精品試卷·第2頁（共2頁）新課預(yù)習(xí).培優(yōu)卷4.5相似三角形判定定理的證明一．選擇題（共7小題）1．（2025春?鋼城區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連接AC，DE交于點(diǎn)F．若AEEB=2A．52 B．94 C．2592．（2025春?椒江區(qū)期末）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，BP＝BC，∠APD＝90°，則S△PCDA．310 B．24 C．133．（2025春?榮昌區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，CF＝2AF＝4，∠ADC的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AC交CD于點(diǎn)G，則DG長為（）A．1 B．1.5 C．32 D．4．（2025?南京模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)O是正方形的中心，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上運(yùn)動(dòng)，且滿足BE＝AF，連接EF，過點(diǎn)O作OG⊥EF交AB點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①連接FG，則△AFG的周長不變；②若BE＝1，則FG=53；③連接OF，則BGDF=OGOF；④DFA．①② B．①③ C．①②④ D．②③④5．（2025?長沙模擬）在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，則BF：FE＝（）A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：26．（2025?南山區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC中，D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，F(xiàn)點(diǎn)在AC上，且EF∥BC．若AF＝7，F(xiàn)C＝3，則下列敘述何者正確？（）A．AE＝7，EB＝3 B．EFBCC．AD＝5 D．DE＜EB，DF與EC不平行7．（2025?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，EG∥BC，分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，則（）A．AEEB=EFBD B．EFBD=二．填空題（共5小題）8．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，AH＝3，BC=143，點(diǎn)D是邊BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，連接AD，在AD上取中點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，取AB中點(diǎn)G，連接EG，則△AGE的面積為9．（2025?深圳模擬）如圖，將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AP的位置，連接BP并延長，交邊CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥BE，交邊BC于點(diǎn)F，若CFBF=13，則10．（2025?新城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上的一點(diǎn)，BD＝2AD，∠ACD＝30°，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∠BED＝60°，CD＝4，則AC＝．11．（2025春?鄒城市期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，記斜邊AC的中點(diǎn)為P1，連接BP1，過點(diǎn)P1作P1Q1⊥AB，垂足為Q1；記AP1的中點(diǎn)為P2，連接Q1P2，過點(diǎn)P2作P2Q2⊥AB，垂足為Q2…按照這種規(guī)律繼續(xù)操作下去，若斜邊AC的長為2，則P10Q9的長為．12．（2025春?重慶期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，連接BD，BE平分∠CBD交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，連接BF，EF，若∠EBF＝45°，則BF的長為．三．解答題（共3小題）13．（2025春?臨淄區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長為a等邊三角形，D為邊AB上一點(diǎn)，且ADDB=32，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A'C，A′D，A′D與（1）求CEDE（2）求CEBE14．（2025春?鋼城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜2.5）．（1）CQ＝cm，CP＝cm（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．15．（2025?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)M，N在邊BC上，且AB2＝AD?AC，∠BAN＝∠CAM，AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：BDAE（2）若O為BD的中點(diǎn)，連接ON，且BD2＝2BN?BC，求證：ON∥AB．

新課預(yù)習(xí).培優(yōu)卷4.5相似三角形判定定理的證明參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2025春?鋼城區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連接AC，DE交于點(diǎn)F．若AEEB=2A．52 B．94 C．259【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】A【分析】證明△EAF∽△DCF是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到AB＝CD，AB∥CD，可證明△EAF∽△DCF，得到DFEF=CD【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AEEB∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，∴△EAF∽△DCF，∴DFEF∴ABAE=5∴S△ADF故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．