第5講指對(duì)冪函數(shù)及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理指數(shù)和指數(shù)函數(shù)1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：eq\r(n,a)稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域?yàn)镽值域值域?yàn)?0，＋∞)，即對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有ax>0過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對(duì)稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念在表達(dá)式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個(gè)式子，此時(shí)，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù)，N稱為對(duì)數(shù)的真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)①loga(MN)＝logaM＋logaN，②logaMα＝αlogaM，③logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝logax稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域?yàn)?0，＋∞)，圖像在y軸的右邊值域值域?yàn)镽過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0，當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0，當(dāng)x>1時(shí)，y<0單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)對(duì)稱性y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.冪函數(shù)和二次函數(shù)1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過點(diǎn)(1，1).②如果α>0，則冪函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).③如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)；當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方且無(wú)限地逼近y軸；當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，圖像在x軸上方且無(wú)限地逼近x軸.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)考點(diǎn)和典型例題1、指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【典例1-1】（2020·黑龍江·東寧市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)減區(qū)間是【典例1-2】（2021·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如下圖所示，則下列四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)正確的是（

）A． B．C． D．【典例1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【典例1-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【典例1-5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè)．現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：（1）逐份檢測(cè)：（2）混合檢測(cè)：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測(cè)一次就夠了，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測(cè)，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.12、對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)【典例2-1】（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2022·江蘇南京·三模）我們知道，任何一個(gè)正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時(shí)lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當(dāng)n≥0時(shí)，N是一個(gè)n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（

）位數(shù)．A．71 B．70 C．69 D．68【典例2-3】（2022·河南開封·三模（理））函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【典例2-4】（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知，，，則（

）A． B．C． D．【典例2-5】（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)一模）有一個(gè)非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項(xiàng)和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時(shí)，，其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，……，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．由于上式在n很大時(shí)才成立，故當(dāng)n較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在一定誤差的，已知，．用上式估算出的與實(shí)際的的誤差絕對(duì)值近似為（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.6573、冪函數(shù)和二次函數(shù)【典例3-1】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【典例3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)（理））若冪函數(shù)滿足，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．是單調(diào)函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【典例3-4】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【典例3-5】（2021·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3-6】（2021·四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的圖象過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．4、綜合應(yīng)用【典例4-1】（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2022·北京·二模）若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．