒論 道以及一二維耦合問題的時候有其特點，對彎曲的河道適應性較強，但是對于二維的河網 區(qū)域，有限元由于在處理河道銜接處有相當?shù)睦щy，所以很難適應大范圍河網的二維求解。 通常的有限差分法計算的方法又分為a d i 法、s i m p l e 算法以及算子分裂法等，多用于處理 河口問題。而且這些方法的缺點是明顯的： 傳統(tǒng)的a d i 法，對于河道型計算區(qū)域，因為模擬精度的需求，一般采用的網格步長較 小，由于“軸化現(xiàn)象”的限制。相應采用的時間步長也很短，需要很多的計算機時， 效率不高。 s i m p l e 算法通過主河道計算的結果給支流提供計算邊界，然后支流單獨計算，得到的 結果又給主河道提供邊界，在一個時間步長內反復迭代，直到收斂，然后計算下一時 間步。此方法對未知邊界的內河網不能計算因為主河道不能按照單一的河道來處理， 不能計算出各條支流河道的邊界條件迭代過程不能構建，另外，這種方法應用在長 河段時的工作量是不可想象的。而且s i m p l 。e 必須首先給出己知的控制條件，而對于河 網這種內邊界未知的情形有一定的難度。 算子分裂法采用顯隱交替的方法計算，在顯式的部分仍然采用a d i 法，這種方法雖然 在精度上較傳統(tǒng)的a d i 法有所提高，但仍然受到“軸化現(xiàn)象”及算子分裂誤差”1 的限 制，計算步長很短，效率低。 目前有很多一二維算法不能實行耦合的求解。一般先用一維的方法模擬全部河網，通 過參數(shù)的率定，得出較好的模擬結果。然后對局部區(qū)域進行二維模擬，所用的邊界條 件由一維計算所得的結果提供。該種方法沒有真正實現(xiàn)一河網二維求解的聯(lián)動，影響 是單方面的，二維計算不能對一維模擬產生任何影響。也有一些算法實現(xiàn)了一二維隱 式的連接，這些方法大多也不具各通用性，不能用一個統(tǒng)一的算法來實現(xiàn)全流域方便 的一= 維耦合。 目前大多數(shù)二維算法都是針對具體工程問題而研制，且大都是在給定實測邊界的條件 下求解，不便于與大范圍一維河網的求解耦合，不具備通用性。而且計算的區(qū)域有限， 對于流域的二維模擬不太適用。 流域河網二維目前研究得不多，大多數(shù)以漢道方式、河口方式或者一條河道中呈現(xiàn)多 連通區(qū)域的方式來表現(xiàn)多條二維河道之間的關聯(lián)。這些方法中有一個共同的欠缺：關 注的區(qū)域小，故采用的方法也是局部性的。常見的有河道中大的江心洲采用露濰處理， 這種方法對于小的島嶼尚且適用，但對于大的島嶼會造成計算機存儲空間浪費，河道 分漢口模擬精度不足等問題，對于河道二維之間的銜接采用露灘處理更不現(xiàn)實，將造 成巨大的計算機內存消耗造成汁算不能進行。 1 5 本文研究的方法與內容 理淪分擴與數(shù)值計算是l - i j 進 j ：水流運動分析的0 i 瓔手段，陋糟研究的深入和問題本 州海 學瑚ir 學垃論| 州鼬二二維出溉數(shù)氌接越 身的復雜性，純粹的理論研究受到了他足的限制。2 0 世紀7 0 年代以來，隨著計算機性能的 大幅度提高以及計算方法的迅速發(fā)聰，數(shù)值計算逐漸成為研究流體的一利，重要手段，而且 數(shù)值計算的州操作陀強，迷皮伙，運用經贊少，便于優(yōu)化，運行弈易控制，尤其在規(guī)劃問 題巾舊優(yōu)勢業(yè)足物j l i l 7 i = 驗無法比擬的。水文旨存建奇：一個迎川的_ 7 i l 嘲：維計算模型，通過 該模型的建立，到。