2．（2025春?椒江區(qū)期末）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，BP＝BC，∠APD＝90°，則S△PCDA．310 B．24 C．13【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】作BF⊥AP于點(diǎn)F，PH⊥AD于點(diǎn)H，PE⊥CD于點(diǎn)E，則四邊形PEDH是矩形，可證明PE∥BC，BP＝BA，則AF＝PF，推導(dǎo)出∠ABF＝∠DAP，進(jìn)而證明△ABF≌△DAP，得AF＝DP，則AP＝2AF＝2DP，設(shè)DP=5m，則AP＝25m，求得BC＝CD＝AD=DP2+AP2=5m，由S△APD=12×5m?PH=12×5m×25m，求得DE＝PH＝2m，則CE＝3m，PE＝DH=DP2【解答】解：作BF⊥AP于點(diǎn)F，PH⊥AD于點(diǎn)H，PE⊥CD于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是正方形，∠APD＝90°，∴BA＝BC＝AD＝CD，∠BFA＝∠APD＝90°，∠PHD＝∠HDE＝∠PED＝90°，∴四邊形PEDH是矩形，∵∠PED＝∠BCD＝90°，∴PE∥BC，∴BP＝BC，∵BP＝BA，∴AF＝PF，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠DAP+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝∠DAP，在△ABF和△DAP中，∠ABF=∠DAP∠BFA=∠APD∴△ABF≌△DAP（AAS），∴AF＝DP，∴AP＝2AF＝2DP，設(shè)DP=5m，則AP＝25m∴BC＝CD＝AD=DP2∵S△APD=12×5m?PH=12∴DE＝PH＝2m，∴CE＝CD﹣DE＝5m﹣2m＝3m，PE＝DH=DP∵S△PCD=12CD?PE=12×5m2=52m2，S△PBC=12BC?CE∴S△PCD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識(shí)與方法，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2025春?榮昌區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，CF＝2AF＝4，∠ADC的角平分線DE交AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AC交CD于點(diǎn)G，則DG長為（）A．1 B．1.5 C．32 D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】證明CD＝2AE，AD＝AE，利用勾股定理，相似三角形的性質(zhì)求出CD，CG可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝AB，∴DCAE∴CD＝2AE，∵CF＝2AF＝4，∴AF＝2，CF＝4，AC＝6，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠AED＝45°，∴AE＝AD，∴CD＝2AE，∴AD=655，∵FG⊥AC，∴∠CFG＝∠ADC＝90°，∵∠FCG＝∠ACD，∴△FCG∽△DCA，∴CGAC∴CG6∴CG＝25，∴DG＝CD﹣CG=1255故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．4．（2025?南京模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)O是正方形的中心，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上運(yùn)動(dòng)，且滿足BE＝AF，連接EF，過點(diǎn)O作OG⊥EF交AB點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①連接FG，則△AFG的周長不變；②若BE＝1，則FG=53；③連接OF，則BGDF=OGOF；④DFA．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】證明△EBO≌△FAO（SAS），推出△EOF是等腰直角三角形，OG是線段EF的垂直平分線，再證明△DFO∽△OEG，△DOF∽△BGO，據(jù)此求解即可．【解答】解：點(diǎn)O是正方形的中心，連接BD，則BD經(jīng)過點(diǎn)O，連接OA，F(xiàn)G，OF，如圖，∵正方形ABCD的邊長為4，∴∠EBO＝∠FAO，BO＝AO，又∵BE＝AF，∴△EBO≌△FAO（SAS），∴∠BOE＝∠AOF，OE＝OF，∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠BOE+∠EOA＝∠AOF+∠EOA＝∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∵OG⊥EF，∴OG是線段EF的垂直平分線，∴GE＝GF，∵△AFG的周長為AF+AG+FG＝BE+AG+EG＝AB＝4，∴△AFG的周長不變，故①正確；∵BE＝1，∴BE＝AF＝1，設(shè)FG＝a，則EG＝a，AG＝4﹣1﹣a＝3﹣a，在Rt△AFG中，由勾股定理得12+（3﹣a）2＝a2解得a=53，即FG=5∵△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF，∴∠EOG=∵∠DFO＝∠AOF+∠FAO＝∠AOF+45°，∠GEO＝∠BOE+∠EBO＝∠BOE+45°又∵∠BOE＝∠AOF，∴∠DFO＝∠GEO，∴△DFO∽△OEG，∴DFOE∵OE＝OF，GE＝GF，∴DF?FG＝OF2，故④正確；∵△DFO∽△OEG，∴∠DOF＝∠BGO，又∵∠FDO＝∠OGB＝45°∴△DOF∽△BGO，∴BGDO∵DO≠DF，BGDF≠OG綜上，①②④正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似或全等三角形．5．（2025?長沙模擬）在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，則BF：FE＝（）A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意及平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABF∽△CEF，即可解答．【解答】解：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3，∵平行四邊形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，即EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF＝AB：EC＝3：2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?