p r e - k r u l 整環(huán)理論 研究生李慶 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師王芳貴( 教授) 論文摘要：本文主要運(yùn)用星型算子來(lái)刻畫p r e k r u l l 整環(huán)首先，討論了p r e k r u l l 整 環(huán)與幾類主要整環(huán)之間的關(guān)系證明了圮睦具有有限特征且滿足局部主理 想升鏈條件的p r e k r u l l 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)尼黽k r u l l 整環(huán)同時(shí)給出若整環(huán)r 的每 個(gè)擴(kuò)環(huán)都是p r e k r u l l 整環(huán)且不是域，則兄黽廣義d e d e k i n d 整環(huán)也是p r f i f e r 整 環(huán)以及在p r m k r u l l 整環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的分式環(huán)仍是p r e - k r u l l 整環(huán)的條件下， p r e k r u l l 整環(huán)的每個(gè)t l i n k e d 擴(kuò)環(huán)仍然是p r e - k r u l l 整環(huán)也證明t p r e k r u l l 整 環(huán)在素口一理想局部化之后是離散賦值環(huán)此外，給出了若p 是兄1 的任 意u t z ，有尸_ 1 r x 1 ，r 的整閉包兄是p r i i f e r 整環(huán)，則r 是u m v 整環(huán)其 次討論了p r e - k r u l l 整環(huán)和u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其w 一維數(shù)關(guān)系證明 了尼是p r e k r u l l 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)r k 墨h 是p r e k r u l l 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)冗 咒) m ，是 廣義d e d e k i n d 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)r k k ) t 是偽主理想整環(huán)同時(shí)給出r 在滿足性 質(zhì)( p ) 的條件下，若r 是p r e - k r u l l 整環(huán)，則r 】1 ，也是p r e k r u l l 整環(huán)并且證明了 若尼黽u m t 整環(huán)，則叫一d i m r = w d i m ( r ) 最后，在群環(huán)中刻畫了u m t 整 環(huán)、p v m d 以及p r e k r u i l 整環(huán)給出若尼黽u m t 整環(huán)，則r ；g 1 是u m t 整環(huán) 證明了r 是p v m d 當(dāng)且僅當(dāng)_ r x ；g 1 是p v m d 當(dāng)且僅當(dāng)r x ；g 1 是p v m d 同時(shí)給出r 是p r e k r u l l 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)r ；g n o 是p r e k r u l l 整環(huán)并且證明了 當(dāng)兄是u m t 整環(huán)時(shí)，w d i m r = w d i r e r x ；g | 關(guān)鍵詞：u 一理想；容度；w 一維數(shù)；p r e - k r u l l 整環(huán)；u m t 整環(huán)；多項(xiàng)式環(huán) 第i 頁(yè)，共3 7 頁(yè) t h e t h e o r y o f p r e - k r u l ld o m a i n s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：l iq i n g s u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u i a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ec h a r a c t e r i z ep r e k r u l ld o m a i n sb yu s i n gg e n e r a l s t a ro p e r a t i o n s f i r s t l y , w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np r e k r u l ld o m a i n s a n ds e v e r a lo t h e ri m p o r t a n td o m a i n s ，ep r o v et h a tr i sap r e k r u l ld o m a i n o ff i n i t ec h a r a c t e rs a t i s f y i n ga s c e