專題03相似三角形的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（18大題型+15道拓展培優(yōu)）題型一選擇或者補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似題型二證明兩三角形相似題型三尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似題型四格點(diǎn)圖中找相似三角形題型五相似三角形判定定理的證明題型六重心的有關(guān)性質(zhì)題型七相似三角形的判定與性質(zhì)綜合題型八利用相似三角形的性質(zhì)求解題型九證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例題型十利用相似求坐標(biāo)題型十一在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形題型十二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題題型十三運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決三角板問(wèn)題題型十四運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決裁剪問(wèn)題題型十五運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型十六運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決最值問(wèn)題題型十七相似三角形的綜合問(wèn)題題型十八運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．知識(shí)點(diǎn)2：相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【經(jīng)典例題一選擇或者補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】【例1】（24-25九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠單獨(dú)判定的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．41．（24-25九年級(jí)上·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠判定的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25九年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，在和中，，點(diǎn)E在邊上，添加一個(gè)條件后，能判定與相似，這個(gè)條件是．(添加一個(gè)即可)3．（2024·福建福州·一模）如圖，中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，連接．從下列條件中，選擇一個(gè)作為附加條件①；②；③，求證：．【經(jīng)典例題二證明兩三角形相似】【例2】（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在四邊形中，已知，添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定的是（

）A． B．C． D．1．（24-25九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）在和中，，下列各組的條件不能判定這兩個(gè)三角形相似的是（

）A．，； B．，，，；C．，，，； D．，，，．2．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）將一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．3．（24-25九年級(jí)上·北京延慶·期中）如圖，四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且．求證：．【經(jīng)典例題三尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】【例3】（23-24九年級(jí)·陜西寶雞·期末）如圖，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一點(diǎn)D，使得△BDC∽△ABC．（不寫作法，保留作圖痕跡）1（23-24九年級(jí)·河南·期末）如圖，已知鈍角△ABC中∠ABC=2∠ACB．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在AC上定一點(diǎn)P，使得△ABP∽△ACB．（保留痕跡，不寫作法）(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)述作圖的合理性．2、（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，D為邊AB上任意一點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)E，使得△DEA∽△BCA.（不寫作法，保留作圖痕跡）3、（23-24九年級(jí)·陜西榆林·期末）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=108°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點(diǎn)D，使得△ACD∽△BCA．（保留作圖痕跡，不寫作法）【經(jīng)典例題四格點(diǎn)圖中找相似三角形】【例4】（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在下列方格紙中，畫出了一些頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形，其中與相似的是（

）A． B． C． D．1．（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，和的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)處，則與的周長(zhǎng)之比是（）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·上海閔行·階段練習(xí)）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、、、、、是邊上的7個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中任意選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與相似，符合題意的三角形共有個(gè)．3．（24-25九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上．(1)____________．(2)判斷與是否相似，若相似，請(qǐng)給出證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)求．【經(jīng)典例題五相似三角形判定定理的證明】【例5】（23-24·山東濟(jì)寧·一模）如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)1、（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，，，BD平分，，在圖中與相似的三角形（不包括）的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)．A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)E是的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，和交于點(diǎn)G，是的對(duì)角線，則圖中相似三角形共有對(duì)．3．（23-24九年級(jí)上·福建三明·期中）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，∠EBF=45°．（1）當(dāng)BE=BF時(shí)，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G，連接EG．判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題六重心的有關(guān)性質(zhì)】【例6】（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)G是的重心，，垂足為點(diǎn)E，那么線段的長(zhǎng)是（

）A．2 B． C．2 D．1．（23-24九年級(jí)下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，那么（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·上海虹口·階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如果四邊形的面積為12，那么的面積為．3．（23-24九年級(jí)上·上海·期中）如圖，在中，D是上的點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【經(jīng)典例題七相似三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例7】（24-25九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．1．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，已知在矩形中，M是邊的中點(diǎn)，與垂直，交直線于點(diǎn)N，連接，則下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，分別在，，上，，，，，，則的長(zhǎng)是．3．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，在中，已知，，于D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)E沿向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)F沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)速度為，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)是否存在這樣的t值使的面積為18？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)t為何值時(shí)，和相似？【經(jīng)典例題八利用相似三角形的性質(zhì)求解】【例8】（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且，在上取一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或1．（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在中，D、E分別是上的點(diǎn)，且，如果，那么（