以方便的進行大型河劂的一二維槲合求解以及全流域型河網二維的求 解。本文的j i 要研究內容如下： 簡要地回顧了一二維水流數(shù)值模擬的歷史過程，對現(xiàn)有的方法進行了簡單的分析和總 結。 洋細的介紹了河道維汁算中他用的詐交貼體坐標系的矬立辦法證明了f 交因子選 取的辦法，給出了詳細的計算過程，并給出了在浚方法下舊個實例。 結合第步中的幣交貼體啦標系的變換，給出在正交貼體坐標下的平而二維淺水方程 的變換形式。受一繼河網計算模式的肩發(fā)，列實際的河網進行一維單元劃分，提出河 網二維模型建立的! 出術心路。 分別對中提出的單一河道單元、“樹狀”河道單元、“環(huán)：扶”河道單元進行了詳細 的分析，著重對這三種基本河網類型的求解力法進行了闌述，得到了類似一維河網的 節(jié)點水位控制方程實現(xiàn)流域型河網二：維的求解。 闡述基本河網的組合方式實現(xiàn)了一河網二維的耦合以及全流域河網二維求解模型。 2 1 概述 第二章曲線正交網格變換與水流控制方程 有限差分法是數(shù)值模擬中最原始的方法，它的原理簡j ! 1 l ，運算方便，為眾多學者所推 崇，是現(xiàn)在水流數(shù)值模擬中應用最為j “泛的方法。笛卡爾坐標系下的有限差分方法，由于 采用矩形邊界的網格計算區(qū)域，在與實際河道擬合的時候不得不將實際邊界概化成鋸齒形 邊界，與實際河道邊界相去甚遠，嚴重地影響了計算精度。為此，多年來人們一直試圖探 索其他可以克服上述缺陷的方法如采用有限單元法，準分析法等等，但是這些方法又帶 來一些其他缺陷，或是運算過于繁冗，穩(wěn)定性較差；或是在邊界條件擬合方面存在不確定 因素，特別是在流場計算中不能適應，限制了應用的可能。 貼體坐標法是7 0 年代由t h o m p s o n 等”1 人提出的一種數(shù)值計算方法，它以在計算區(qū)域 邊界上的坐標線與邊界線密切貼合為坐標系的建立原則，同時網格的實際尺寸可按需要加 以變化，從而克服了笛卡爾坐標系下有限差分法和有限單元法的缺陷獲得了廣泛的應用。 2 2p o s s i o n 方程的構造 貼體坐標法的主要原理是通過p o s s i o n 方程的求解，設( 工，y ) 為物理平面上的二維笛卡 爾坐標系，( 亭， 7 ) 為計算平面上的真角坐標系，通過p o s s i o n 變換，希望尋求物理平面z y 到投影平面毒一7 的坐標變換也即 亭= 亭【z ，y ) ，o1 、 叩。叩& ，y ) uu 根據(jù)共軛函數(shù)的性質，當亭，町為一對共軛函數(shù)時，其對應的x ，y 曲線為物理平面上的 等值線簇，并目x ，y 曲線彼此相互f 交。變換示意如圖2 1 。 叫鋒大學鼬。 掌t 丑l 龜?shù)斐备纫痪S水流數(shù)值按擬 ；一1 投影坐標平面 圖2 - i坐標變換示意圖 要使亭：；( 一，y ) ，叩= ( ：y ) 為一對共軛函數(shù)，需要滿足柯西黎曼條件 a 占 缸 a | 卻 a 妙 a ，7 以 一= i = ；“，y l _ = ( x ，y ) 的逆變換，lj 以得到 x ；( ，) j ，= ) ，( ，) 將( 2 一1 ) 叫；訛，l 時；求甘，( ! 