第28練雙曲線學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、單選題1．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，的漸近線方程為故選：C2．設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題知，所以.故選：D3．已知點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由雙曲線方程可得，點(diǎn)F坐標(biāo)為，將代入雙曲線方程，得，由于點(diǎn)P在第一象限，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)P到雙曲線的漸近線的距離為．Q是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，所以的最小值為．故選：B．4．若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．9 C． D．3【答案】A【詳解】的漸近線方程滿足，所以漸進(jìn)線與平行，所以漸近線方程為，故故選：A5．江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了頂峰，它藍(lán)白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可知該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4，點(diǎn)在該雙曲線上．設(shè)該雙曲線的方程為，則解得，，故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：D.6．如圖，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線與圓相切于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，因?yàn)?，所以，則在中，，即，即.故選：A.7．已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若△OMF（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為8，則C的實(shí)軸長為（

）A．8 B． C．6 D．【答案】A【詳解】由題意可得．取漸近線，易知點(diǎn)到直線的距離為b，則，所以，聯(lián)立得．所以C的實(shí)軸長為8．故選：A8．雙曲線，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，D是線段OF的中點(diǎn)，若B是圓上的一點(diǎn)，則△ABD的面積的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，雙曲線斜率為正的漸近線方程為，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)D是線段OF的中點(diǎn)，則直線AD的方程為，點(diǎn)B是圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)B到直線AD距離的最大值也就是圓心O到直線AD的距離d加上半徑，即，，則故選：A9．已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯(cuò)誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時(shí)，，此時(shí)c不確定，故焦距不是定值，C錯(cuò)誤；若E的離心率為，則此時(shí)曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，故D錯(cuò)誤，故選：B10．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．若雙曲線的方程為上，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為D．若，直線與相切，則【答案】C【詳解】在雙曲線中，，，則，易知點(diǎn)、，設(shè)，，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，此時(shí)，同理可知當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，，綜上所述，的取值范圍是，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，由角平分線定理可得，即，解得，D對(duì).故選：C.二、多選題11．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A1、A2，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是雙曲線上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，給出下列命題，其中是真命題的有（

）A．B．直線PA1、PA2的斜率之積等于定值C．使得△PF1F2為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有8個(gè)D．△PF1F2的面積為【答案】BC【詳解】根據(jù)雙曲線的定義可得：，A錯(cuò)誤；設(shè)，則，即∵，則∴，B正確；不妨P在第一象限，根據(jù)雙曲線的定義可知若，結(jié)合圖象易知，則滿足條件的點(diǎn)存在且唯一若，結(jié)合圖象易知，則滿足條件的點(diǎn)存在且唯一根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知使得△PF1F2為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有8個(gè)，C正確；不妨P在第一象限，則∴則D不正確；故選：BC．12．已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確是（

）A．M的離心率為 B．M的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．M的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)【答案】ACD【詳解】根據(jù)題意雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，有，①，雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則過一三象限的漸近線的斜率為或，即或，②聯(lián)立①②可得：，，或，，；因?yàn)?，所以，，，故雙曲線的方程為對(duì)A，則離心率為，故A正確.對(duì)B，雙曲線的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，漸近線方程為，故C正確；對(duì)D，直線經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)，所以D正確.故選：ACD三、解答題13．設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且也為拋物線的的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即，，又點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.(2)解：依題意設(shè)，，由消去整理得，由，所以，，所以.14．已知雙曲線：過點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．【答案】(1)(2)2【解析】(1)由題設(shè)可知，解得則：．(2)設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線：易知點(diǎn)到軸的距離為﹔當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時(shí)點(diǎn)到軸的距離大于2；綜上所述，點(diǎn)到軸的最小距離為2．15．已知F1（，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)A，B是雙曲線C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，若，證明：直線AB過定點(diǎn)．【答案】(