第第頁專題2.3有理數(shù)的乘除運(yùn)算（知識梳理+13個考點(diǎn)講練+中考真題演練+難度分層練共51題）TOC\o"1-2"\h\u知識梳理技巧點(diǎn)撥 2知識點(diǎn)梳理01：有理數(shù)乘法法則 2知識點(diǎn)梳理02：倒數(shù)的概念與求法 2知識點(diǎn)梳理03：有理數(shù)的乘法運(yùn)算律 2知識點(diǎn)梳理04：多個有理數(shù)相乘的符號法則 3知識點(diǎn)梳理05：多個有理數(shù)相乘的符號法則 3知識點(diǎn)梳理06：多個有理數(shù)相乘的符號法則 3知識點(diǎn)梳理07：多個有理數(shù)相乘的符號法則 3優(yōu)選題型考點(diǎn)講練 4考點(diǎn)1：兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算 4考點(diǎn)2：多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算 5考點(diǎn)3：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用 8考點(diǎn)4：倒數(shù) 9考點(diǎn)5：有理數(shù)乘法運(yùn)算律 11考點(diǎn)6：有理數(shù)的除法運(yùn)算 14考點(diǎn)7：有理數(shù)除法的應(yīng)用 16考點(diǎn)8：有理數(shù)乘除混合運(yùn)算 17考點(diǎn)9：有理數(shù)乘除中的簡便運(yùn)算 19考點(diǎn)10：有理數(shù)四則混合運(yùn)算 22考點(diǎn)11：有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用 24考點(diǎn)12：根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù) 26考點(diǎn)13：數(shù)軸上的翻折 27中考真題實(shí)戰(zhàn)演練 29難度分層拔尖沖刺 31基礎(chǔ)夯實(shí) 31培優(yōu)拔高 36知識點(diǎn)梳理01：有理數(shù)乘法法則1.正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為正數(shù)．積的絕對值等于各乘數(shù)的絕對值的積．2.兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，且積的絕對值等于乘數(shù)的絕對值的積；任何數(shù)與0相乘，都得0．3.有理數(shù)乘法法則也可以表示如下：設(shè)a，b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)，則(+a)×(+b)=a×b，(?(?a)×(+b)=?(a×b)，(+c×0=0，0×c=0．知識點(diǎn)梳理02：倒數(shù)的概念與求法1.倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．即若a與b互為倒數(shù)，則a×b=1．2.倒數(shù)的求法類型方法真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)將分子分母交換位置非0整數(shù)的倒數(shù)整數(shù)作分母，1作分子小數(shù)的倒數(shù)對于可以除盡的數(shù)的倒數(shù)，可以用1除以這個數(shù)求倒數(shù)對于除不盡的數(shù)，轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，再按照真、假分?jǐn)?shù)求倒數(shù)的方法來進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后將分子分母調(diào)換位置知識點(diǎn)梳理03：有理數(shù)的乘法運(yùn)算律運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎境朔ń粨Q律兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置,積不變ab=ba乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變(ab)c=a(bc)乘法分配率一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加a(b+c)=ab+ac知識點(diǎn)梳理04：多個有理數(shù)相乘的符號法則1.幾個不為0的數(shù)相乘，負(fù)的乘數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為2.幾個數(shù)相乘，如果其中有乘數(shù)為0，那么積為0．知識點(diǎn)梳理05：多個有理數(shù)相乘的符號法則1.有理數(shù)除法法則（1）除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷（2）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商．若ab>0，則ab>0；若ab<（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0．2.有理數(shù)除法的兩個法則要根據(jù)具體情況靈活選用（1）對于除法的兩個法則，在計(jì)算時可根據(jù)具體情況選用，一般在不能整除的情況下選用法則（1）比較簡便，在能整除的情況下，選用法則（2）比較簡便．（2）如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且不能整除，或者如果被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分?jǐn)?shù)，一般選用法則（1)進(jìn)行計(jì)算．知識點(diǎn)梳理06：多個有理數(shù)相乘的符號法則有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照乘法法則，確定積的符號，最后求出結(jié)果．知識點(diǎn)梳理07：多個有理數(shù)相乘的符號法則有理數(shù)的四則運(yùn)算：先算乘除，后算加減，有括號先算括號里面的（先小括號，再中括號，最后大括號），同級運(yùn)算，按照從左往右的順序進(jìn)行計(jì)算．考點(diǎn)1：兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【典例精講】（24-25七年級上·河北秦皇島·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A．?7+?2=9C．?7×?2=?14【答案】D【思路引導(dǎo)】此題考查有理數(shù)的計(jì)算法則，熟練掌握有理數(shù)加法、減法、乘法、除法法則是解題的關(guān)鍵，根據(jù)有理數(shù)的計(jì)算法則分別計(jì)算并判斷．【規(guī)范解答】解：A.?7+B.?7?C.?7×D.?7÷故選：D．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·河北保定·期中）觀察下面的等式，11×2(1)以此規(guī)律，第5個式子是________________；第n個式子是________________；(2)把這四個等式兩邊分別相加，得11×2①11×2②直接寫出結(jié)果：11×2(3)根據(jù)以上探索經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：12×4【答案】(1)15×6=(2)①20232024；②(3)1011【思路引導(dǎo)】本題考查的是裂項(xiàng)相消的計(jì)算技巧的應(yīng)用，有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，理解題意是解本題的關(guān)鍵；（1）觀察已知等式再歸納即可解答；（2）①結(jié)合（1）中規(guī)律把已知等式變形即可計(jì)算結(jié)果；②結(jié)合①的過程進(jìn)行計(jì)算即可得結(jié)果；（3）把運(yùn)算先化為具有（2）中運(yùn)算式的特點(diǎn)，再根據(jù)以上規(guī)律將原式變形即可計(jì)算．