n d i n gc h a i nc o n d i t i o n so v e rp r i n c i p a li d e a l so f t h el o e a l i z a t i o no fri fa n do n l yi fri 8ak r u l ld o r a a i n w ja l s os h o wt h a tc a c h o v e r r i n go fr i sap r e k r u l ld o m a i n ，t h e nri sag e n e r a l i z e dd e d e k i n dd o m a i n a n dp r i i f e rd o m a i n a n dw ei n d i c a t et h a te a c ht - l i n k e do v e r r i n go fap r e - k r u l l d o m a i ni sa l s oap r e k r u l ld o m a i ni ft h eq u o t i e n tr i n go ft h ep o l y n o m i a ld o m a i n o v e rap r e k r u l ld o m a i ni sap r e k r u l ld o m a i n m o r e o v e r 、w ea l s oi n d i c a t et h a t t h el o c a l i z a t i o no fap r e k r u l ld o m a i na tap r i m ev - i d e a li sad i s c r e t ev a l u a t i o n d o m a i n b e s i d e s w ep r o v et h a tt h ei n t e g r a lc l o s u r er 。o fri sap r i i f e rd o r a a i n w i t hp - 1 r i x lf o ra n yf r a c t i o n a li d e a lpo fu t z ( r ) ，t h e nr i sau m v d o m a i n s e c o n d l y ，w es t u d yt h ep o l y n o m i a ld o m a i n sa n dw d i m e n s i o na b o u t p r e k r u l ld o m a i n sa n du m t d o m a i n s w ep r o v et h a tri 8ap r e k r u l ld o m a i n i fa n do n l yi f r ) i sap r e 。k r u l ld o m a i n ，i fa n do n l yi f 兄【 墨 肌i s a g e n e r a l i z e dd e d e k i n dd o m a i n ，a n d i fa n d o n l yi f 剮 咒洲帆i s a p s e u d o - p r i n c i p a l i d e a ld o m a i n m o r e o v e r w js h o wt h a tr i sap r e k r u l ld o m a i ns a r i s f y i n gt h e c o n d i t i o no ff p ) ，t h e nr 1 i sap r e k r u l ld o m a i n w ea l s oo b t a i nt h a tr i sau m td o m a i n ，t h e nw d i m r = w d i m ( r k 】) f i n a l l y , w ec h a r a c t e r i z e u m td o m a i n s ，p v m d sa n dp r e k r u l ld o m a i n si ng r o u pr i n g s w js h o wt h a tr i sau m td o m a i n ，t h e nr ；g 1i sau m td o m a i n a n dw ep r o v et h a tri sa p v m di fa n do n l yi f 冗f x ；g i sap v m d ，i fa n do n l yi fr x ；g f v o i sap v m d m o r e o v e r ，ri s ap r e k r u l ld o m a i ni fa n do n l yi fr x ；g i m ，i sap r e k r u l l d o m a i nw ja l s oo b t a i nt h a tr i sau m t d o m a i n ，t h e nw d i m r = w d i r e r x ；g 1 k e y w o r d s ： u i d e a l ；c o n t e n t ；w d i m e n s i o n ；p r e k r u l l d o m a i n ；u m t d o m a i n ；p o l y n o m i a ld o m a i n 部分符號(hào)說(shuō)明 v對(duì)每一個(gè) j存在 ( 1 。