一： ) i i ，訛- 刈| 之導然j l i l 跗式相減得 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 蚺一：帚 曲線正交i 叫格變換與水流掛制方程 墮翌一塑堡；0 8 ya a x 明 又i = l = | ( 2 - 2 ) 式代入( 2 - 4 ) 式并消元得( 同理得到第二式) d y d 亭 妙 a ” 缸 a ” 缸 a 亭 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 由( 2 - 5 ) 式可以得出，如果占= 亭0 ，y l 叩= b ，y ) 滿足共軛條件，那么其逆變換 x ；工倍，7 1 ) ，一y ( 亭，叼) 也滿足共軛條件。 在平面二維水流運動中由流函數(shù)和勢函數(shù)的性質，它t l q 必, 定滿足柯西一黎曼條件， 流函數(shù)與勢函數(shù)正交。在恒定、有壓、摩阻比降占優(yōu)、忽略對流作用等條件下水流運動方 程為： “r 。一三塑( 2 6 1 ) pd z v r 。一土塑 ( 2 6 2 ) p 砂 一o ( h u ) + 型。o ( 2 - 6 - 3 ) 扛 吵 。z 、廳了 ，= p 一 其中：h ”，表示摩阻系數(shù)：目。昭z 顯然這里叩表示勢函數(shù)，表達為 z ，y 的函數(shù)叩0 ，y ) ，設亭0 ，y ) 表示流函數(shù)，由流函數(shù)的性質有： “：三墮( 2 7 1 ) ha v 。一三墮 ( 2 7 2 ) 將方程( 2 - 6 1 ) 、( 2 - 6 - 2 ) 代入( 2 - 6 3 ) 得到： 瓣卦旦o y f k 皇r 塑o y ) 1 = 。 ( 2 _ s ) 將方程( 2 7 1 ) 、( 2 - 7 2 ) 代入( 2 - 6 1 ) 、( 2 - 6 2 ) 并結合( 2 - 2 ) 消去叩得到： ! 絲：壘：耋絲! 耋絲堡! ： 些! ! = ：型竺絲絲絲堡型 面( i r 篙) + 殺( ；豢) 2 。 方程( 2 - 8 ) 、( 2 - 9 ) 眨j 川等價0 二： 垂+ 冀。尸( 馴 獻。d v 。 粵+ 2 ；q ( 渤) 缸d v 。 ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 嘶，) ；一蕓觸，伽) 一萼o y 瓢o y 訓 帆艤 q ( 勘) = 一票( h ，) 一7 叼yt 。y l n ( r ) d xd 該方程即是流函數(shù)和勢函數(shù)應該滿足的p o js s o i 方程，其定解條件為d i r i c h l e t 條件： 州赫) i z ，) 俾( z ，y ) 【，7j = i 叩j 1 剛刪x , y ) b ，y ) e r , ( x ，y ) e r , ( y ) e f 2 b ，y ) e f 4 亭= 1 ， = n t _ ；1 ，v 。m 這四條等值線即為圖。o - - l 一中；一q 平面上的四條邊界 耳，e ，er 一，他們分別與。一y 平面上的四條邊界r j ，r ，l ，l 對應。方程( 2 一l o ) 的 逆變換方程的觶必將是。一y 平而上組相互證交的流線和等勢線簇。對方程( 2 - 1 ) 的兩個 等式兩邊求s 的導數(shù)： f l 。墮皇+ 墮盟 j 孤。 砂。5 ( 2 _ 1 1 )1 ， i f l - 塑堡+ 塑盟 j 研a 宇 妙a 喜 對方烈( 2 一1 ) 的心個等式兩邊求，7 的導數(shù)： ( 1 2 塑叻苦叻雒一妙叻一觸 十 + 塑叻堡如 墮缸叻i 1 | = o 0 絲三至些璧垂至豎絲蘭堡蘭查堡堡型至堡 聯(lián)立( 2 - 11 ) 、( 2 - 1 2 ) 求解得關系式 d 亭 1a y mja ” a 1 缸 酚 ja q a ”1o y 缸ja 毒 o r 1a x a y ja 將( 2 - 1 3 ) 代入( 2 - 1 0 ) 得到逆變換方程 ( 2 1 3 ) 口孑62 x 卅_ 面02 x + r 嘉噍a x + q 計。 