【規(guī)范解答】（1）解：∵11×2歸納可得：第5個式子是15×6=15?故答案為：15×6=（2）解：①1=1?=1?=2023②1=1?=1?1故答案為：1?1（3）解：1===1==10114048考點(diǎn)2：多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【典例精講】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)?8(2)(?10)×(?8.24)×(?0.1)；(3)79(4)?3【答案】(1)16(2)?8.24(3)11(4)?4.97【思路引導(dǎo)】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再計(jì)算乘法；（2）根據(jù)乘法交換律計(jì)算；（3）根據(jù)乘法分配律計(jì)算；（4）根據(jù)乘法分配律計(jì)算．【規(guī)范解答】（1）解：?8===16（2）解：(?10)×(?8.24)×(?0.1)==1×=?8.24；（3）解：7==28?30+27?14=11；（4）解：?==?6+1+0.03=?4.97．【變式訓(xùn)練】（24-25六年級上·山東東營·期中）【觀察思考】觀察下列等式11×2將以上三個等式兩邊分別相加得：11×2【探索規(guī)律】（1）猜想并寫出：1n（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：11×2【遷移運(yùn)用】（3）21×3【答案】（1）1n?1n+1

（2）【思路引導(dǎo)】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干所給方法求解即可；（2）根據(jù)題干所給方法及（1）中的結(jié)論可進(jìn)行求解；（3）根據(jù)（1）中所給結(jié)論可進(jìn)行求解．【規(guī)范解答】（1）解：∵11×2∴1n故答案為：1n（2）解：∵1=1?=1?=2023（3）解：2=1?=1?=2024考點(diǎn)3：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用【典例精講】（24-25七年級上·貴州黔東南·階段練習(xí)）小車司機(jī)蔡師傅某天下午的營運(yùn)全是在東西走向的公路上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天下午行車?yán)锍蹋▎挝唬呵祝┤缦拢?14，?3，+7，?3，+11，?4，?3，+11，?7，+9．(1)蔡師傅這天最后到達(dá)目的地時，距離下午出車時的出發(fā)地多遠(yuǎn)？(2)蔡師傅這天下午共行車多少千米？(3)若每千米耗油0.1L【答案】(1)距離出發(fā)地以東32千米(2)共行車72千米(3)用了7.2升油【思路引導(dǎo)】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義、有理數(shù)的加減的應(yīng)用、有理數(shù)的乘法的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）把所有行車記錄的里程相加，再根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義解答；（2）求出所有行車?yán)锍痰慕^對值的和；（3）將（2）中的結(jié)果乘以0.1即可．【規(guī)范解答】（1）解：把+14，?3，+7，?3，+11，?4，?3，+11，?7，+9相加，得+14?3+7?3+11?4?3+11?7+9==10+0+0+22=32（千米）．答：距離下午出車時的出發(fā)地以東32千米．（2）解：+14=14+3+7+3+11+4+3+11+7+9=72（千米），答：這天下午共行車72千米．（3）解：0.1×72=7.2（升）．答：這天下午蔡師傅用了7.2升油．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·貴州黔東南·階段練習(xí)）最近幾年時間，我國的新能源汽車產(chǎn)銷量大幅增加，李明家新?lián)Q了一輛新能源汽車，他連續(xù)7天記錄了每天行駛的路程如下表所示．每天以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“?第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程/km?8?10?140+24+31+35(1)李明家的新能源汽車這7天一共行駛了多少千米？(2)已知新能源汽車每行駛100km耗電量為15【答案】(1)408(2)36.72元【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵：（1）用每天標(biāo)準(zhǔn)的路程乘以天數(shù)再與表格中的數(shù)據(jù)求和，計(jì)算即可；（2）求出總耗電量，再乘以單價，進(jìn)行求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：50×7+?8?10?14+0+24+31+35答：李明家的新能源汽車這7天一共行駛了408km（2）408÷100×15×0.6=36.72（元）．答：李明家的新能源汽車這7天的行駛所用電費(fèi)是36.72元．考點(diǎn)4：倒數(shù)【典例精講】（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D分別表示??3，?23(1)在如圖所示的數(shù)軸上描出A，B，C，D四個點(diǎn)；(2)B，C兩點(diǎn)間的距離是多少？A，D兩點(diǎn)間的距離是多少？【答案】(1)見解析(2)B、C兩點(diǎn)間的距離是32，A、D【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸，倒數(shù)，相反數(shù)．（1）先分別根據(jù)絕對值、倒數(shù)、相反數(shù)的概念得出點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的特點(diǎn)，在數(shù)軸上表示數(shù)即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：??3=?3，?23的倒數(shù)為∴點(diǎn)A，B，C，D分別表示?3，?3∴點(diǎn)A，B，C，D四個點(diǎn)在數(shù)軸上表示如下：（2）解：∵BC=0?∴B、C兩點(diǎn)間的距離是32∵AD=?3?4∴A、D兩點(diǎn)間的距離是7．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）已知四個有理數(shù)a、b、c、d在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C、D，a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)．(1)根據(jù)已知條件回答：若a=?5，則b=；若c=2，則d=；(2)把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示：?1，2，+?2.5，0，?(3)將（2）中各數(shù)按由小到大的順序用“<”連接起來．【答案】(1)?15(2)見解析(3)?【思路引導(dǎo)】此題主要考查了有理數(shù)大小比較，相反數(shù)，絕對值，倒數(shù)以及數(shù)軸．（1）分別根據(jù)倒數(shù)和相反數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；（3）根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“<”號連接起來即可．