南山區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC中，D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，F(xiàn)點(diǎn)在AC上，且EF∥BC．若AF＝7，F(xiàn)C＝3，則下列敘述何者正確？（）A．AE＝7，EB＝3 B．EFBCC．AD＝5 D．DE＜EB，DF與EC不平行【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】由AF＝7，F(xiàn)C＝3，求得AC＝10，假設(shè)AE＝7，EB＝3正確，則AB＝10，所以AC＝AB，與已知條件不符，可判斷A不符合題意；由EF∥BC，證明△AEF∽△ABC，則EFBC=AFAC=710≠37，故B不符合題意；假設(shè)AD＝5正確，由D為AB的中點(diǎn)，得AB＝10＝AC，與已知條件不符，可判斷D不符合題意；連接DF、EC，設(shè)EB＝3m，由AEEB=AFFC=73，得AE=73EB＝7m，則AB＝10m，求得AD＝BD【解答】解：∵AF＝7，F(xiàn)C＝3，∴AC＝AF+FC＝10，假設(shè)AE＝7，EB＝3正確，則AB＝AE+EB＝10，∴AC＝AB，與已知條件不符，故A不符合題意；∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC故B不符合題意；假設(shè)AD＝5正確，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AB＝10＝AC，與已知條件不符，故D不符合題意；連接DF、EC，設(shè)EB＝3m，∵AEEB∴AE=73EB＝7∴AB＝AE+EB＝10m，∴AD＝BD=12AB＝5∴DE＝BD﹣EB＝2m，∴DE＜EB，∵ADDE∴DF與EC不平行，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確理解和應(yīng)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2025?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，EG∥BC，分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，則（）A．AEEB=EFBD B．EFBD=【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】B【分析】先證明△AEF∽△ABD，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EFBD=AEAB=AFAD，從而可對(duì)A選項(xiàng)和C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；再證明△AFG∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF【解答】解：∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴EFBD=AEAB=∵FG∥DC，∴△AFG∽△ADC，∴AFAD∴EFBD=FG∵FG∥DC，∴AFFD=AG故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，AH＝3，BC=143，點(diǎn)D是邊BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，連接AD，在AD上取中點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，取AB中點(diǎn)G，連接EG，則△AGE的面積為7【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．【專題】推理能力．【答案】75【分析】連接DE，由三角形中線等分面積，設(shè)S△AFB＝S△DFB＝y(tǒng)，S△AFE＝S△DFE＝x，由點(diǎn)D是邊BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，得到CDBD=12=S△ACDS△ABD=S△ECDS△EBD，則S△ECD＝S△ACD﹣S△AFE﹣S△DEF＝y(tǒng)﹣2x，S△EBD＝S△EFD+S△BFD＝【解答】解：連接DE，∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，∴S△AFB＝S△DFB，S△AFE＝S△DFE，設(shè)S△AFB＝S△DFB＝y(tǒng)，S△AFE＝S△DFE＝x，∵點(diǎn)D是邊BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，∴CDBD∵S△ABD＝S△AFB+S△DFB＝2y，∴S△ACD＝y(tǒng)，∴S△ECD＝S△ACD﹣S△AFE﹣S△DEF＝y(tǒng)﹣2x，S△EBD＝S△EFD+S△BFD＝x+y，∴y?2xx+y解得：y＝5x，∴S△AED∵AH⊥BC于點(diǎn)H，AH＝3，BC=14∴S△ABC∴S∵AB中點(diǎn)G，∴S△AEG故答案為：75【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積，中線等分面積，熟練掌握共高三角形面積比等于底之比是解題的關(guān)鍵．9．（2025?深圳模擬）如圖，將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AP的位置，連接BP并延長，交邊CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥BE，交邊BC于點(diǎn)F，若CFBF=13，則DECE【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】53【分析】作AH⊥BE于點(diǎn)L，交BC于點(diǎn)H，由正方形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD，∠ALB＝∠ABH＝∠C＝90°，推導(dǎo)出∠BAH＝∠CBE，進(jìn)而證明△ABH≌△BCE，則BH＝CE，由旋轉(zhuǎn)得AP＝AB，則BL＝PL，可證明AH∥PF，則BHFH=BLPL=1，所以BH＝FH，設(shè)BF＝6m，則BH＝CE=12BF＝3m，由CFBF=13，由CF=13BF＝2m【解答】解：作AH⊥BE于點(diǎn)L，交BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在CD邊上，∴AB＝BC＝CD，∠ALB＝∠ABH＝∠C＝90°，∴∠BAH＝∠CBE＝90°﹣∠ABE，在△ABH和△BCE中，∠BAH=∠CBEAB=BC∴△ABH≌△BCE（ASA），∴BH＝CE，由旋轉(zhuǎn)得AP＝AB，∴BL＝PL，∵AH⊥BE，PF⊥BE，∴AH∥PF，∴BHFH∴BH＝FH，設(shè)BF＝6m，則BH＝CE=12BF＝3∵CFBF∴CF=13BF＝2∴CD＝CB＝CF+BF＝8m，∴DE＝CD﹣CE＝5m，∴DECE故答案為：53【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2025?