。， 口魯聊高+ r 等噍+ q 卦。 其中：口；工；+ y ；，y 。工；+ y ；，盧。工 工。+ y f y 。，= 上 y 。一上。兒。因亭，”正交，所 以盧口0 。相應的定解d i r i c h l e t 條件為 f x f 工( 宇= 1 ，叩) 【y jj 【y 。( 亭= 1 ，7 ) j f 石1f 屯括t ，叩) 1 i y 。 = 帥) j f 工：( 亭，叩= 1 ) 1 口i _ ) ，：( 亭，叩= 1 ) j f x t ( 宇，_ = m ) 2 鋤= 肘) j 另外由( 2 - 6 一1 ) 2 + ( 2 - 6 2 ) 2 可以得到 帆v 2 ) ；土p ： 、o x 餅1 由( 2 - 7 1 ) 3 + ( z 一7 2 ) 2 可以得到 一31 2 + v 2 ) ；2 + 由舨i 了可幣面可以得出 r r 1 r e 芋e 一 ( 2 1 6 ) 羽海 學欲l 學他淪t t q 秘t t a 洗數(shù)值摸拙 7 墮1 _ + f 墮1 _ 、甜l 咖j匾 c 2 = 2 = = = 2 d 一+ 為了訓算簡便叉h i 失一般性，墩 = ，7 = 1t 并 r i 。g ；= ( 2 一i7 ) + 斟 g 。= 麗分別表示x 一，平而上線嘲格的長和寬，這樣就將只q 中與速度相 關的量生表示成了與網 并【垂寬的比例簡便了汁算過程。l 述方程( 2 一j4 ) 的解即為亭，_ 平 r 面上網格點點( ；，7 。) 列應的x ，y 平面上的網格點( j ，y ) 。 2 3 方程的求解 方程( 2 15 ) 是非線性方程目前只能通過數(shù)值離敞的方法求斛，采用有限差分法，通 過迭代求取最終的結果。對于固定邊界的坐標變換是一次性的。 2 4 網格計算實例 在g i s 界麗上首先用三】三：l ! 編輯斷謝，插入相應的垂線，通過t t g i i ；f n 垂線的交點得到初 始值，然后通過公式( 2 1 ，i ) 迭代求解，直到達到每個網格的f 變角度都在8 7 9 2 之問即 可。如圖2 2 為沒有變換的初始嘲格，圖2 一：j 為變換后的證交嘲格，i = | = | 圖形的對照可以看 出上述變換公式在處瓔的時候是非常有效的。 網格變投完成后，依據(jù)g s 的功能，用網格所在區(qū)域的敝點生成d c l a u n a y 三角網，然 后用f 交曲線網格節(jié)點在三角網上插值得到網格點的高程。 簍；耋塑塑蔞奎堅絲竺堡：查絲堡型查些 圖2 - 2 網格變換前 圈2 - 3 網格變換后 洲海太學頎l 學位論丑 弘l 溉二維水濺數(shù)值接拙 2 5 基本水流控制方程 根據(jù)基本物理。、產原衛(wèi)i ! ：質撾j 】匭以及動量j 。吐定理，推導出水力學基本控制方程 n s 方程。為了滿足計算區(qū)域內質量守恒以及動奄守恒，本淪文擬采用守恒型平面二維 淺水動力學方程作為控制方程。天然河道由于其深度與廣度相比較小，水流狀況在深度方 向的變化率遠較廣度方向的變化率小，所以對本方程的建立做了三點假設：假定壓力沿 水深方向符合靜水e 【三力分布：忽略風成應力；不考慮水深方向的有效切應力，沿垂線 方向流速平均。將平麗筒卡爾嫩標系中的方程轉化成亭一，7 坐標系中的方程，取等間距的 a 亭； a , 7 ，在很大程度上簡化了萬程的離散計算過程。 