【規(guī)范解答】（1）解：a，b互為倒數(shù)，若a=?5，則b=?1c，d互為相反數(shù)，若c=2，則d=?2，故答案為：?15，（2）解：+?2.5=?2.5，如圖所示：（3）解：由（2）得，??4考點(diǎn)5：有理數(shù)乘法運(yùn)算律【典例精講】（23-24七年級上·四川成都·開學(xué)考試）能簡算的要簡算．(1)1(2)((3)25×(4)9.6÷1(5)2003÷2003(6)49×【答案】(1)5(2)89(3)50(4)9(5)2004(6)48【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）將原式化成11×2+1（2）利用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算即可；（3）利用乘法結(jié)合律進(jìn)行簡便計(jì)算即可；（4）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后把除號化為乘號，再利用乘法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可；（5）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把除號化為乘號；（6）將原式化成(50?1)×49【規(guī)范解答】（1）解：1（2）(（3）25×（4）9.6÷1=9.6÷=9.6×（5）2003÷2003=2003÷=2003×=2003×（6）49×【變式訓(xùn)練】（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）我們知道a÷b=ab，b÷a=ba,ab數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：?1斌斌的解法：原式的倒數(shù)為13?5(1)a的倒數(shù)為______；(2)若a、b互為倒數(shù)，則ab=______；(3)請你運(yùn)用斌斌的解法解答問題，計(jì)算：?1【答案】(1)1a(2)1；(3)110【思路引導(dǎo)】本題主要考查了倒數(shù)的定義和運(yùn)用，有理數(shù)的四則混合運(yùn)算等知識．（1）利用倒數(shù)的定義即可得出答案；（2）利用倒數(shù)的定義即可得出答案；（3）求出原式的倒數(shù)，即可確定出原式的值．【規(guī)范解答】（1）解：a的倒數(shù)為：1（2）解：若a、b互為倒數(shù)，則ab=1（3）解：?1481===?16+8+18=10∴?考點(diǎn)6：有理數(shù)的除法運(yùn)算【典例精講】（23-24七年級上·江西上饒·期中）小麗同學(xué)做一道計(jì)算題的解題過程如下：12×解：原式=12×2=8?9+6÷1=?1+12?18…………第三步=?7…………第四步根據(jù)小麗的計(jì)算過程，回答下列問題：(1)小麗在進(jìn)行第一步時，運(yùn)用了乘法的______律；(2)她在計(jì)算中出現(xiàn)了錯誤，其中你認(rèn)為在第______步開始出錯了，因?yàn)椋?3)請你給出正確的解答過程．【答案】(1)分配；(2)二，除法沒有分配律(3)見解析．【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)混合運(yùn)算順序：“先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，注意各個運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化”．（1）根據(jù)乘法分配律可得答案；（2）除法沒有分配律，據(jù)此可得答案；（3）先利用乘法分配律展開，然后計(jì)算括號內(nèi)的減法，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減即可．【規(guī)范解答】（1）解：小麗在進(jìn)行計(jì)算第一步時運(yùn)用了乘法分配律，故答案為：分配；（2）解：她在第二步出錯了，因?yàn)槌]有分配律，故答案為：二；除法沒有分配律；（3）解：12×=12×=8?9+6÷=8?9+36=35．【變式訓(xùn)練】．（24-25七年級上·河北承德·期中）如圖，在一條直線上，從左到右依次有點(diǎn)A、B、C，其中AB=4cm,BC=2cm．以這條直線為基礎(chǔ)建立數(shù)軸，設(shè)點(diǎn)A、B、C

(1)如果規(guī)定向右為正方向，以1cm為單位長度建立數(shù)軸：①若以B為原點(diǎn)O，則點(diǎn)C表示的數(shù)是______，點(diǎn)A表示的數(shù)為______；若以C為原點(diǎn)O，則點(diǎn)B表示的數(shù)是______，此時p=______；②若改變原點(diǎn)O的位置，使原點(diǎn)O在點(diǎn)C的右邊，且CO=30cm，求p③發(fā)現(xiàn)：觀察p值的變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)每向右移動1cm，p值______（增大或減?。_____；(2)如果規(guī)定向右為正方向，若點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，則點(diǎn)C表示的數(shù)是______，若折疊數(shù)軸，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則折點(diǎn)表示的數(shù)是______．【答案】(1)①2，?4，?2，?8；②?98；③減小，3；(2)5；2．【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，有理數(shù)的加減除法運(yùn)算．根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離正確求出數(shù)軸上的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）①由題意知，AC=AB+BC=6，若以B為原點(diǎn)O，根據(jù)點(diǎn)C表示的數(shù)是0+2，點(diǎn)A表示的數(shù)為0?4，計(jì)算求解即可；若以C為原點(diǎn)O，根據(jù)點(diǎn)B表示的數(shù)是0?2，點(diǎn)A表示的數(shù)為0?6，此時p=?6+?2②由題意，根據(jù)點(diǎn)C表示的數(shù)是0?30，點(diǎn)B表示的數(shù)是?30?2，點(diǎn)A表示的數(shù)為?30?6，p=?36+?32③發(fā)現(xiàn)：當(dāng)原點(diǎn)每向右移動1cm時，CO=31cm，則點(diǎn)C表示的數(shù)是0?31=?31，點(diǎn)B表示的數(shù)是?31?2=?33，點(diǎn)A表示的數(shù)為?31?6=?37，即p=?37+（2）若點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，則點(diǎn)C表示的數(shù)是?1+6=5，若折疊數(shù)軸，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則折點(diǎn)表示的數(shù)是?1+52【規(guī)范解答】（1）解：①若以B為原點(diǎn)O，則點(diǎn)C表示的數(shù)是2，點(diǎn)A表示的數(shù)為?4；若以C為原點(diǎn)O，則點(diǎn)B表示的數(shù)是?2，此時p=?8；②∵原點(diǎn)O在點(diǎn)C的右邊，且CO=30cm∴點(diǎn)C表示的數(shù)是?30，點(diǎn)B表示的數(shù)是?32，點(diǎn)A表示的數(shù)是?36，∴p=?30+=?98．