取a ，6 尸使得( 8 ，功不包 含在r 中的任何高度為1 的素理想中，存在qcf i x 使得q 是a x b 上的極小 素理想，必然句nr = 0 由兄是u m v 整環(huán)，故q 是r 暖 的極大 一理想，因此p 不 是r 中的素 一理想，矛盾，故兄中的每個(gè)素v 一理想高度為1 反之，若對(duì)任意的ue u t z ( r ) ，有u o r i x l ，且r 中的每個(gè)素v 一理想高 度為1 則對(duì)r 中的任意高度為l 的素理想p ，有u 垡p i x j ，從而對(duì)r 中的任意 素”一理想p ，有礦垡p 【羽，因f 比c ( u ) 垡p ，從而4 u ) 。= r ，又因u _ 1 r 瞵 ，所 以只是u m v 整環(huán) 1 q o p 8 0 1 6 3 c o m 第1 5 頁(yè)，共3 7 頁(yè) 畢業(yè)論文 第一章p r e k r u l l 整環(huán)的刻畫 其次，我們知道u m t 整環(huán)就是指該整環(huán)中任何u t z 都是極大t 一理想 e h o u s t o n 和mz a f r u l l a h 已經(jīng)給出例子說(shuō)明存在有整環(huán)是u m v 整環(huán)但不 是u m t 整環(huán)，同時(shí)也說(shuō)明u m t 整環(huán)不一定是u m v 整環(huán)從定義我們易 知p v m d 是p 整環(huán)，但是e h o u s t o n 和m z a f r u l l a h 也給出例子說(shuō)明有整環(huán)是 一整 環(huán)但不是p v m d 下面我們就討論u m v 整環(huán)和u m t 整環(huán)以及 整環(huán)和p v m d 之 間的關(guān)系 眾所周知u 一有限型的v 一可逆的素 一理想是一可逆的此外，若只是 一凝聚整 環(huán)，則兄中的極大”一理想是極大t 一理想同時(shí)我們知道若r 是整閉的u 一凝聚整環(huán)， 貝u r x 1 是 凝聚整環(huán)于是我們可有以下結(jié)論 定理t 46 設(shè)冠是u m v 整環(huán)，若n i x 中的每個(gè)u t z 都是u 一有限型的， 則兄是u m t 整環(huán) 證明設(shè)p 是r x 】的u t z ，因?yàn)樾质莡 m v 整環(huán)，所以p 是n i x 極大口一理想， 從而尸是r 【矧的儼可逆的素 一理想又因p 是 有限型的，于是p 是t 一可逆，由 1 3 ， t h e o r e m1 4 1 ，可得p 是n i x 極大乒理想 定理1 4 7 設(shè)兄是u m v 整環(huán)且月【x 】是u 一凝聚整環(huán)，則r 是u m t 整環(huán) 證明 設(shè)p 是r x 1 的u t z ，因?yàn)閞 是u m v 整環(huán)，故p 是n i x 極大u 一理想 由兄x 1 是 一凝聚整環(huán)，所以p 是n i x 極大t 一理想則忌黽u m t 整環(huán) 命題1 4 2 設(shè)只是口一凝聚的 一整環(huán)，則昆邑p v m d 證明因?yàn)槟狳w 一整環(huán)，則冠是整閉的u m v 整環(huán)從而尼黽整閉的價(jià)凝聚整 環(huán)，于是r x 】是u 凝聚整環(huán)由定理1 4 7 有，r 是u m t 整環(huán)，又因r 是整閉的，從 而r 是p v m d 眾所周知r 是h 整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)r i x l 是h 整環(huán)于是我們有以下結(jié)論 定理1 。4 8 設(shè)尼黽u m t 整環(huán)也是h 整環(huán)，則r 是u m v 整環(huán) 證明 設(shè)p 是r x 的u t z ，則p 是r 】極大t 一理想 因?yàn)樵率莌 整環(huán) 則月 x 是h 整環(huán)所以p 是r 極大價(jià)理想從而尼黽u m v 整環(huán) 1 q o p 8 0 1 6 3c o r n 第1 6 頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及 其w 維數(shù) 本章設(shè) 花 是見(jiàn)上的任意個(gè)未定元的集合，對(duì)，兄( ( 五 ，的系數(shù)在r 中 生成的理想，稱為，在r 中的容度同樣，我們對(duì)，兄 】，的系數(shù)在r 中生 成的理想，稱為，在兄中的容廢我們都用c ( ，) 表示，在尺中的容度此外，我們 記颶= ，冗 瓦 l i e ( f ) 。= 塒，于是颶是r x o 的乘法閉集同樣我們 也記眠= ，r 【弼 i c ( ，) 。= 礎(chǔ)，于是有眠是r 【】的乘法閉集設(shè)以是矧約 分式理想，我們用a ，a 分別表示a 在r 上的t 一包絡(luò)和口包絡(luò)；若以是r k 五 r 【 。