第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年湖南省高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|4<x2<26}，B={2,4,5,6,7}，則A∩B=A.{5} B.{4,5} C.{2,4,5} D.{4,5,6}2.已知圓O：x2+y2=r2(r>0)，則“點(diǎn)A(1,0)在圓OA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，w=a+bi，其中a，b∈R，若zw??zA.a+b=0 B.a+b≠0 C.a?b=0 D.a?b≠04.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，α//β，則m//β

B.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n

C.若m⊥α，n⊥β，n⊥m，則α⊥β

D.若m//α，m?β，α∩β=n，則m與n相交5.在△ABC中，sinA=13,AB=BC=2，則A.83 B.6 C.36.已知圓錐和圓柱的底面半徑均為r，高均為?，若圓錐與圓柱的表面積之比為4：7，則?r=(

)A.35 B.53 C.437.債券是金融市場中一種常見的投資產(chǎn)品，“債券現(xiàn)值”是其最重要的屬性、一種常用的債券現(xiàn)值計(jì)算公式為PV=i=1nCi(1+r)i+Fn(1+r)n，其中PV為債券現(xiàn)值，n表示債券的期限(單位：年)，Ci為第i年的利息，F(xiàn)n為nA.12 B.13 C.238.已知sinα+2sinβ=2，則cos(α+β)的最大值為(

)A.18 B.14 C.16二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a>0，圓O：x2+y2=a2，直線l1：x+ay+2=0A.l1與l2不可能垂直

B.若a=1，則l1與圓O相切

C.若a=22，則l2與圓O相交

10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)?2xy=f(x)+f(y)，f(1)=0，則(

)A.f(2)=2 B.f(12)=?14

C.f(x+1)11.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Γ：(x2+yA.Γ與y軸無交點(diǎn) B.Γ關(guān)于直線y=x對(duì)稱

C.若點(diǎn)P在Γ上，則|OP|<5 D.若曲線y=ax三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(2,?1)、b=(6,k)，若a⊥(a13.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，已知Tn+1?T14.已知函數(shù)f(x)=x3?mx2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=3cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為2π3．

(1)求f(x)圖象的對(duì)稱軸方程；

(2)在△ABC中，AC=8，△ABC16.(本小題15分)

在數(shù)列{an}中，a1=12,an+12n=an2n+1+17.(本小題15分)

已知圓C：(x?a)2+y2=r2(a>4,r>0)，過圓C內(nèi)的點(diǎn)A(4,0)的弦長的最大值為4，最小值為23．

(1)求圓C的方程．

(2)點(diǎn)B是x軸上異于點(diǎn)A的一個(gè)點(diǎn)，且對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)P,|PB||PA|為定值．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?mx2，m∈R．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍；

(3)若m>0，實(shí)數(shù)a，b滿足f′(a)=f(a+1)?f(a)，f′(b)=f(b)?f(b?1)，試比較19.(本小題17分)

如圖，將△EAB，△ECB，△ECD，△EAD四個(gè)三角形拼接成形如漏斗的空間圖形ABCDE，其中EA=EC，EB=ED，AB=BC=CD=DA.連接AC，BD，過點(diǎn)E作平面α，滿足AC//α，BD//α．

(1)證明：AC⊥BD．

(2)若EA=2,EB=AB=1，且AC=BD．

(i)求AC到平面α的距離與BD到平面α的距離的平方和；

(ii)求平面AEB與平面α

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由A={x|4<x2<26}，B={2,4,5,6,7}，

得A∩B={4,5}．

故選：B．

2.【答案】A

【解析】解：|OA|=1，|OB|=2，

因點(diǎn)A在圓外，故|OA|>r，即r<1，故r<|OB|，即點(diǎn)B在圓外，

故“點(diǎn)A(1,0)在圓O外”是“點(diǎn)B(1,1)在圓O外”的充分條件；

因點(diǎn)B在圓外，故|OB|=2>r，但不能判斷|OA|與r的大小關(guān)系．

故“點(diǎn)A(1,0)在圓O外”不是“點(diǎn)B(1,1)在圓O外”的必要條件．

綜上，“點(diǎn)A(1,0)在圓O外”是“點(diǎn)B(1,1)在圓O外”的充分不必要條件．

故選：A3.【答案】D

【解析】解：由題意，z?=1?i,w?=a?bi(a,b∈R)，

所以zw?=(1+i)(a?bi)=a?bi+ai?bi2=a+b+(a?b)i，

z?w=(1?i)(a+bi)=a+bi?ai?bi2=a+b+(b?a)i，

所以zw??4.【答案】C

【解析】解：已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，

對(duì)于A，已知m/?/α，α/?/β，

則直線m可能與平面β平行，也可能在平面β內(nèi)，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，已知α⊥β，m?α，n?β，此時(shí)直線m與n可能平行、相交或異面，不一定垂直，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，已知m⊥α，n⊥β，n⊥m，則直線m，n所在的方向向量即分別為平面α，β的法向量，