③當(dāng)原點(diǎn)向右移動1cm時，CO=31cm∴點(diǎn)C表示的數(shù)是0?31=?31，點(diǎn)B表示的數(shù)是?31?2=?33，點(diǎn)A表示的數(shù)為?31?6=?3∴p=?37+?33∵?101??98∴原點(diǎn)每向右移動1cm，p值減小3，∴p值的變化規(guī)律：原點(diǎn)每向右移動1cm，每個數(shù)減少1，則p值減小3（2）解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是?1+2+4=5．若折疊數(shù)軸，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴?1+2+4∴折點(diǎn)表示的數(shù)是2．考點(diǎn)7：有理數(shù)除法的應(yīng)用【典例精講】（24-25七年級上·山西長治·開學(xué)考試）中國鐵路的發(fā)展見證了新中國的滄桑巨變，高鐵已成為中國的一張名片．由我國自主研發(fā)的“復(fù)興號”高鐵的速度比“和諧號”動車組的速度快40%【答案】“和諧號”動車每小時行駛250千米，“復(fù)興號”動車每小時行駛350千米．【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是列出代數(shù)式．“和諧號”動車每小時行駛250千米，“復(fù)興號”動車每小時行駛350千米．先根據(jù)和諧號”動車組每小時比“復(fù)興號”高鐵少行100千米求出“和諧號”的速度，再求“復(fù)興號”的速度．【規(guī)范解答】解：“和諧號”的速度為：100÷40%“復(fù)興號”的速度為：250+100=350（千米/小時）．答：“和諧號”動車每小時行駛250千米，“復(fù)興號”動車每小時行駛350千米．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·浙江寧波·期末）隨著科技的進(jìn)步，機(jī)器人的種類日益繁多，應(yīng)用場景更加廣泛．現(xiàn)有一機(jī)器人在一條東西走向的流水線上來回走動調(diào)試設(shè)備、檢測溫度等．下表是某一段時間內(nèi)機(jī)器人從工作崗位A出發(fā)的行走記錄（規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，單位：m）第1次第2次第3次第4次第5次+50?22?38?15+23m(1)五次行走結(jié)束后機(jī)器人停在何處？(2)若該機(jī)器人每千米耗電0.02度，在這段行走過程中機(jī)器人共耗電多少度？【答案】(1)A的西面2米處(2)一共耗電0.00296度【思路引導(dǎo)】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)加減法的應(yīng)用及有理數(shù)乘除法的應(yīng)用．（1）將表格中所給的有理數(shù)相加，即可解答；（2）將表格中所給數(shù)據(jù)的絕對值相加再÷1000×0.02即可解決問題．【規(guī)范解答】（1）解：50?22?38?15+23=?2m答：A的西面2米處；（2）解：+50+148÷1000×0.02=0.00296（度）．答：一共耗電0.00296度．考點(diǎn)8：有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【典例精講】（24-25七年級上·江西宜春·階段練習(xí)）閱讀下列解題過程．計(jì)算：?15解：?15=?15÷=?15÷?=?15÷?25=?35回答：(1)上面解答過程有錯誤，是第步，錯誤的原因是；(2)請寫出正確的解題過程．【答案】(1)②④，②的錯誤原因是同級運(yùn)算沒從左至右運(yùn)算；④的錯誤原因是兩個負(fù)數(shù)相除結(jié)果為正(2)見解析【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算法則，分步查找錯誤即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【規(guī)范解答】（1）解：②乘法和除法的混合運(yùn)算，同級運(yùn)算沒從左至右運(yùn)算，計(jì)算步驟不能顛倒，④負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)相除結(jié)果為正數(shù)，因此②④錯誤，故答案為：②④；②的錯誤原因是同級運(yùn)算沒從左至右運(yùn)算；④的錯誤原因是兩個負(fù)數(shù)相除結(jié)果為正（2）解：原式=?15===108【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·浙江杭州·期中）如圖1，M，N為一把不完整刻度尺有刻度一側(cè)的兩端，現(xiàn)將其緊貼數(shù)軸擺放，已知刻度尺上“2.5厘米”，“1厘米”兩個刻度分別對應(yīng)著數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點(diǎn)，且a，b兩數(shù)滿足a+1+(1)a=_________，b=_________；(2)求圖1中刻度“3厘米”所對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是多少？(3)若刻度尺右端M的刻度為“0.5厘米”，將刻度尺沿?cái)?shù)軸向右移動6個單位長度，此時，刻度尺的左端點(diǎn)N恰好與數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)重合，請確定這把刻度尺有刻度一側(cè)MN的長度為多少厘米？并說明理由．【答案】(1)?1；2(2)?2(3)4厘米，理由見解析【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸與刻度尺，絕對值的非負(fù)性質(zhì)，有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用等知識．（1）利用絕對值和平方的非負(fù)性質(zhì)，即可得出a和b的值；（2）先根據(jù)題意求出a，b兩點(diǎn)之間的距離以及對應(yīng)刻度尺上的距離，進(jìn)而得出3厘米對應(yīng)的數(shù)；（3）設(shè)N表示的數(shù)為：n，先求出n的值，再求出M表示的數(shù)，從而求得出MN上的表示的單位長長，然后由“2.5厘米”，“1厘米”兩個刻度分別對應(yīng)著數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點(diǎn)，可求得數(shù)軸上一個單位長度表示的實(shí)際長度，進(jìn)而可求出刻度尺有刻度一側(cè)MN的長度．【規(guī)范解答】（1）解：∵a+1∴a+1=0,b?2=0，∴a=?1,b=2，故答案為：?1,2；（2）解：∵a=?1,b=2，∴a，b兩數(shù)之間的距離為2?(?1)=2+1=3，對應(yīng)刻度尺上的距離為：2.5?1=1.5厘米，∴刻度“3厘米”所對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是?1?3?2.5（3）解：這把刻度尺有刻度一側(cè)MN的長度為4厘米，理由如下，設(shè)移動前N表示的數(shù)為：n，∵將刻度尺沿?cái)?shù)軸向右移動6個單位長度，此時，刻度尺的左端點(diǎn)N恰好與數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)重合，∴n=1?6=?5，∵a=?1,b=2，a對應(yīng)的刻度為2.5厘米，b對應(yīng)的刻度為1厘米，∴數(shù)軸上一個單位長度表示的實(shí)際長度為：2.5?1÷∵移動前M的刻度為“0.5厘米”，b表示的數(shù)對應(yīng)的刻度為“1厘米”∴移動前M表示的數(shù)為：2+0.5÷1?0.5∴MN在數(shù)軸上表示的單位長度為3??5∴這把刻度尺有刻度一側(cè)MN的長度為：8×0.5=4（厘米），答：這把刻度尺有刻度一側(cè)MN的長度為4厘米．考點(diǎn)9：有理數(shù)乘除中的簡便運(yùn)算【典例精講】（24-25七年級上·河北保定·開學(xué)考試）能簡便計(jì)算的用簡便方法計(jì)算．