k “或者r x i n o 上的分式理想，我們用a t ，a 礦分別表示a 在r f 五， 兄k ) 】t ，或者r 】 風(fēng)上的t 一包絡(luò)和 一包絡(luò) 2 1 p r e k r u l l 整環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的等價(jià)刻畫 從第一章我們知道偽主理想整環(huán)，廣義d e d e k i n d 整環(huán)都是p r e k r u l 整環(huán) 下面我們從多項(xiàng)式整環(huán)及其分式化方面來(lái)討論它們之間的關(guān)系 引理2 1 ，1 【2 】設(shè)尼黽整環(huán)，則以下各條等價(jià) ( 1 ) r 是p r e - k r u l l 整環(huán) ( 2 ) r 】是p r e - k r u l l 整環(huán) 引理2 1 2 1 4 設(shè)r 是整環(huán)，其中 五) 是r 上的任意個(gè)未定元的集合，則阻 下各條等價(jià)： ( 1 ) r 是p v m d ( 2 ) 冗f f ) 】肌中的任何主理想都由咒中的理想擴(kuò)張而成 ( 3 ) r k ) 】肌中的任何理想都由r 中的理想擴(kuò)張而成 引理2 1 3 1 4 r 是整環(huán)，是刷拘任意分式理想，其中 溉) 是r _ 上的任意 個(gè)未定元的集合，則有 第1 7 頁(yè)，共3 7 頁(yè) 第二章p r e 。k r u l l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其w 一雛數(shù) ( 1 ) ，1 五) 】- ， 托) ， ( 2 ) l ( 咒刖= ， 五) k ( 3 ) k 瓦) _ j 【 恐) r ( 4 ) l 【f 托) 】 ，= ( 【 ) 帆) 礦 ( 5 ) 【( 矗) j 肌= ( ， k 】眠) t 定理2 1 1 設(shè)r 是整環(huán)，則以下各條等價(jià)： f 1 1 r 是p r e - k r u l l 整環(huán) ( 2 ) r 陋 是p r e - k r u l l 整環(huán) ( 3 ) r 瞵】地是p r e - k r u l l 整環(huán) ( 4 ) 月陋】肌是廣義p r e - k r u l l 整環(huán) ( 5 ) r 陋k 是偽主理想整環(huán)， ( 6 ) 對(duì)任何n 1 ，r 噩， 是p r e k r u l l 整環(huán) ( 7 ) 對(duì)任何禮1 ，兄1 ， 肌是p r e k r u l l 整環(huán) ( 8 ) 對(duì)任何n 1 ，兄 五，五j 肌是廣義d e d e k i n d 整環(huán) ( g ) 對(duì)任何n 1 ，r l 確，k 是偽主理想整環(huán) 證明( 1 ) ( 2 ) ：由引理2 1 1 直接得結(jié)論 ( 1 ) j ( 5 ) ：因?yàn)槟狳wp r e k r u l l 整環(huán)，故兄是p v m d 由引理2 1 2 ，r 風(fēng)的 每個(gè)非零理想形式為，陽(yáng)虬，其中，是r 的非零理想由尼黽p r e - k r u l l 整環(huán)，因 此l 是r 的t - 可逆理想由引理2 13 可得( j 【x 肌) y = 厶 心是r 陋 帆的可逆理 想由【1 4 ，t h e o r e m2 1 4 1 ，于是( ，【x 】帆) v 是r i x l _ o 的主理想，從而n i x _ 。是偽 主理想整環(huán) ( 5 ) j ( 4 ) j ( 3 ) ：由定義直接可得 ( 3 ) 號(hào) ( 1 ) ：設(shè)，是冗的非零理想，則，閑心是兄f 卅肌的非零理 想因?yàn)閞 】虬是p r e k r u l l 整環(huán)，故( j 【圈帆) y 是t 一可逆的，從而由引 理2 13 有r j 礬= ( ( ，】帆) 礦( f 【捌肌) 。b = ( 厶j - 1 ) f x 】“1 1 1 1 1 4 ，p r o p o s i t i o n2 8 1 有( z o z - 1 ) t = r ，從而r 是p r e k r u l l 整環(huán) ( 1 ) 甘( 6 ) ：r e ( 1 ) 和( 2 ) 等價(jià)，易得結(jié)論 第1 8 頁(yè)，共3 7 頁(yè) 畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l l 整環(huán)- 與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其一維數(shù) ( 1 ) 號(hào)( 9 ) ：因?yàn)槟狳wp r e k r u l l 整環(huán)，故冠黽p v m d由引理21 2 知， r x 1 ，瓦 肌的每個(gè)非零理想形式為j 【x 一，。k 】肌，其中是r 的非零理 想由r 是p r e k r u l l 整環(huán)，因此厶是r 的t 一可逆理想f h 引理2 1 3 和 1 4 t h e o r e m 24 ，有( ， x 一，墨 n o ) v = l 局，j 厶】帆是r x l ，置。】肌的可逆理想 1 掃 1 4 ，t h e o r e m2 1 4 1 ，于是有( ， 噩，x 。 n o ) v 是冗 蜀，k j 肌的主理想， 因此兄h 一，) 厶】帆是偽主理想整環(huán) ( 9 ) 辛( 8 ) ( 7 ) 辛( 3 ) ：由定義可直接得到結(jié)論 命題21 1 咒是整閉整環(huán)，對(duì)任意的，g 孔其中 ) ) 是r 上的任 意個(gè)未定元的集合，則以下各條等價(jià)： ( 1 ) r 是整閉整環(huán) ( 2 ) 對(duì)任意f ，g k h ) 0 ) 1 1c ( ，9 ) 。