三角函數(shù)與解三角形單選題1．(2025·天津)設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】通過判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.【詳解】由，則“”是“”的充分條件；又當時，，可知，故“”不是“”的必要條件，綜上可知，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．(2025·全國一卷)若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質，的對稱中心橫坐標滿足，即的對稱中心是，即，又，則時最小，最小值是，即.故選：C3．(2025·全國二卷)在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接計算求解即可.【詳解】由題意得，又，所以.故選：A4．(2025·全國二卷)已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式得，則，最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.【詳解】，因為，則，則，則.故選：D.5.(2025·北京)設函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（）A8 B.6 C.4 D.3【答案】C【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點即可求解.【詳解】函數(shù)，設函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點，且當時，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.6．(2025·天津)，在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性得出，根據(jù)單調性得出，從而確定，結合對稱軸與對稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質即可得解.【詳解】設的最小正周期為，根據(jù)題意有，，由正弦函數(shù)的對稱性可知，即，又在上單調遞增，則，∴，則，∵，∴時，，∴，當時，，由正弦函數(shù)的單調性可知.故選：A多選題7．(2025·全國一卷)已知的面積為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對由二倍角公式先可推知A選項正確，然后分情況比較和的大小，亦可使用正余弦定理討論解決，結合正弦函數(shù)的單調性可推出，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個選項.【詳解】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項正確；由誘導公式，，展開可得，即，若，則可知等式成立；若，即，由誘導公式和正弦函數(shù)的單調性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導出，則則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：時，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負會有兩個鈍角，不成立），于是，結合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則由，由，則，即，則，同理，注意到是銳角，則，不妨設，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項正確由兩角和的正切公式可得，，設，則，由，則，則，于是，B選項正確，由勾股定理可知，，D選項錯誤.故選：ABC填空題8．(2025·上海)函數(shù)在上的值域為．【答案】【分析】利用余弦函數(shù)的單調性可得.【詳解】由函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，且，故函數(shù)在上的值域為.故答案為：.9．(2025·上海)小申同學觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點分別為A、B，它們在陽光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長度為0.45米．則斜面的底角．（結果用角度制表示，精確到）【答案】【分析】先根據(jù)在處的旗桿算出陽光和水平面的夾角，然后結合處的旗桿算出斜面角.【詳解】如圖，在處，，在處滿足，（其中水平面，是射過處桿子最高點的光線，光線交斜面于），故設，則，由勾股定理，，解得，于是故答案為：10.(2025·北京)已知，且，，寫出滿足條件的一組________，_________．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關系可得角的等量關系，從而可得滿足條件的一組解.【詳解】因為，，所以的終邊關于軸，且不與軸重合，故且，即，故取可滿足題設要求；故答案為：，（答案不唯一）解答題11．(2025·全國二卷)已知函數(shù)．(1)求;(2)設函數(shù)，求的值域和單調區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）直接由題意得，結合余弦函數(shù)的單調性即可得解；（2）由三角恒等變換得，由此可得值域，進一步由整體代入法可得函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】（1）由題意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函數(shù)的值域為，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.12.(2025·北京)在中，．（1）求c；（2）在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．【答案】（1）6（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由平方關系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關系求得，，進一步由求得高，并說明此時三角形存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.【小問1詳解】因為，所以，由正弦定理有，解得；【小問2詳解】如圖所示，若存在，則設其邊上的高為，若選①，，因為，所以，因為，這表明此時三角形有兩個鈍角，而這是不可能的，所以此時三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由正弦定理有，解得，此時，，而，，，所以，可以唯一確定，所以此時也可以唯一確定，這表明此時三角形是存在的，且邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可以唯一確定，進一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，這表明此時三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.13．(2025·天津)在中，角的對邊分別為．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結合（1）結論與已知代入可得關于的方程，求解可得，進而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【詳解】（1）已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.14．(2025·全國一卷)設函數(shù)．(1)求在的最大值；(2)給定，設a為實數(shù)，證明：存在，使得；(3)若存在使得對任意x，都有，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)結合三角變換得導數(shù)零點，討論導數(shù)的符號后得單調性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時的范圍，對于時，可利用（2）中的結論結合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結合特值法可得，結合（1）的結果可得的最小值.【詳解】（1）法1：，因為，故，故，當時，即，當時，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時無解，矛盾，故無解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質知的解為，若每個與交集都為空，則對每個，必有或之一成立.此即或，但長度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因為，故為周期函數(shù)且周期為,故只需討論的情況.當時，，當時，，此時，令，則，而，，故，當，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號成立.綜上，.法2：設.①一方面，若存在，使得