新城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上的一點(diǎn)，BD＝2AD，∠ACD＝30°，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∠BED＝60°，CD＝4，則AC＝532【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】53【分析】取AD的中點(diǎn)F，連接FE，延長BE交AC于點(diǎn)H，因?yàn)辄c(diǎn)E為CD中點(diǎn)，所以FE∥AC，F(xiàn)E=12AC，而∠ACD＝30°，∠CEH＝∠BED＝60°，則∠CHE＝90°，因?yàn)镃D＝4，所以CE＝DE=12CD＝2，HE=12CE＝1，求得CH=3，設(shè)AF＝DF＝m，則AD＝2m，BD＝2AD＝4m，求得FB＝5m，AB＝6m，可證明△BFE∽△BAH，則FEAH=FBAB=56，所以【解答】解：取AD的中點(diǎn)F，連接FE，延長BE交AC于點(diǎn)H，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∠ACD＝30°，∠BED＝60°，∴FE∥AC，F(xiàn)E=12AC，∠CEH＝∠∴∠CHE＝180°﹣∠ACD﹣∠CEH＝90°∵CD＝4，∴CE＝DE=12∴HE=12∴CH=C設(shè)AF＝DF＝m，則AD＝2m，∴BD＝2AD＝4m，∴FB＝DF+BD＝5m，AB＝AD+BD＝6m，∵FE∥AH，∴△BFE∽△BAH，∴FEAH∴FE=56∴12AC=56（解得AC=5故答案為：53【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2025春?鄒城市期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，記斜邊AC的中點(diǎn)為P1，連接BP1，過點(diǎn)P1作P1Q1⊥AB，垂足為Q1；記AP1的中點(diǎn)為P2，連接Q1P2，過點(diǎn)P2作P2Q2⊥AB，垂足為Q2…按照這種規(guī)律繼續(xù)操作下去，若斜邊AC的長為2，則P10Q9的長為129【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；規(guī)律型：圖形的變化類；直角三角形斜邊上的中線．【專題】規(guī)律型；推理能力．【答案】12【分析】根據(jù)已知分別求出P1B，P2Q1，P3Q2，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律即可．【解答】解：在Rt△ABC中，點(diǎn)P1為AC中點(diǎn)，AC＝2，∴P1在RtΔAP1Q1中，點(diǎn)P2為AP1中點(diǎn)，AP1＝1，∴P2同理P3…，∴Pn+1當(dāng)n＝9時(shí)，P10故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是根據(jù)計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行求解．12．（2025春?重慶期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，連接BD，BE平分∠CBD交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，連接BF，EF，若∠EBF＝45°，則BF的長為4103【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】410【分析】由矩形的性質(zhì)推出∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，由勾股定理求出BD=AD2+AB2=5，由角平分線的性質(zhì)推出FA＝FH，由三角形的面積公式得到AB?AD＝（AB+BD【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，∵AB＝4，∴BD=A∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，∵∠EBF＝45°，∴∠ABF+∠CBE＝90°﹣45°＝45°，∵∠DBE+∠DBF＝45°，∴∠ABF+∠CBE＝∠DBE+∠DBF，∴∠ABF＝∠DBF，∴BF平分∠ABD，過F作FH⊥BD于H，∵FA⊥AB，∴FA＝FH，∵△ABD的面積＝△ABF的面積+△FBD的面積，∴12AB?AD=12AB?AF+1∴AB?AD＝（AB+BD）?AF，∵AB＝4，AD＝3，BD＝5，∴AF=4∴BF=A故答案為：410【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形的面積公式得到AB?AD＝（AB+BD）?AF．三．解答題（共3小題）13．（2025春?臨淄區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長為a等邊三角形，D為邊AB上一點(diǎn)，且ADDB=32，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A'C，A′D，A′D與（1）求CEDE（2）求CEBE【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）52（2）192【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A，求出ABBD=52，AD=35a，得到CA′BD（2）令CE＝5x，DE＝2x，由△CEA′∽△DEB，推出EA′EB=CEDE=52，得到35a?2xa?5x=52，求出x【解答】解：（1）∵等邊△ABC的邊長是a，∴BC＝AB＝AC＝a，∵點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)是A′，∴CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A，∵ADDB∴ABBD=52，∴CA′BD∵∠CEA′＝∠BED，∠A′＝∠A，∴△CEA′∽△DEB，∴CEDE（2）令CE＝5x，DE＝2x，∴BE＝a﹣5x，EA′=35a﹣2∵△CEA′∽△DEB，∴EA′EB∴35∴x=19105∴CE＝5x=1921∴BE＝BC﹣CE=221∴CEBE【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是判定△CEA′∽△DEB，推出CEDE14．（2025春?鋼城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜2.5）．（1）CQ＝tcm，CP＝（5﹣2t）cm（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)