= ( c ( ，) c ( 9 ) ) 。， ( 3 ) 任意，g r 【 ) ，存在+ 一算子使c ( f g ) + = ( c ( ，) c ( 9 ) ) + ( 4 ) 對(duì)任意0 f 兄【 五) 】，f k x a 】n 兄 ) 1 = f c ( f ) _ 1 兄 瓦，】 證明 ( 1 ) j ( 2 ) ：由 4 ，t h e o r e m 2 8 3 】得，存在凡z + 使得c ( ，) ”+ 1 c ( 9 ) = 4 f ) “e ( f g ) 顯然c ( ，) “是有限生成的，由于冗是整閉整環(huán)，而我們知道整閉整環(huán) 是u 一整環(huán)，因此c ( ，) ”是u 一可逆的，所以( c ( ，) c ( g ) ) 。= c ( ，9 ) 。 ( 2 ) 毒( 3 ) ：顯然 ( 3 ) 母( 1 ) ：由已知任意未定元都滿足條件，故可特定取一個(gè)未定元設(shè)為x ， 因此v f ，g n i x ，存在 一算子使c ( ，9 ) 產(chǎn)( c ( ，) c ( 口) ) 。由 1 5 ，t h e o r e m l 6 得，尼黽 整閉整環(huán) ( 1 ) 辛( 4 ) ：由 4 ，t h e o r e m 3 4 9 1 得結(jié)論 ( 4 ) 寺( 2 ) ：首先，i 掃f c ( f ) 。r 【 j 0 ) j = f k x a 】f 3 r x o 2 ，9 k 【( 五) 】n 剮 瓦) 】 = f g c ( f g ) - 1 r 瓦所以g c ( f g ) _ 1 r k k ) 曼 c ( ，) 。兄 托) 1 因此c ( g ) c ( f g ) - 1cc ( ，) ，從而c ( ，) c ( g ) c ( ，g ) - 1 c ( 門c ( ，) 。 r ，故c ( f g ) 。( 4 f ) 4 9 ) ) ，因此( c ( ，) c ) 。c ( f g ) 。顯然c ( f g ) c ( f ) 4 9 ) ， 貝0 c ( ，g ) 。c ( c ( ，) c ( g ) ) 。所以c ( ，g ) 。= ( c ( ，) c ( 9 ) ) 。 命題21 2 設(shè)r 是整閉整環(huán)，b 是r 【 ) 】的t 一理想，其中 ) 是r 上的任意 個(gè)未定元的集合，若曰nr 0 ，則b 可以由r 擴(kuò)張而成 1 q o p 8 0 1 6 3 c o m第1 9 頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其w 一維數(shù) 證明設(shè)日是r 甄】的t 一理想，若日n r 0 ，取0 a b n 尺，任 意f b 顯然( o ，廠) b 所以b - 1 墾( o ，) r 1 k 咒 取乜( a ，) ， 則“，兄【 h 由命題21 1 ，得c ( f ) c ( u ) ( c ( ，) c ( “) ) 。= c ( ，u ) 。 只，故c ( ，) ( n ，) 一1 兄【( 1 ，從而c ( f ) ( ( o ，) 1 ) 一1 = ( 0 ，) 。b ， 則c ( ，) b n r ，因此f ( b n 兄) ) ，所以b ( b n 兄) 【 k 又因 為( b n r ) 【 k ) j b 顯然成立，從而b = n r ) ( 設(shè)t 托) 。r 是兄上的任意個(gè)未定元的集合，設(shè)a 是r 【 k ) 】的任何非零t 一理 想，從而存在有限集 n 1 ，0 l 2 ，o 。) r ，使得a n r f 五。，k ：，。k 。 0 我們記磁= r 陬，屁一，五。j ，其中n z + ，即有a n r 0 記= f n 。，o n ，同時(shí)r 五) 哪】- 焉【 兄 甜吣?！? r 知k e ， 為了書寫方便，我們直接寫成冗f x 。 = 蜀f ( 知 若兄是p r e - k r u u 整環(huán)，由定 理2 1 1 ，我們有也是p r e 。k r u l l 整環(huán)，由引理1 1 1 ，r 是完全整閉整環(huán)，從而 是整閉接環(huán)，又因?yàn)閍 n 島0 ，由命題21 2 ，a = ( a n 鞏) 從而由 引理2 13 ，有a 是r f 恐) 】的t 一理想( * 理想) 當(dāng)且僅當(dāng)a n 島是r 的t 一理想( 一理 想1 定理2 1 2 設(shè)月是整環(huán)，其中 弱) 。e r 是且上的任意無(wú)限多個(gè)未定元集合 x l ，托，) 是兄上的可數(shù)無(wú)限個(gè)未定元集，則以下各條等價(jià)： ( 1 ) 兄是p r e k r u l l 整環(huán) ( 2 ) 兄 k ) 】是p r e - k r u l l 整環(huán) ( 3 ) r 【 ) 肌是p r e - k r u l l 整環(huán) ( 4 ) 只 ( 咒) i 肌是廣義d e d e k i n d 整環(huán) ( 5 ) r ( x o i n o 是偽主理想整環(huán) ( 6 ) 磁 x 1 ，x 2 ，) 】是p r e k r u l l 整環(huán) ( 7 ) r x 1 ，x 2 ，) 帆是p r e k r u l l 整環(huán) ( 8 ) r f 噩，尬， i n o 是廣義d e d e k i n d 整環(huán) ( 9 ) 兄 x 1 ，x 。