）

A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P，Q分別是，上的點(diǎn)，且，與相似，則的值為．3．（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E為邊上的點(diǎn)，連接，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，且．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題九證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】【例9】（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線上，連接分別交于點(diǎn)則下列式子錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．1．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，在中，AC和BC上分別有一點(diǎn)E和點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)H分別作BC和AC的平行線交于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)G，DH交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，、分別為邊，邊上的高，且，，已知的面積為，那么的面積為．3．（2023·吉林四平·三模）在中，，分別為，上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【經(jīng)典例題十利用相似求坐標(biāo)】【例10】（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD，則線段CD的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．3 D．1．（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（b，0）（b＞1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在折線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．3．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是軸上一點(diǎn)．

(1)在AB上求作點(diǎn)，使得∽要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；在(2)在（1）的條件下，，是的中線，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題十一在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形】【例11】（23-24九年級(jí)上·上海普陀·期中）如圖，是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），點(diǎn)都是格點(diǎn)，下列三角形中與相似的是（

）

A．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形 B．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形C．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形 D．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形1．（22-23九年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有個(gè)斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，與①相似的三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（23-24九年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期中）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是．

3．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）在的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)在圖1中將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)得到的；(2)在圖2中畫出一個(gè)與相似的，且使得相似比不為1．（畫出一個(gè)即可）(3)在圖3中，僅用無(wú)刻度直尺（不使用直角）在線段上找一點(diǎn)M，使得．【經(jīng)典例題十二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】【例12】（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別在邊上，把矩形沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，則值為（

）A． B． C． D．1．（22-23九年級(jí)上·重慶·期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，則的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C． D．2．（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為，的面積為．3．（24-25九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知是的角平分線，可證．(1)嘗試證明：用平行線分線段成比例的思路，利用圖1證明(2)應(yīng)用拓展：如圖2，在中，，D是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．，，求的長(zhǎng)；【經(jīng)典例題十三運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決三角板問(wèn)題】【例13】（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）將一副三角板如圖所示擺放，為等腰，，，，記交于E．若上有一點(diǎn)F滿足，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一塊等腰直角三角板，它的斜邊，內(nèi)部的各邊與的各邊分別平行，且它的斜邊，則的面積與陰影部分的面積比為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的頂點(diǎn)P在邊上移動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），如圖，直角三角板的一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊與邊交于點(diǎn)Q，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．3．（24-25九年級(jí)上·山西太原·開學(xué)考試）如圖，四邊形為矩形，分別為邊上的中點(diǎn)，將一足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)上，并繞著點(diǎn)在AD下方旋轉(zhuǎn)，兩直角邊(或直角邊所在直線)分別與矩形的邊交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)三角板的一條直角邊交AB于點(diǎn),另一條直角邊交于點(diǎn)時(shí)，求證：．(2)如圖2，當(dāng)三角板的一條直角邊與矩形的邊相交于點(diǎn)，另一條直角邊交CD邊于點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，小圣發(fā)現(xiàn)，試說(shuō)明理由．(3)在（2）的條件下，若，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)落在的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十四運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決裁剪問(wèn)題】【例14】（23-24九年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖所示，一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng)，底邊上的高為，現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為的矩形紙條，已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（

）A．第5條 B．第6條 C．第7條 D．第8條1．（2015·山東濟(jì)南·三模）某風(fēng)箏廠準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格相同但顏色不同的布料生產(chǎn)一批形狀如圖所示的風(fēng)箏，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形各邊的中點(diǎn)．其中陰影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪兩種布料時(shí)，均不計(jì)余料）．若生產(chǎn)這批風(fēng)箏需要甲布料30匹，那么需要乙布料（

）

A．15匹 B．20匹 C．60匹 D．30匹2．（22-23八年級(jí)下·浙江紹興·期末）母親節(jié)，小敏準(zhǔn)備送禮物給媽媽，他用正方形紙板，制作一個(gè)正方體禮品盒（如圖所示裁剪）．已知正方形紙板邊長(zhǎng)為10分米，則這個(gè)禮品盒的邊長(zhǎng)分米．

