1、31,結(jié)構(gòu)力學(xué),Structural Mechanics,周 強(qiáng),土木工程學(xué)院風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心 E-mail：,5-2 力法的基本概念,a 原結(jié)構(gòu),b 基本體系,位移協(xié)調(diào)條件：,基本體系在X1方向的位移為零，1=0 基本體系在X2方向的位移為零, 2=0,得兩次超靜定的力法基本方程,位移系數(shù)，為基本結(jié)構(gòu)在單位力Xj=1單獨(dú)作用下沿Xi方向產(chǎn)生的位移；,超靜定次數(shù)：,兩次超靜定,對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，力法基本未知量是n個(gè)多余未知力X1、X2、Xn，從原結(jié)構(gòu)去掉n個(gè)多余約束得到基本結(jié)構(gòu)。當(dāng)原結(jié)構(gòu)多余未知力作用處位移為零時(shí)，可建立n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程：,上式由n個(gè)多余約束處n個(gè)變形條件組成的

2、荷載作用下n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程，稱為力法的典型方程。,5-2 力法的基本概念,力法的典型方程,位移符號(hào)采用兩個(gè)下標(biāo)： 第一個(gè)下標(biāo)表示位移的方向； 第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。,單位力 產(chǎn)生的沿 方向的位移，也稱柔度系數(shù)；,荷載產(chǎn)生的沿 方向的位移。,位移正負(fù)號(hào)規(guī)定：當(dāng)位移 或 方向與所設(shè)相應(yīng)力Xi正方向相同時(shí)，位移為正，反之為負(fù)。,物理意義： 基本結(jié)構(gòu)在X1、X2、Xn和荷載共同作用下沿n個(gè)多余未知力方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的相應(yīng)位移相等。,5-2 力法的基本概念,式中由柔度系數(shù) 組成的矩陣稱為柔度矩陣。根據(jù)位移互等定理： ，柔度矩陣是對(duì)稱矩陣。 主對(duì)角線上的系數(shù) 、 、 稱為主系數(shù)，恒

3、為正。 主對(duì)角線外的系數(shù) 稱為副系數(shù)，可為正、負(fù)或零。,力法基本方程的矩陣形式：,5-2 力法的基本概念,系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算： 所有系數(shù)和自由項(xiàng)為基本結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，可用位移計(jì)算公式求得，平面結(jié)構(gòu)的計(jì)算式為：,對(duì)具體結(jié)構(gòu)，一般只計(jì)算其中一項(xiàng)或兩項(xiàng)，如梁和剛架只考慮彎矩項(xiàng)等。,5-2 力法的基本概念,求得系數(shù)和自由項(xiàng)后，代入力法典型方程求解多余未知力X1、X2、Xn，計(jì)算內(nèi)力、繪制內(nèi)力圖，最終內(nèi)力計(jì)算可采用兩種方法： 方法一：將多余未知力和外荷載同時(shí)作用于基本結(jié)構(gòu)，根據(jù)靜力平衡條件計(jì)算內(nèi)力。 方法二：利用疊加原理，按下式計(jì)算內(nèi)力：,5-2 力法的基本概念,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的

4、內(nèi)力計(jì)算,例5-1 繪制圖示等跨、等剛度（EI為常數(shù)）連續(xù)梁的彎矩圖,q,1、確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu),連續(xù)梁取簡(jiǎn)支梁式基本結(jié)構(gòu)最便于計(jì)算。,基本體系,2、根據(jù)原結(jié)構(gòu)已知變形條件，建立力法典型方程,原連續(xù)梁受力變形時(shí)，結(jié)點(diǎn)B、C處變形連續(xù)，左、右截面不發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)角，力法典型方程：,3、求系數(shù)和自由項(xiàng),用力法計(jì)算超靜定梁和剛架，常忽略剪力和軸力對(duì)位移的影響，而只考慮彎矩的影響。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,4、求多余未知力,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,將以上所得各位移系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法典型方程即有,解得：,X1為負(fù)號(hào)表示其方向