，) 1 帆是偽主理想整環(huán) 證明 ( 1 ) 號(hào)( 2 ) ：設(shè)r 是p r e - k r u u 整環(huán)，且是兄 五) 的任意非零理 想，則存在有限集 。，a 2 ，o 。) ，使得b n r 0 ，由昆黽p r e k r u l l 整環(huán) l q o p 8 0 1 6 3 c o i t i 第2 0 頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e - k r u l l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其w ，維數(shù) 以及定理2 ，1 1 ，可知心是p r e k r u l i 整環(huán)記e = f o l ，0 2 ，n 。) ，所 以兄 甜】_ r ( ) 耐。，?！? 兩k e 】，為了書寫方便，我 們直接寫成r ) = 凰 知) i 由心是p r e - k r u l l 整環(huán)，則r 是完全整閉整環(huán) 由于b n o ) ，故由命題2 ，12 ，有玩，可以由r 擴(kuò)張而成記b y = a 知) 】1 其中a 黽玩的非零理想，由引理2 1 3 ，a 也是峨的非零肌理想故( a a 。) 。= 風(fēng) 從而( b v b _ 1 ) t = ( a 昂) 】( a 【 昂) j ) - 1 ) t = ( a a - 1 ) t f ( 知 】= 心 ( 西) 】= r 【 ) 】因此r 咒】j 是p r e k r u l l 整環(huán) ( 2 ) 辛 ( 1 ) ：設(shè)咒 ) 】是p r e - k r u l l 整環(huán)，是刷 勺任意非零理想， 由r 墨) 】是p r e k r u l l 整環(huán)以及引理2 13 ，有r 恐) 】 = ( ， ) 】v ，f ( 甄 ! - 1 ) r = 她f f 咒 j i - 1 忍如r = ( 厶，1 冰忍 ，則，- 1 ) ：= r ， 故兄是p r e k r u l l 整環(huán) ( 2 ) 辛( 6 ) ：顯然 ( 6 ) 令( 1 ) ：設(shè)是吲 勺任意非零理想，由r f 五，x 2 ，) 】是p r e k r u l l 整 環(huán)，于是有n x l ，蜀，) = ( h ，尥，) 】y ( j 【 x 1 ，碭，) j ) - 1 ) r = ( d - 1 ) t 【 置，x 2 ，) 】，因此( l ，- 1 ) t = r ，從而r 是p r e k r u l l 整環(huán) ( 1 ) 辛( 3 ) ：r 是p r e k r u l i 整環(huán)，顯然尼是p v m d ，因此r x 。 】肌中的 任何理想由r 擴(kuò)張而成，所以r 【 五) 】肌中的理想可寫成， 五) 】帆，其 中，是r 中的理想設(shè)，【 “是兄【 咒川肌中的任意非零理想尼黽p r e k r u l l 整 環(huán)，貝u ( r d 。) t = r由引理2 1 ，3 ，于是( ( 【 帆) y ( ， 五) 肌) - 1 ) r = ( d 。) t k ) 肌= r 【 咒h 肌，從而r 【 墨) 】帆是p r e k r u l l 整環(huán) ( 3 ) 兮( 7 ) ：顯然 ( 7 ) j ( 1 ) ：設(shè)j 是兄的任意非零理想，由r x 1 ，x 2 ，) 】帆是p r e k r u l l 整環(huán)以及引理21 3 ， 于是得到，_ 1 ) t x ，x 2 ，) 肌 = ( ( ( x 1 ，磁，) j 肌) y ( j x t ，如，- ) 】帆) 。) r = 兄 x l ，x 2 ，- - ) 肌，由 1 4 ， p r o p o s i t i o n2 8 ，所以，- 1 ) t = r ，從而r 是p r e - k r u i l 整環(huán) ( 1 ) = ( 4 ) ：r 是p r e k r u l l 整環(huán)，則r 是p v m d 故兄 墨) j 帆中的任何理想 由r 擴(kuò)張而成，所以咒 k ) 】帆中的理想可寫成，【 噩) i 帆，其中，是r 中的理想 設(shè)珊墨h 肌是r 【 墨) 帆中的任意非零理想，由于r 是p r e k r u l l 整環(huán)，則l 是扣 可逆的由【1 4 ，t h e o r e m2 4 】，可得( ， ) 肌) y = l 墨) 帆是冗 五) 】肌的 l q o p 8 0 1 6 3c o r n 第2 1 頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其 一維數(shù) 可逆理想因此由廣義d e d e k i n d 整環(huán)的定義，結(jié)論成立 ( 4 ) j ( 5 ) ：由f 1 4 ，t h e o r e m2 1 4 】可知r 墨h 肌中的可逆理想都是主理想 因此由廣義d e d e k i n d 整環(huán)和偽主理想整環(huán)定義，易得結(jié)論 ( 5 ) ( 9 ) ：顯然 ( 9 ) = ( 8 ) ( 7 ) ：由定義直接可證 2 2 p r e k r u l l 整環(huán)上形式冪級(jí)數(shù)環(huán)的局部化 我們說(shuō)環(huán)r 有性質(zhì)( p ) ，是指r 滿足條件( p ) ：若v ，g r n 其中 記r = r 】0 ，有c ( f g ) 。