綜合上述分1 1 i _ 和假定，得出笛卡爾坐標系下的二維淺水動力學方程為 葩o u hd 此 i + i + i 29 i o u + “i o u + v 熹+ g 嘗+ g 笠號茅“一聲= 去( t 嘗) + 專( b 絲a y ) ( 2 _ 1 8 ) i 州i w 萬+ g i + g i 萬一爐p2 i 忙，i j + 萬忙，一j 瞄叫w j o v 7 + “o v o x + v 7 8 ；y ”+ 占：i + g 翌：! ：；蘭v + f u = j o 生x ( ，嘗) + 專( ，詈) i 一w + 占萬+ g i r v + 一。i ) + 萬，面 式中：h 、p 分別為z 、y 方向的垂線平均流速：z 為水位：h 為水深，h = z z d ，z d 為河底高程：，為柯氏力系數(shù)；，e 。分別為y 方向的紊動粘啦系數(shù)，q 為包括取排水 在內的源項。 2 6 正交曲線坐標下的方程 標記 一，7 坐標系下的沿等黜和等_ 線速度分別用“。，v ，表示。在z y 坐標系下， “，v ，“。，v 的相互關系如圖2 4 所示： 竺三霎些絲里圣竺絲苧堡蘭查堡絲型至堡： ：一： 圖2 - 4 x y 坐標系中速度關系示意圖 依照向量之間的關系，“的大小應該是“，v 在向量b f g ，y f g ) 上的投影之和，也 即( 同理可得v ) ： i 阻v , 端黢g 蘇g 燃槲g 黔壇g 塵愛端，。， = 0 ，o ) & 。，y ，) + ( 0 ，v ) 仁。，y 。) 一k 。+ w ，) g 。 怕1 w 將( 2 2 0 ) 代入到( 2 - 1 8 ) 中，得到計算平面下的方程 ( 2 - 2 0 ) 瓣融“一) + 私啪爐 韭+ 嘗等+ i v 面o u + 了u v 百a g ；一手2 魯+ g l l2 u 可?？竧 l , 2 - i 一- v , 2 0 t一一+ 砉g 考=g ! a gh 嘲j 吶 j a 崩。t a g 古專( ；爿) 一古南忙) 監(jiān)+囂等+曇竺+些等一孚等+學+fv+gg。ozat gg 8 1 1 ji = sah a j a u h g4d n 古南缸爿) 一i i 面0 ( 口) 一 埯一 m一主|一挑 v y u x 曩篙一蜘一胤墜兒豎以， 9 皇 ； 2 r，【 (解求 j 一* 手 j 。g - ) + j 號卜s ；) 】。一。， 舊融引一融g 叫 面積b 2 ) ，e ，e ，分別為x ：y 方向的紊動粘性系數(shù)通過正交變換，把原來在x - y 坐標系 統(tǒng)中利用方程( 2 1 8 ) 求解變量z ，“，v 變?yōu)樵谕ひ贿底鴺讼到y(tǒng)中利用方程( 2 - 2 1 ) 求解 z “，v 。 2 7 小結 通過正交曲線網格變換，能夠得到與實際河道邊界擬合的相當好的計算網格，與笛卡 爾坐標系下的直角f 交網格相比，極大地節(jié)省了存儲空間，提高了計算精度，是一個切實 有效的方法。通過這種f 交變換，可以將不規(guī)則的物理區(qū)域轉化為規(guī)則的計算區(qū)域，相應 的水流控* - i 。n 也變換為計算區(qū)域下的方程，這種變換極大地方便了采用有限差分法對水 流方程的離散，山此保證了高精度的計算方法不會因為網格的詎交性而受到影響。 第三啦城域 i , 1 1 , 4 維汁鮒_ | ! c l j 哪肝究 第三章基于流域動力模型的河網二維計算模式研究 3 1 概述 河網水流模擬一直是眾多學者研究的重點。目前河網計算中多采用一維水流模擬，模 擬的方法已經非常成熟。