(1)2024×(2)9(3)12.5×(4)14×【答案】(1)2023(2)2(3)100(4)2.65【思路引導(dǎo)】本題考查了簡便計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算律．（1）把2024寫成2025?1，然后根據(jù)乘法的分配律計(jì)算即可；（2）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法法則計(jì)算即可；（3）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后逆用乘法的分配律計(jì)算即可；（4）根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律，并逆用乘法的分配律計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：2024×==2025×=2024?=20231（2）解：9==2（3）解：12.5×=12.5×=12.5×=12.5×=12.5×8=100．（4）解∶14×=14×=14×=14×=2+0.65=2.65．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·河北石家莊·期中）計(jì)算題(1)?10+4(2)?3?4+19?11+2(3)?81(4)?【答案】(1)?6(2)3(3)?16(4)7【思路引導(dǎo)】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（3）先確定運(yùn)算結(jié)果的符號，將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘除法可以解答本題；（4）根據(jù)乘法分配律計(jì)算．【規(guī)范解答】（1）解：?10+4=?6；（2）解：?3?4+19?11+2=?=?18+19+2=3；（3）解：?81=?81÷=?81×=?16；（4）解：?==9?6+4=7．考點(diǎn)10：有理數(shù)四則混合運(yùn)算【典例精講】（24-25七年級上·新疆烏魯木齊·期末）計(jì)算下面各題．（能簡算的要簡算．）(1)4(2)1.2×(3)13?【答案】(1)25(2)0.1；(3)627【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算除法，再算加減即可；（2）利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先把除法變成乘法，再利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：4====2（2）解：1.2×=1.2×=0.3+0.2?0.4=0.1；（3）解：13?==13×==62【變式訓(xùn)練】（24-25七年級上·湖南永州·開學(xué)考試）計(jì)算下面各題，能簡算的要簡算(1)1(2)3.28×37+6.4×32.8?328×1(3)9.6?11÷7+(4)5【答案】(1)3(2)328(3)8.6(4)4【思路引導(dǎo)】本題考查了運(yùn)算定律與簡便運(yùn)算，四則混合運(yùn)算，注意運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用所學(xué)的運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算．（1）先算小括號里面的減法，再算中括號里面的乘法，最后算中括號外面的除法；（2）將原式變形為328×0.37+0.64×328?328×0.01，再根據(jù)乘法分配律逆運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（3）將原式變形為9.6?11×（4）將原式變形為512【規(guī)范解答】（1）解：原式=====3（2）解：原式=328×0.37+0.64×328?328×0.01=328×=328×1=328；（3）解：原式=9.6?=9.6?=9.6?=9.6?1=8.6；（4）解：原式===1×=4考點(diǎn)11：有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【典例精講】（24-25七年級上·陜西咸陽·期末）章明同學(xué)上一周內(nèi)晨跑的時長如表所示（單位：分鐘，以30分鐘為基準(zhǔn)，超過30分鐘的部分記為“+”，不足30分鐘的部分記為“?”）：周一周二周三周四周五周六周日?8+12?6+11+14?3+10(1)他上一周內(nèi)晨跑時間最長的一天比最短的一天多跑了幾分鐘？(2)若他晨跑的平均速度為每分鐘0.1千米，這七天他共跑了多少千米？【答案】(1)22分鐘(2)24千米【思路引導(dǎo)】（1）用記錄值的最大值減去記錄值的最小值即可求解；（2）列式求出七天共跑的時長，再乘以平均速度即可求解；本題考查了有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出算式是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】（1）解：+14??8答：他上一周內(nèi)晨跑時間最長的一天比最短的一天多跑了22分鐘；（2）解：30×7+?8+12+0.1×240=24千米，答：這七天他共跑了24千米．【變式訓(xùn)練】．（24-25七年級上·廣東江門·階段練習(xí)）“滴滴”司機(jī)李師傅周日上午在南北方向的江門大道上營運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載十批乘客，若規(guī)定向北為正，李師傅營運(yùn)十批乘客里程如下：（單位：千米）+8,?6,+3,?6,+8,+4,?8,?4,+3,+3(1)將最后一批乘客送到目的地時，李師傅距離第一批乘客出發(fā)地的南面還是北面？距離出發(fā)地多少千米？(2)若汽車每千米耗油0.04升，則汽車共耗油多少升？(3)若“滴滴”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價11元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元．則李師傅在上午一共收入多少元？【答案】(1)將最后一批乘客送到目的地時，李師傅在第一批乘客出發(fā)地的北面，距離出發(fā)地是5千米．(2)2.12升(3)156元【思路引導(dǎo)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用、有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用等知識點(diǎn)，明確正負(fù)數(shù)的含義及題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）把記錄的數(shù)字相加即可得到結(jié)果，結(jié)果為正則在北面，結(jié)果為負(fù)則在南面，據(jù)此即可解答；（2）把記錄的數(shù)字的絕對值相加，再乘以0.04，即可得答案；（3）先計(jì)算起步費(fèi)總額，再將超過3千米部分的路程相加，所得的和乘以2，將起步費(fèi)加上超過3千米部分的費(fèi)用，即可得答案．【規(guī)范解答】（1）解：∵+8+∴將最后一批乘客送到目的地時，李師傅在第一批乘客出發(fā)地的北面，距離出發(fā)地是5千米．（2）解：+8+=8+6+3+6+8+4+8+4+3+3=53千米，∴0.04×53=2.12升，答：汽車共耗油2.12升．（3）解：∵共營運(yùn)十批乘客，∴起步費(fèi)為：10×11=110（元），超過3千米部分的收費(fèi)總額為：2×8?3+6?3+6?3+8?3+4?3+8?3+4?3∴110+46=156（元），答：李師傅在上午一共收入156元．考點(diǎn)12：根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【典例精講】（24-25七年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中a與c互為相反數(shù)．