2.4.2簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式，體現(xiàn)邏輯推理能力(

重

點(diǎn)

)2.結(jié)合冪函數(shù)的圖象，理解它們的變化規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力(

重

點(diǎn)

)3.能利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力(

難

點(diǎn)

)觀察下面的函數(shù)：y=x1

正比例函數(shù)

指數(shù)為1

反比例函數(shù)

指數(shù)為-1y=x2

一元二次函數(shù)指數(shù)為2思考一下：這些函數(shù)有什么共同的特點(diǎn)?我們這節(jié)課學(xué)習(xí)這類函數(shù)——冪函數(shù).冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=xa

叫

做冪函數(shù)，其中x

是自變量，α是常數(shù)冪函數(shù)的特征：冪y=xα+

指數(shù)底數(shù)1.xa的系數(shù)為1;2.xa的底數(shù)是自變量；3.xa的指數(shù)為常數(shù).新課學(xué)習(xí)練一練：下列函數(shù)中哪些函數(shù)是冪函數(shù)?的圖象如下圖，研究一下圖象的性質(zhì)1.冪函數(shù)一定出現(xiàn)在第一象限，

一定不出現(xiàn)在第四象限.2.偶函數(shù)的圖象分布在第一、二象限，奇函數(shù)的圖象分布在第一、三象限.非奇非偶函數(shù)只在第一象限.下面我們來研究冪函數(shù)的圖象：冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x2下面我們來研究冪函數(shù)的圖象：冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x?1,的圖象如下圖，研究一下圖象的性質(zhì)3.只有當(dāng)α>0時(shí)冪函數(shù)的圖象才與坐標(biāo)軸相交，且交點(diǎn)一定是零點(diǎn).4.當(dāng)a>0

時(shí)，圖象都過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)且在(0,+o)上是增函數(shù)，當(dāng)a<0

時(shí)，圖象都過點(diǎn)(1,1)且在(0,+∞)上是減函數(shù).y=xy=x2y=x31y=x2y=x-1定義域RRR[0,+∞]{x|x≠0}值域R[0,+∞]R[0,+∞]{ylv≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)在[0,+∞]上單調(diào)遞增，在[-∞,0]上單調(diào)遞減增函數(shù)在[0,+∞]上單調(diào)遞增在(0,+∞)上單調(diào)遞減，在(-∞,0)

上單調(diào)遞減下面我們來研究冪函數(shù)的圖象：思考交流

在圖中，只畫出了函數(shù)在y軸某一側(cè)的圖象，請(qǐng)你畫出函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖象，并說出畫法的依據(jù).前三個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，后兩個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.yl

y=x2+1-1

0

X-1分類比較對(duì)象方法指數(shù)相同，底數(shù)不同x“與x2利用冪函數(shù)y=x的單調(diào)性底數(shù)相同，指數(shù)不同a

與

a

2利用不等式性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)都不同a?與

b?2尋找“中間量”a2或b或1或0等思考一下

：如何判斷兩個(gè)值的大小?新

課

學(xué)

習(xí)練一練：已知冪函數(shù)f(x)=(3m2-2m)xm(m

∈R)在定義域上不單調(diào)

.(1)函數(shù)f(x)=(3m2-2m)x

m是否具有奇偶性?請(qǐng)說明理由；由題意3m2-2m=1,解得

或m=1,當(dāng)m=1

時(shí)，f(x)=x,函數(shù)f(x)=x在R上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)

時(shí)，

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)U(0,+∞0),函數(shù)

在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，但f(-1)=-1,f(1)=1,所以函數(shù)在定義域(-∞,0)U(0,+∞)

上不單調(diào)，符合題意，所以因?yàn)楹瘮?shù)

的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且新

課

學(xué)

習(xí)練

一

練：已知冪函數(shù)f(x)=(3m2-2m)xm(m∈R)在定義域上不單調(diào)