對于河網二維的模擬相對比較少，有的也僅限于一個小范圍內的 漢道或者多連通區(qū)域的求解對于大范圍內的河網二維或者對任意區(qū)域的一二維耦合求解 尚沒有成熟的方法。本文擬針對上述需求提出一種求解大范圍河網二維的方法，該方法 也能適應任意區(qū)域的二維耦舍求解及流域級的河網二維求解。 3 2 流域洪水演進模型的思路 流域洪水演進模擬可以分解為基本對象洪水演進模擬，流域基本對象洪水演進模擬可 以分解為基本元素洪水演迸模擬。把流域看作由流域的基本對象組成，分析建立流域基本 對象的模擬模型，由一系列基本對象的模擬模型可以組合構造任何一個自然流域洪水模 型，從而實現(xiàn)了流域洪水演進模型的通用化。從現(xiàn)實世界出發(fā)，流域可分解為蓄洪區(qū)、河 道、行洪區(qū)、閘、口門等；從抽象世界出發(fā)，流域可分解為零維區(qū)域、一維區(qū)域、二維區(qū) 域、聯(lián)系要索等流域動力要素劃分示意圖如圖3 - 1 。 構造流域洪水演進模型通用算法的關鍵技術是：( a ) 構造各種對象的耦合結構，使結 構具有方便、靈活、容易增加或減少的特點，不會影響計算的編程，有可能形成通用的解法； ( b ) 計算工作量的協(xié)調和處理，應具有高效的算法，使解法具有足夠的速度對模型的干預做 出反應，使模型能達到實時響應的要求：( c ) 數(shù)值求解的問題歸結于高階稀疏矩陣的求解 方法、方程的形成、系數(shù)的存儲、求解的過程等應盡可能做到通用，具有普遍的適應性。 3 2 1 基本對緣模擬 零維區(qū)域模擬：5 f 原流域的湖蕩、水塘和莆洪區(qū)等處有較大的水兩，把這些水面歸結 于某些：肖點上，認y , j 這些節(jié)點是可調蓄節(jié)點，調蓄面積為水面麗積a ；。利用水量平衡原理 可得【4 6 】： q = 爿，( z ) z - f z o ( 3 - 1 ) 絲型絲絲絲些二一一： 些絲絲絲 圖3 - i 流域動力要素劃分示意圖 一維水流漠擬：描述一維河道水流運動的基本方程為圣維南方程組 b 絲+ 塑：口 o t o x 1 一a q + d ( c t q z + 鰣i o z + 鰣警叫 2 考慮全流域隱式求解的需要，對本方程進行隱式求解，最終得出一維河道首、末斷面 的流量表示為首、末節(jié)點水位的線性函數(shù)，表達方式如下【4 6 】： 群若+ r 麓z ：麓z 。， i q 如= 吼! 以+ 邑：乩 7 聯(lián)系要爭水流模擬：堰閘水流最終的方程也可以表達成聯(lián)系要素首末斷面水位的關 這里對基本的g 閘過流公式是做了線性化處理，見文獻 4 6 ： o = q ( z 。- z 。)( 3 4 ) 二維行7 j ：區(qū)：行洪區(qū)內部單元間的水量交換、二維單元與其它節(jié)點間的交換是通過二 維方程求解j 實現(xiàn)的。行洪區(qū)與其他要素的關聯(lián)是通過聯(lián)系要素實現(xiàn)的。行洪區(qū)的邊界流 量水位方程n ：寫如下【4 6 】： q = a ，z 。+ 盧。z 。+ k( 3 - 5 ) 笫蘭帝 流域州一維計算模式研究 3 2 2 ：m _ 力1 榭的建立 前而分析得到了河道斷面水位、流量與相應河道酋、術節(jié)點水位的線性函數(shù)關系、聯(lián) 系要素的流量與所連接的節(jié)點水位的線性關系以及二維行洪區(qū)內相鄰單元之間的交換流 量與相應節(jié)點水位的線性關系。這些函數(shù)關系通稱為