(1)填空：a+c=______，ac(2)用“>”或“<”填空：b?a______0，a+b______0，ab______0；(3)在數(shù)軸上標(biāo)出?a，?b，比較【答案】(1)0，?1(2)>，<，<(3)在數(shù)軸上表示見解析，a<?b<b<?a【思路引導(dǎo)】本題考查數(shù)軸、絕對值，掌握數(shù)軸上數(shù)的特點(diǎn)和有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相反數(shù)的定義及有理數(shù)的除法計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的特點(diǎn)和有理數(shù)的運(yùn)算法則判斷并計(jì)算即可；（3）先在數(shù)軸上標(biāo)出?a，【規(guī)范解答】（1）解：a、c互為相反數(shù)，則a+c=0，∴a=?c，∴ac故答案為：0，?1；（2）解：∵a<0<b<c，且a>∴b?a>0，a+b<0，故答案為：>，<，<；（3）解：在數(shù)軸上標(biāo)出?a，∴a<?b<b<?a．【變式訓(xùn)練】（23-24七年級上·廣東揭陽·期中）已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)試判斷式子a+ca?b(2)化簡：|a?b+【答案】(1)a+c(2)?3a?c【思路引導(dǎo)】（1）由a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得出c<a<0<b，a+b>0，得出a+c<0，a?b<0，即可得出結(jié)果；（2）由絕對值的意義求出各個絕對值，再合并即可．【規(guī)范解答】（1）根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得：c<a<0<b，a+b>0，∴a+c<0，a?b<0，∴a+ca?b（2）|a?b=?=?a+b?a?c?a?b=?3a?c．【考點(diǎn)剖析】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的關(guān)系、絕對值的意義、整式的加減；熟練掌握數(shù)軸和有理數(shù)的關(guān)系、絕對值的意義，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)13：數(shù)軸上的翻折【典例精講】（24-25七年級上·浙江杭州·期中）若在正方形的四個頂點(diǎn)處依次標(biāo)上“我”“愛”“數(shù)”“學(xué)”四個字，且將正方形放置在數(shù)軸上，其中“我”“愛”對應(yīng)的數(shù)分別為?2和?1，如圖，現(xiàn)將正方形繞著頂點(diǎn)按順時針方向在數(shù)軸上向右無滑動地翻滾．例如，第一次翻滾后“數(shù)”所對應(yīng)的數(shù)為0，則連續(xù)翻滾后數(shù)軸上數(shù)2024對應(yīng)的字是（

）A．我 B．愛 C．?dāng)?shù) D．學(xué)【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸及翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有理數(shù)的除法運(yùn)算，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變化規(guī)律確定每4次翻轉(zhuǎn)為一次循環(huán)組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)規(guī)律可知，“我”字是數(shù)字除以4余2的，“愛”是除以4余3的，“數(shù)”是能被4整除的，“學(xué)”是除以4余1的，由此可以推出連續(xù)翻滾后數(shù)軸上數(shù)2024對應(yīng)的字．【規(guī)范解答】由題意得，“我”字是數(shù)字除以4余2的，“愛”是除以4余3的，“數(shù)”是能被4整除的，“學(xué)”是除以4余1的，∵2024÷4=506，所以數(shù)字對應(yīng)“數(shù)”，故選：C．【變式訓(xùn)練】（2025·河北秦皇島·一模）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．(1)若2表示的點(diǎn)與?2表示的點(diǎn)重合，則?3表示的點(diǎn)與哪個數(shù)表示的點(diǎn)重合；(2)若?4表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①1表示的點(diǎn)與哪個數(shù)表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為5（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【答案】(1)3(2)①?3，②A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是?72、【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸，主要利用了數(shù)軸的對稱性，讀懂題目信息，分別求出對稱中心是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)數(shù)軸判斷出對稱中心，然后解答即可；（2）先根據(jù)數(shù)軸判斷出對稱中心，①根據(jù)對稱中心列式求解即可；②求出AB的一半，再根據(jù)對稱中心分別列式計(jì)算即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：（1）∵2表示的點(diǎn)與?2表示的點(diǎn)重合，∴對稱中心為0，∴?3表示的點(diǎn)與數(shù)3表示的點(diǎn)重合；（2）∵?4表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)重合，∴對稱中心為?4+22①∵?3+12∴1表示的點(diǎn)與數(shù)?3表示的點(diǎn)重合；②∵A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，∴AB的一半為52∵A在B的左側(cè)，∴點(diǎn)A表示?1?5點(diǎn)B表示?1+5A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是?72、1．（2023·四川達(dá)州·中考真題）?2023的倒數(shù)是（

）A．2023 B．?2023 C．?12023 【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查的是倒數(shù)的含義，熟記倒數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)的定義可得答案．【規(guī)范解答】解：?2023的倒數(shù)是?1故選：C．2．（2023·北京·中考真題）實(shí)數(shù)a、b、c、d在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．a(chǎn)>?4 B．bd>0 C．a(chǎn)>b 【答案】C【思路引導(dǎo)】根據(jù)a,b,c,d在數(shù)軸上的位置，結(jié)合有理數(shù)的乘法、加法，絕對值的意義可得答案．【規(guī)范解答】解：由題意得：a<b<0<c<d，由題意可得，a<?4，所以A錯誤，由b＜0,d>0，則由a<b＜0，則?a>?b>0，即∵?2<b<?1，0<c<1，∴b+c<0,所以D錯誤，故選擇：C．【考點(diǎn)剖析】本題考查有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加法與乘法結(jié)果的符號的確定，絕對值的大小，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川甘孜·中考真題）?23的倒數(shù)是（A．23 B．32 C．?2【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查了倒數(shù)的概念，根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行求解即可，熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：?23的倒數(shù)是故選：D．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）?2022的倒數(shù)是（）A．12022 B．2022 C．?12022【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查的是倒數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．根據(jù)倒數(shù)的定義依次分析即可得到結(jié)果．【規(guī)范解答】解：∵?2022×1∴?2022的倒數(shù)是?1故答案為：C．5．（2025·四川自貢·中考真題）若?4×□=8，則□內(nèi)的數(shù)字是（