= ( c ( ，) c ( g ) ) 。 定理2 2 1 設(shè)r 是整環(huán)，s 是月 【x ”的乘法集，設(shè)蹦邑刷 g 非零理想，則 ( 1 ) ( ，r 】 _ 1 ) s = 1 - 1 【捌】s = ( j 】r 1 ) s ( 州x 】 s ) ，若r 具有性 s t ( p ) ，s 風(fēng)，則后面相等 ( 2 ) 若r 具有性質(zhì)( p ) ，s 眠，則( 州x 】v ) s = ( ( ，r 【捌】) y ) s = l x s = ( 川x 】 s ) y = ( r f x 璐) y ， 證明( 1 ) 前半部分的證明參見(jiàn) 1 6 ，t h e o r e m 3 4 】下面證明若r 具有性 質(zhì)( p ) ，s 曼眠，則( 叫圈】s ) - 1 = ( 州x 】_ 1 ) s 設(shè)v g ( 碰捌 s ) ，v 0 b 1 ， 則b g 且 f 矧】s ，所以b g = 丟，其中，n i x j ，t o s ，故c ( t o ) 。= r ，t o b g = f v 0 n i ，a f = b ( o g ) t o ，a g r 【x ”s ，貝1 a g = 等，其中9 7 r 【 x ) h s 所以c ( ) 。= r ，a f h = b g t o ，a c ( f h ) = b c ( g t o ) ，因此a e ( f ) a c ( f ) 。= o ( c ( ，) c ( 九) ) 。= a c ( f h ) 。= b c ( 9 7 t o ) 。= 6 ( c ( g ，) c ( 亡0 ) ) 。= 6 c ( 9 仉冬b r 由。的 任意性，可知z c ( f ) 至b r ，所以c ( ，) b i ，從而f b i - 1 【 x 】，則6 。f 1 - 1 f i x ，g = 譬1 - 1 i x i s ，故( x 】 s ) - 1 i - 1 i x i s = ( 叫x 】一) s ，所 以( 州x 】 s ) 一1 = ( 川x 】- 1 ) s ( 2 )由( 1 ) 司知( j 月【 x 】 ) 礦= l i x 】= 圈i v ，故( ( ，r 】 ) y ) s = l 】 s = ( 叫圈 y ) s ，因?yàn)閞 具有性質(zhì)( p ) ，s ，由( 1 ) ，( ， x 舳) 。= ( 川x | 。) s ，所以( ， x 】s ) v = ( ( 州x 】 s ) - 1 ) q = ( 1 - 1 【i x i s ) 。 = ( ( j 。) 。) i x i s = l i x i s ，類似( ( j r 】 ) v ) s = ( j r 【x 】s ) y q o p 8 0 1 6 3 c o m 第2 2 頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l i 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其w 一雛數(shù) 推論2 21 若滿足定理2 2 1 中( 2 ) 條件，則兄 f x 】s ) y = ( ，r x 必) v 證明因?yàn)閕 o r i x l s l f x 】j s ( 兄 f x 弘) 礦顯然( i n x l l s ) v ( l 兄 s ) v ：( ，r f x 】s ) y ，從而( l 兄 s ) v ( l 冗x 】s ) v ，所以( j 兄 x 】 s ) y = 定理2 2 2 若r 具有性質(zhì)( p ) ，r 是p r e - k r u l l 整環(huán)，則r 陋】 肌中每個(gè)理想可 以由r 擴(kuò)張而成 證明設(shè) r x i i + ，由尼黽p r e - k r u l l 整環(huán)，則( c ( ，) 。c ( ，) - 1 ) 。= r 又 因?yàn)? f ) - 1 是同拘 一理想，于是c ( 廠) - 1 是 一有限型的從而存在ie ，( r ) 使 得c ( ，) - 1 = l ，同時(shí)，存在ge 吲使得c ( g ) = i ，于是有c ( ，) = c ( 9 ) 。 因此( c ( ，) 。4 9 ) 。) t = r ，故( c ( ，) c ( g ) ) 。= r 設(shè)b r 0 ，b i ，則b ger 吲， b c ( f g ) 。= c ( ，( b g ) ) 。= ( c ( ，) c ) ) 。= 6 ( c ( ，) c ( 9 ) ) 。= b r ，因此c ( 如) 。= r ， 貝l j f g 眠 v ae c ( ，) ，n = 馬摯，其中叼r 陋】故。， r 圈j 帆， 從而c ( ，) f r x i n ，所以( c ( ，) r h 吲】風(fēng)) y 冬，r h x 】 由定理2 2 1 ， c ( ，) 。h x 】帆= ( c ( ，) r 陋 】帆) y ，所以，兄 】肌c ( ，) 羽 帆c ( ，) 。 】虬= ( c ( f ) r x j i n 。) v f r i x l l i v ，由推論2 2 1 ，于是有f r i x j 肌= c ( 川 】肌= c ( ，) 。