.(1)函數(shù)f(x)=(3m2-2m)x

m是否具有奇偶性?請(qǐng)說明理由；所以f(x)為奇函數(shù)而f(x)在(-∞,0)上遞減且恒負(fù)，在(0,+∞)上遞減且恒正，所以或或解得a<-1

或

新課

學(xué)

習(xí)練一練：已知冪函數(shù)f(x)=(3m2-2m)xm(m∈R)在定義域上不單調(diào).(2)若f(a+1)+f(2a-3)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.由f(a+1)+f(2a-3)<0及f(x)

為奇函數(shù)，可得f(a+1)<-f(2a-3)=f(3-2a),即課

堂

鞏

固1.如圖所示，函數(shù)

,y=x,y=1的圖象和直線x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)部分：①②③④⑤⑥⑦⑧

.若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過的部分是④⑧,則f(x)

可能是(B)

A.y=x2

B

C

D.y=x?2課

堂

鞏

固解析：函數(shù)y=x°的圖象過④⑧部分，所以函數(shù)y=x“在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，所以α<0.又易知x=2

時(shí)，.故只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B.2.“m=-3

或m=2”

是“冪函數(shù)f(x)=(m2+m-5)x"2+m為偶函數(shù)”的(

CA.充分不必要條件

B.

必要不充分條件C.

充要條件

D.既不充分也不必要條件解析：由f(x)=(m2+m-5)x”2+m

為冪函數(shù)，可得m2+m-5=1,

解得m=-3

或m=2,且m=2時(shí)

，f(x)=x?為偶函數(shù)，當(dāng)m=-3時(shí)

，f(x)=x?也為偶函數(shù)，故“m=-3或m=2”是“冪函數(shù)f(x)=(m2+m-5)x”2+”

為偶函數(shù)”的充要條件故選：C.課

堂

鞏

固3.若冪函數(shù)f(x)=(m2-2m-2)x”在(0,+∞)單調(diào)遞減，則f(2)=(D)A.8

B.3C.-1

D

課

堂

鞏

固解析：∵f(x)是冪函數(shù)，∴m2-2m-2=1,解得m=3或

m=-1,又函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，則m=-1,即有冪函數(shù)f(x)=x?1,∴

故選：D.4.若f(x)=(m2-m-1

)x”為冪函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1

對(duì)稱，則m=(D)A.-1

B.1

C.-2D.2解析：因?yàn)閒(x)=(m2-m-1)x”為冪函數(shù)，所以m2-m-1=1,

解得m=2或m=-1當(dāng)m=-1時(shí)

，f(x)=x?1,y=f(x+1)=(x+1)1,顯然不符合題意.當(dāng)m=2時(shí)

，f(x)=x2,y=f(x+1)=(x+1)2的圖像關(guān)于直線x=-1

對(duì)稱，所以m=2.故選：D5.已知冪函數(shù)f(x)=(-2m2+m+2)x”+

為偶函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)-2(a-1)x+1

在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(B)A.(一∞,3)B.

(-∞,3)U[4,+∞)C.

(3,4)D.(-1,3)U(4,6)課

堂

鞏

固解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(-2m2+m+2)x"+1

為冪函數(shù)，則-2m2+m+2=1,即2m2-m-1=0,解得m=1

或,

當(dāng)m=1時(shí)

，f(x)=x2為偶函數(shù)，符合題意；時(shí)，

為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.所以f(x)=x2,則y=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1,二次函數(shù)y=x2-2(a-1)x+1圖象的對(duì)稱軸為直線x=a-1.①若函數(shù)y=x2-2(a-1)x+1

在(2,3)上單調(diào)遞增，則a-1≤2,解得a≤3;②若函數(shù)y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上單調(diào)遞減，則a-1≥3,解得a≥4.綜上所述，實(shí)數(shù)a

的取值范圍是[-∞,3]U[4,+0).

故選B.當(dāng)6.若冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x”2+2m的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值-

1

解析：因?yàn)楹瘮?shù)