5、與所設(shè)方向相反，截面B 應(yīng)為上邊緣受拉。,思考：荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的反力與梁的剛度有關(guān)嗎？,5、繪制最終彎矩圖,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,例5-2 用力法計(jì)算圖示剛架，作彎矩圖。,解:(1)確定超靜定次數(shù)并選定基本結(jié)構(gòu)。,原結(jié)構(gòu),基本體系,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,作 、 、 圖,(3) 計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。,(2) 列出力法典型方程。,（a）,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,兩個(gè)梯形相乘,可將梯形劃分為兩個(gè)三角形相乘.,再令圖a與圖b中的C d D相圖乘，得,將結(jié)果相加，得最終圖乘結(jié)果：,令圖a與圖b中的c d C相圖乘，得,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)

6、的內(nèi)力計(jì)算,計(jì)算ij,由圖的 與 的對(duì)稱性,有,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,將 、 、 、 代入式(a)并消去公因子 得,(4) 解方程求未知力。,、 即為原剛架上鉸C兩側(cè)截面上的剪力和軸力。,解得,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,(5)計(jì)算桿端彎矩，作出的最后彎矩圖。,（外側(cè)受拉）,（內(nèi)側(cè)受拉）,（內(nèi)側(cè)受拉）,最后彎矩圖,彎矩圖具有反對(duì)稱性質(zhì)，這是由荷載與結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性決定的。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,例5-3 用力法計(jì)算圖（a）所示排架，作彎矩圖。已知 ， ， 。忽略排架頂部拉桿的軸向變形, 將拉桿視為剛性桿。,解:

7、 (1) 確定超靜定次數(shù)并選定基本體系。,基本體系,(2) 列出力法方程。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,(3) 計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。,作MP、M1、M2圖。注意11與22都包括兩部分，令M1圖左邊柱、中間柱的計(jì)算結(jié)果分別為 、,由M1圖得 ，,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,計(jì)算自由項(xiàng),(4) 解方程求未知力。,將計(jì)算出來(lái)的系數(shù)與自由項(xiàng)代入力法方程式，消去公因子后得,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,解得 ，,(5)將 、 及荷載加在基本結(jié)構(gòu)上，利用平衡條件計(jì)算彎矩,表明軸力桿DE、FG均受拉。,（左側(cè)受拉）,（左側(cè)受拉）,（左側(cè)

8、受拉）,作出彎矩圖如圖所示。,M圖(kN . m),5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,例5-4 用力法計(jì)算圖示桁架，作軸力圖。各桿EA相同。,基本體系,(3) 計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。,解: (1) 確定超靜定次數(shù)及選定基本體系。,(2) 列出力法方程為:,計(jì)算FN1和FNP。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,將 、 代入式a，消去公因子 后得,(4) 解方程求未知力,負(fù)號(hào)表明桿CD 受壓。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,(5)計(jì)算軸力時(shí)應(yīng)用公式：,（拉）,（壓）,（拉）,（壓）,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,例5-5 用力法計(jì)算圖a所示組合結(jié)構(gòu)。已知梁式桿 ， 壓

9、桿DC、EF的， ， 拉桿AD、DE、BE的 。,解: (1) 一次超靜定。,(2) 列出力法方程,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,(3) 作 、 、 、 圖。,利用位移的公式：,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,自相圖乘的結(jié)果為,自相圖乘的結(jié)果為,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,梁的軸向變形對(duì)11的影響為,占11的0.28%，故計(jì)算11時(shí)可以略去。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,(4) 解方程求未知力。,算得,（拉）,(5) 作內(nèi)力圖。,（上側(cè)受拉）,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,討論：由于撐桿DC、EF的存在，使梁上C、F截面出現(xiàn)了負(fù)彎矩，整根梁的彎矩分布比簡(jiǎn)支梁均勻。本例中拉桿與壓桿的變形之比為,增減此比值，將使梁中彎矩產(chǎn)生變化。如減小拉桿截面, 其軸力下降，導(dǎo)致梁上C、F截面上負(fù)彎矩值減小；當(dāng)EA30時(shí)，組合結(jié)構(gòu)趨近簡(jiǎn)支梁。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,基本體系,解: (1)原結(jié)構(gòu)是三次超靜定。,力法基本方程為：,例5-6 試列出用力法求解圖示剛架的力法方程。,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,5-3 荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算,可見(jiàn)：對(duì)稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)所選取的基本結(jié)構(gòu)也對(duì)稱時(shí),多余未知力分成對(duì)稱與反對(duì)稱的兩組,使得副系數(shù)32 = 23 =0, 31 =