f 瞵】 帆= ( 4 i ) r x j k ) 礦一( g ( ，l 兄f x l l o ) v 因?yàn)槟崾莗 r e - k r u l l 整環(huán)，由 定理2 ，1 1 ，則r 捌肌是偽主理想整環(huán)所以c ( ，) 。a x b , o = f 7 r 】肌，其中，7e r x t 因此c ( ，) 。引1 】嶼= ，冗【x i 虬，故f r x i i n = ( 4 f ) 。兄【 j 峨) y = ( ，7 r 【x 】帆) v = ，7 r i x b , o 由冠黽p r e k r u l l 整環(huán)，當(dāng)然r 是p v m d ，所 以，7 r x i 肌= a r x i n o ，其中a 是刷約理想從而f r 】j 虬= 廠7 冗 】肌= ( ，7 r 帆) r x 】肌= a r 【x 】批因此捌 x 】肌的任意主理想擴(kuò)張于r ，易 知r i x i n 的任意理想擴(kuò)張于兄， 定理2 2 3 若兄具有性質(zhì)( p ) ，月是p r 爭(zhēng)k r u l l 整環(huán)，則n x 1 n o = 搿，其 中硪= 矧廠，ge 兄嘲】1 4 1 ) 。c ( 9 ) ”) 證明v f ，ge 兄【nr 具有性質(zhì)( p ) ，r j c ( f g ) 。= ( c ( ，) c ( 夕) ) 。所c a r 。有意 義顯然兄【捌j 帆墾r 。另一方面，若o ；r ，其中，1 9 r f 圈r 且c ( 廠h l q o p ；0 1 6 3 c o r n 第船頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其w 一維數(shù) c 國(guó)) 。由尼黽p r e - k r u l l 整環(huán)，則r i 拘任意 一理想是v 一有限型于是有c ( g ) 1 = 五 其中j 是r 的有限生成理想可取h k 1 使得c ( ) = j ，因此c ( g ) _ = e ( ) 。 從而r = ( c ( 9 ) c ( 9 ) _ 1 ) 。= ( c ( 9 ) c ( 忍) 。) 。= ( c ( 9 ) c ( ) ) 。= 4 9 h ) 。，所以j = 等 其中g(shù) he 眠又因c ( ，九) 。= ( c ( ，) c ( ) ) 。= ( c ( ，) 。c ( 危) ) 。( c ( 9 ) 。c ( ) ) 。= ( c ( g ) c ( ) ) 。= r ，故c ( ， ) c ( f h ) 。r ，因而h 兄【 捌 ，因此；= 等 r 【 風(fēng)，從而屈冗 肌，所以兄。= 月 j 風(fēng) 推論2 2 2 設(shè)r 是p r e _ k r u l l 整環(huán)，則兄】帆= 形，其中彤= 引 g n i x + ，c ( ，) 。墾c ( 9 ) 。) 證明證法類似于定理2 2 3 定理2 2 4 若r 具有性質(zhì)( p ) ，r 是p r e k r u l l 整環(huán)，則冗 帆一r 。是偽主理 想整環(huán)，從而科【x 】 肌= r 。是p r e - k r u l l 整環(huán) 證明任取j 是r f i x 】脯的非零理想，由定理2 2 2 知j = a r i x 】帆，其 中a 是尉 勺非零理想，故由定理2 2 1 ，矗= ( a r i x ”肌) y = a ?！?捌】帆 因 為凡是r 的v 一理想，r 是p r e - k r u l l 整環(huán)，因此a 。是刷拘 一有限型的理想于是存 在b ，( r ) 使得a 。= b y ，從而j v = a “ 羽】肌= 玩 】 帆= 舊r 【x 】 心) v ， 所以矗是冗 陋1 ，= r o 的有限型的v 一理想由 1 5 知即是完全整閉的b 6 z o u t 整 環(huán)，則如是r 【 】1 = 群的主理想，于是得到r 【 圈】“= 印中任何”一理想都是 主理想故月 i x 】 m ，= r o 是偽主理想整環(huán)，從而是p r e - k r u l l 整環(huán) 推論2 23 設(shè)w d i m r = 1 ，若兄是p r e k r u l l 整環(huán)，則r 【 羽】肌= r 。是偽主理 想整環(huán)，從而兄h 吲】肌= 幫是p r e k r u l l 整環(huán) 證明 由【1 6 ，p r o p o s i t i o n 3 3 】以及由定理2 2 ，4 易得結(jié)論 2 3u m t 整環(huán)與其多項(xiàng)式環(huán)之間的w 維數(shù)關(guān)系 眾所周知，若_ p 是r 的素理想，我們稱rcr 一1 cp 1c 島= p 為月中的長(zhǎng)度為n 的素理想鏈，這樣的n 的上確界稱為素理想p 的高度，記 l q o p 8 0 1 6 3 c o m 第2 4 頁(yè)，共3 7 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p r e k r u l l 整環(huán)與u m t 整環(huán)的多項(xiàng)式環(huán)及其一雛數(shù) 為h t p 由 是r 上的星型算子，兄的鯽一理想集合中的極大元稱為r 的極大w 一理 想，并且極大廿理想是素理想我們把r 中極大w 一理想的集合記為”一m a x ( r ) ， 而且我們知道 一m “(