A．?2 B．2 C．4 D．?4【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查的是有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)?4×?2【規(guī)范解答】解：∵?4×?2∴則□內(nèi)的數(shù)字是?2，故選：A基礎(chǔ)夯實(shí)1．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）（商品問題）妮妮去文具店購買修正帶，某品牌的修正帶有兩款，普通版20米長售價5.4元，加長版30米長售價7.5元，（

）更優(yōu)惠．A．普通版 B．加長版 C．兩者相同 D．不能比較【答案】B【思路引導(dǎo)】本題主要考查了小數(shù)除法的實(shí)際應(yīng)用以及小數(shù)大小的比較，明確單價、數(shù)量和總價之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)總價÷數(shù)量=單價，分別求出兩款修正帶每米的錢數(shù)，再進(jìn)行比較即可判定．【規(guī)范解答】解：普通版修正帶每米的錢數(shù)為：5.4÷20=0.27（元），加長版修正帶每米的錢數(shù)為：7.5÷30=0.25（元），0.27>0.25，所以，加長版更優(yōu)惠．故選：B．2．（24-25七年級上·廣西梧州·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么下列式子中成立的是（A．b+1<a B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)b>0 D．a(chǎn)【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的乘除法，掌握兩個數(shù)相除（除數(shù)不能為零，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸可以判斷，再結(jié)合有理數(shù)的加減乘除法則從而可以解答本題．【規(guī)范解答】解：因?yàn)閎<0<1<aA、因?yàn)閎>1，所以b+1<0<aB、因?yàn)閍>b，所以B不符合題意；C、因?yàn)閎<0<1<a，所以ab<0，故C不符合題意；D、因?yàn)閎<0<1<a，所以ab故選：A.3．（24-25七年級上·河北邢臺·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A．?3+2=?5 B．?2C．?5÷?1【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的加法，乘法，乘法和除法混合運(yùn)算，乘法分配律，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、?3+2=?1，原計(jì)算錯誤，不符合題意；B、?2×C、?5÷D、?12==6?4?1=1，原計(jì)算錯誤，不符合題意；故選：C．4．（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）記盈利額為正數(shù)，用正數(shù)或負(fù)數(shù)填空：（1）小商店平均每天盈利250元，一個月（按30天計(jì)算）的利潤是元；（2）小商店一星期的利潤是1400元，平均每天的利潤是元；（3）小商店一星期共虧損840元，平均每天的利潤是元．【答案】7500200?120【思路引導(dǎo)】本題主要考查了用有理數(shù)的乘除法解決實(shí)際問題，弄清題意是解決此類題目的關(guān)鍵．利用有理數(shù)的乘除法解決實(shí)際問題，弄清題意，列出式子求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）因?yàn)橐粋€月有30天，每天盈利250元，則一個月的利潤是：250×30=7500（元），故答案為：7500；（2）因?yàn)橐恍瞧谟?天，小商店一星期的利潤是1400元，則平均每天的利潤是：1400÷7=200（元），故答案為：200；（3）因?yàn)橐恍瞧谟?天，小商店一星期共虧損840元，即小商店一星期的利潤是?840元，則平均每天的利潤是：?840÷7=?120（元），故答案為：?120．故答案為：7500，200，?120．5．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）（牛吃草變形應(yīng)用）在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20級臺階后到達(dá)地面；如果他每秒向上邁兩級臺階，那么走過30級臺階后到達(dá)地面．從站臺到地面有級()臺階．【答案】60【思路引導(dǎo)】把自動扶梯問題轉(zhuǎn)化為牛吃草問題，先根據(jù)兩種邁臺階情況算出時間，再通過臺階數(shù)差和時間差求扶梯速度，最后求總臺階數(shù)．本題主要考查牛吃草問題的變形應(yīng)用，熟練掌握將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為牛吃草模型，通過計(jì)算時間、速度來求解總量是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：∵每秒邁1級，走20級，所用時間為20÷1=20秒；每秒邁2級，走30級，所用時間為30÷2=15秒，∴扶梯速度(30?20)÷(20?15)=2級/秒，∴當(dāng)每秒邁1級時，扶梯走了2×20=40級，總臺階數(shù)為20+40=60級，故答案為：60．6．（23-24七年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）小強(qiáng)和小麗去迷宮游玩，他們發(fā)現(xiàn)了一個秘密機(jī)關(guān)，機(jī)關(guān)的門口是一些寫著整數(shù)的數(shù)字按鈕，此時傳來一個機(jī)器人的聲音：“按兩個數(shù)，使積等于?12，兩個數(shù)不分順序．”則符合要求的按法共有種．【答案】6【思路引導(dǎo)】根據(jù)有理數(shù)乘法法則，兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘可分解出積為?12的因數(shù)，進(jìn)而解題即可．【規(guī)范解答】解：∵1×(?12)=?12，(?1)×12=?12；2×(?6)=?12，(?2)×6=?12；(?3)×4=?12，3×(?4)=?12．∴符合要求的按法共有6種．故答案為：6【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了有理數(shù)乘法法則的實(shí)際運(yùn)用，根據(jù)題意找出相關(guān)因數(shù)是關(guān)鍵．7．（24-25七年級上·河南商丘·期末）?112的倒數(shù)與?2【答案】0【思路引導(dǎo)】本題主要考查倒數(shù)及相反數(shù)的求法，可根據(jù)倒數(shù)及相反數(shù)的求法，求得?112的倒數(shù)及【規(guī)范解答】解：?112的倒數(shù)為?23，而?2故答案為：0．