兩法向量垂直，則兩面垂直，

故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，已知m/?/α，m?β，α∩β=n，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，如果一條直線和一個(gè)平面平行，

經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，所以m/?/n，

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：C．

利用空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過分析每個(gè)選項(xiàng)中所給條件，判斷直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是否成立．

本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．5.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，AB=BC，可得A=C，B=π?(A+C)=π?2A，

因?yàn)閟inA=13，所以cosB=cos(π?2A)=?cos2A=2sin2A?1=?79，

根據(jù)余弦定理，可得AC2=AB2+BC2?2AB?BCcosB=2+2?2×6.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐的表面積為S1，圓柱的表面積為S2，由圓錐和圓柱的底面半徑均為r，高均為?，

得圓錐的母線l=r2+?2，圓柱的母線為?，

則S1=πr2+πrl=πr(r+r2+?2)，S2=2πr2+2πr?=2πr(r+?)．

由S7.【答案】D

【解析】解：由題意可得，n=5時(shí)，i=152．1i(1+0.05)i=2．11(1+0.05)1+2．12(1+0.05)2+…+2．15(1+0.05)5

=2+4+8+…+32=2(1?25)1?2=62，

所以PV=i=18.【答案】B

【解析】解：設(shè)α+β=θ，則α=θ?β，

所以sin(θ?β)+2sinβ=(2?cosθ)sinβ+sinθcosβ=2，

(2?cosθ)2+sin2θsin(β+φ)=2≤(2?cosθ)2+sin2θ=5?4cosθ，

其中tanφ=sinθ2?cosθ9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，直線l1：x+ay+2=0，l2：2ax+y+1=0，

若l1與l2垂直，則1×2a+a×1=0，解得a=0，又a>0，所以l1與l2不可能垂直，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，圓O：x2+y2=a2，當(dāng)a=1時(shí)，圓O：x2+y2=1，半徑為1，l1：x+y+2=0，

圓心到直線的距離d=|0+0+2|12+12=22=2>1，即直線l1與圓O相離，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，若a=22，圓O：x2+y2=12，半徑為22，l2：2x+y+1=0，

圓心到直線的距離d=|0+0+1|(2)2+12=13<12=22，即直線l2與圓O相交，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，圓10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)?2xy=f(x)+f(y)，f(1)=0，

令x=y=1，可得f(1+1)?2=f(1)+f(1)，即f(2)=2f(1)+2，

所以f(2)=2，所以A正確；

對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)?2xy=f(x)+f(y)，

所以令x=y=12，可得f(12+12)?12=f(12)+f(12)，

即2f(12)=f(1)?12，f(1)=0，所以f(12)=?14，所以B正確；

對(duì)于C，令y=1，則f(x+1)?2x=f(x)+f(1)且f(1)=0，所以f(x+1)=f(x)+2x，

令g(x)=f(x+1)，則g(?x)=f(?x+1)，

由f(x+1)=f(x)+2x，可得f(?x+1)=f(?x)?2x，

則g(x)+g(?x)=f(x+1)+f(?x+1)=f(x)+2x+f(?x)?2x=f(x)+f(?x)，

令x=0，y=0，可得f(0)?0=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，

令y=?x，可得f(0)?2x(?x)=f(x)+f(?x)，所以f(x)+f(?x)=2x2，

因?yàn)?x2不恒為0，所以g(x)不是偶函數(shù)，即f(x+1)不是偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，設(shè)?(x)=f(x)?x2，則?(?x)=f(?x)?x2，

令y=?x，可得f(x)+f(?x)=2x2，

所以?(x)+?(?x)=f(x)?x2+f(?x)?x2=f(x)+f(?x)?2x2=2x2?2x2=0，

即?(?x)=??(x)，所以?(x)為奇函數(shù)，即f(x)?x11.【答案】BCD

【解析】解：令x=0，因此曲線Γ的方程變?yōu)?0+y2)(0+y2?4)=sin20?cos2y，

即y2(y2?4)=?cos2y，結(jié)合sin2y+cos2y=1，化簡可得y4?4y2+1?sin2y=0．

令f(y)=y4?4y2+1?sin2y，

f(0)=1，f(1)=?2?sin21<0，因此f(0)?f(1)<0．

根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知，f(y)=y4?4y2+1?sin2y在區(qū)間[?2,?1]，[0,1]內(nèi)有零點(diǎn)，

因此Γ與y軸有交點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，因此將曲線方程中的x與y互換后方程不變，

將x與y互換，原方程(x2+y2)(x2+y2?4)=sin2x?cos2y，

變?yōu)?y2+x2)(y2+x2?4)=sin2y?cos2x，

需驗(yàn)證右邊sin2x?cos2y與sin2y?cos2x是否相等：

利用三角恒等式sin2α+cos2α=1，對(duì)右邊變形：

sin2x?cos2y=sin2x?(1?sin2y)=sin2x+sin2y?1，

sin2y?cos2x=sin2y?(1?sin2x)=sin2x+12.【答案】7

【解析】解：由題意可知，a?b=(?4,?1?k)，

因?yàn)閍⊥(a?b)，

所以a?(a?b)=?8+1+k=0，

13.【答案】3121【解析】解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，已知Tn+1?Tn=2n，且a1=1，

故當(dāng)n≥2時(shí)，Tn?Tn?1=2(n?1)，

可得Tn=T1+(T214.【答案】3

【解析】解：先證：一元三次方程韋達(dá)定理．

設(shè)方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三個(gè)根，則有x1+x2+x3=?bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=?da，

證明：因?yàn)榉匠蘟x3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三個(gè)根，

因此方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)15.【答案】x=?π18+kπ3，k∈Z【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為2π3，

可得2πω=2π3，故ω=3，

故f(x)=3cos(3x+π6)，

令3x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=?π18+kπ3，k∈Z，

可得f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x=?π18+kπ3，k∈Z；

(2)由f(A3)=0得cos(A+π6)=0，

又A∈(0,π)，所以A+π6=π2，即A=π3．

因?yàn)锳B+AC+BC=4AB，所以BC+8=3AB16.【答案】an=n2n【解析】(1)由數(shù)列{an}中，a1=12,an+12n=an2n+1+122n+1，

可得2n+1an+1?2nan=1．

所以數(shù)列{2nan}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，

所以2nan=1+(n?1)×1=n17.【答案】(x?5)2+y2=4．【解析】(1)解：圓C：(x?a)2+y2=r2(a>4,r>0)，過圓C內(nèi)的點(diǎn)A(4,0)的弦長的最大值為4，最小值為23．

圓的最長弦為直徑，∴2r=4，得r=2．

最短弦為與直徑垂直的弦，由垂徑定理可得：2r2?(a?4)2=23，又a>4，∴a=5，

故圓C的方程為(x?5)2+y2=4．

(2)解：(i)設(shè)P(x,y)，B(b,0)，則|PB|2|PA|2=(x?b)2+y2(x?4)2+y2，

∵點(diǎn)P在圓C上，∴將y2=4?(x?5)2代入上式，

得|PB|2|PA|2=(x?b)2?(x?5)2+4(x?4)2?(x?5)18.【答案】y=x+1．

(e2,+∞)．

【解析】(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex?2mx，

那么f′(0)=1，f(0)=1，

因此切線為y=x+1．

(2)記g(x)=f′(x)，那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex?2m，

由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，因此g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

若m≤0，那么g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，不符合題意．

若m>0，當(dāng)x∈(ln2m,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(?∞,ln2m)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)min=g(ln2m)=2m(1?ln2m)

又當(dāng)x→+∞或x→?∞時(shí)，都有g(shù)(x)→+∞，

因此只需2m(1?ln2m)<0，即1?ln2m<0，解得m>e2，

即m∈(e2,+∞)．

(3)根據(jù)f′(a)=f(a+1)?f(a)，

得ea?2ma=ea+1?m(a+1)2?ea+ma2，整理得a=lnme?2．

根據(jù)f′(b)=f(b)?f(b?1)，

得eb?2mb=eb?mb2?eb?1+m(b?1)2，解得b=1+lnm．

所以f′(a)?f′(b)=me?2?2mln19.【答案】證明：取AC的中點(diǎn)M，連接BM，DM．

因?yàn)锳B=BC，CD=AD，M為AC的