8．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）星期天，李老師從學(xué)校出發(fā)，開車去游玩，她先向東行30km，到陳家峪，下午她又向西行40km，回到家中（學(xué)校、陳家峪、李老師家在同一直線上），若規(guī)定向東的方向?yàn)檎较颍?1)用有理數(shù)表示李老師兩次所行的路程；(2)如果汽車行駛1km耗油0.15L，計(jì)算這天汽車共耗油多少升？【答案】(1)第一次所行的路程為+30km，第二次所行的路程為?40(2)10.5【思路引導(dǎo)】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）向東的方向?yàn)檎较颍敲聪驏|走用正數(shù)表示，向西走用負(fù)數(shù)表示，據(jù)此求解即可；（2）求出總路程，再乘以每千米的油耗即可得到答案．【規(guī)范解答】（1）解：∵李老師先向東行30km到達(dá)陳家峪，再向西行40km∴第一次所行的路程為+30km，第二次所行的路程為?40（2）解：0.15×+30=0.15×=0.15×70=10.5L答：這天汽車共耗油10.5L9．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)8+?(2)?3×(3)?3【答案】(1)11(2)?(3)0【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的乘法和加法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法；（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：原式=8+1（2）解：原式=?3×5（3）解：原式=0．10．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）（商品經(jīng)濟(jì)）秋冬季節(jié)來臨，我國很多地方出現(xiàn)了霧霾天氣，口罩成為了熱銷品．下面是小商品批發(fā)市場KN95口罩批發(fā)信息．張老板從批發(fā)市場共批發(fā)口罩12捆，前2天以每只4元的價格賣出全部口罩的2口罩批發(fā)信息1.10捆起批（每捆口罩50只）2．每捆批發(fā)價100元3．超過10捆，超過部分每捆優(yōu)惠1【答案】張老板一共賺了700元．【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)利潤=總銷售額?總成本求解即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：100×10+12?1012×50=600（只），4×600×2200?320?1180=700（元），答：張老板一共賺了700元．培優(yōu)拔高11．（24-25七年級上·河北唐山·階段練習(xí)）已知有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①a<b；②|a|>|b|；③?a<b；④ab<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路引導(dǎo)】此題考查了數(shù)軸，及有理數(shù)運(yùn)算法則，弄清數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)的特征是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得出兩個數(shù)的大小關(guān)系、正負(fù)情況、絕對值大小情況，再依據(jù)有理數(shù)的乘法法則、加法法則、去絕對值法則、除法法則判斷即可求解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：a<?1<0<b<1，∴|a|>|b|，?a>b，ab<0，即①②④正確，③錯誤，∴結(jié)論中正確的個數(shù)是3．故選：C．12．（24-25七年級上·河北滄州·期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把運(yùn)算符號“+、?、×、A．+ B．? C．× D．÷【答案】B【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的四則運(yùn)算，根據(jù)數(shù)軸得到?3<a<?2,1<b<2，再根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算法則判斷即可．【規(guī)范解答】解：由數(shù)軸可得?3<a<?2,1<b<2，∴b+a<0，b?a>0，b×a<0，b÷a<0，∴使運(yùn)算b□a結(jié)果最大，應(yīng)該填入的符號是?，故選：B．13．（24-25七年級上·陜西咸陽·開學(xué)考試）開學(xué)前，甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢，合伙購買同種規(guī)格的文件夾．買來后，甲、乙分別比丙多拿了5、7個文件夾，最后結(jié)算時，甲付給丙8元，乙應(yīng)付給丙（

）元A．24 B．11.2 C．14 D．17.5【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，由條件可知三個人出了同樣的錢買所有商品，所以三人在丙拿的件數(shù)以外還有5件商品的錢是丙付的，甲多拿了丙1件，乙多拿了丙的3件，所以必須還丙的錢，按比例可推出結(jié)果．【規(guī)范解答】解：5+7÷3=4∴一件是8元．8×7?4所以，乙付給丙24元．故選：A．14．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）已知有理數(shù)a，b，c，d滿足2024=9a=15b=32c=68d，那么（

）A．a(chǎn)>b>c>d B．a(chǎn)<b<c<dC．a(chǎn)+9>b+15>c+32>d+68 D．a(chǎn)+9=b+15=c+32=d+68【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查有理數(shù)的除法和有理數(shù)的大小比較．根據(jù)已知條件可得a=20249，b=202415，【規(guī)范解答】解：∵有理數(shù)a，b，c，d滿足2024=9a=15b=32c=68d，∴a=20249，b=202415，∵20249∴a>b>c>d，故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)B不符合題意；∵a=20249=22489，b=∴a+9=22489+9=233c+32=6314+32=95∵2338∴a+9>b+15>d+68>c+32，故選項(xiàng)C、D不符合題意．故選：A．15．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）（相遇問題）從A地到B地，甲車需要行駛10小時，乙車需要行駛8小時．現(xiàn)在兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，相遇時甲車離兩地中點(diǎn)還有30千米．A、B兩地相距()千米．【答案】540【思路引導(dǎo)】此題主要考查了相遇應(yīng)用題，根據(jù)題意，甲車比乙車慢，相遇時甲車未到中點(diǎn)，乙車已過中點(diǎn)，可知乙車比甲車多行駛的路程為30×2=60千米，再計(jì)算出兩車行駛的路程差占總路程的分率，用60千米除以這個分率即可求得總路程．【規(guī)范解答】解：30×2÷=60÷=540千米，答：A、B兩地相距540千米．故答案為：540．16．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）游泳池蓄水時，3h水位上升了9cm，排水時，3h下降了24cm．如果用“+”表示水位上升，用“－”表示水位下降，那么蓄水時，3h上