3．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙兩位同學(xué)將兩張全等的直角三角形紙片進(jìn)行裁剪和拼接，嘗試拼成一個(gè)盡可能大的正方形．要求：①直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為和；②在兩張直角三角形紙片中各裁剪出一個(gè)圖形，使它們的形狀和大小都相同；③將這兩個(gè)圖形無(wú)縫隙拼成一個(gè)正方形，正方形的邊長(zhǎng)盡可能大．甲同學(xué)的方案乙同學(xué)的方案請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：(1)計(jì)算甲、乙兩位同學(xué)方案中拼成的正方形的邊長(zhǎng)，并比較大?。?2)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，使拼成的正方形的邊長(zhǎng)比甲、乙兩位同學(xué)拼成的正方形都大．（方案要求：在答題卷上的兩個(gè)直角三角形中分別畫出裁剪線，標(biāo)出所有裁剪線的長(zhǎng)，求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．）【經(jīng)典例題十五運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例15】（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿對(duì)角線以1cm/s的速度向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，若假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則當(dāng)時(shí)，t的值為（）A．2s B．s C．s D．s1．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點(diǎn)，，若與相似，則的長(zhǎng)為（

）

A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或2．（24-25九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，．點(diǎn)在上移動(dòng)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，則的長(zhǎng)為．

3．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，的兩條直角邊，，，點(diǎn)D沿從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連接、、．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題：(1)___________，___________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，與相似；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．【經(jīng)典例題十六運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決最值問(wèn)題】【例16】（23-24九年級(jí)下·上?！卧獪y(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC內(nèi)部或BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，以D為頂點(diǎn)作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．兩三角形重疊部分是四邊形AGDH，當(dāng)四邊形AGDH的面積最大時(shí)，最大值是多少？()A．12 B．11.52 C．13 D．81．（14-15八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形的位置如圖所示，，，．M、N分別在線段，線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大時(shí)，存在一種使得周長(zhǎng)最小的情況，則此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

)．

A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，，，以為斜邊在的右側(cè)作，其中，．當(dāng)長(zhǎng)度最大時(shí)，的長(zhǎng)度為．3．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）【問(wèn)題探究】（1）如圖1，和是兩個(gè)全等的三角形（點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、A、E），點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，交于點(diǎn)F，．求與的比值；【問(wèn)題解決】（2）如圖2，四邊形是一個(gè)人工觀光湖，米，米，．現(xiàn)要把四邊形觀光湖擴(kuò)建成五邊形，根據(jù)設(shè)計(jì)要求要使，B、F之間的距離等于，．并沿修建一座觀光橋，為容納更多的游客，要使觀光橋的長(zhǎng)度最大．當(dāng)觀光橋的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十七相似三角形的綜合問(wèn)題】【例17】（2024·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A0,3，，將線段平移得到線段．若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．1．（2021·河北滄州·一模）如圖，中，，是中線，是上一點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．2．（2021·山西陽(yáng)泉·一模）如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O．將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)H．點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P．若，則線段的長(zhǎng)為．3．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】（1）如圖1，，，．求證：；【變式遷移】（2）如圖2，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，連接CF．求的值；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，A是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，直接寫出AB的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十八運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題】【例18】（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F是的重心，連接并延長(zhǎng)交于G點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作的平行線分別交、于D點(diǎn)、E點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B．C． D．1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）在四邊形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），且，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．與不一定相似C．當(dāng)點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，兩兩相似D．當(dāng)兩兩相似時(shí)，點(diǎn)E一定為中點(diǎn)2．（2023·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)、點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．是等邊三角形 B．的最小值是1C．當(dāng)最小時(shí) D．當(dāng)時(shí)，3．（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，為等腰直角三角形，，，為直角邊上任意一點(diǎn)，以線段為斜邊做等腰，連接，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B．C．四邊形面積的最大值為 D．1．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖，下列條件中不能判定和相似的是（

）

A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·上海金山·階段練習(xí)）如圖，已知E是正方形的邊的中點(diǎn)，P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列條件不能推出與相似的是（）

A．P是邊的中點(diǎn) B． C． D．3．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)分別在菱形的邊、上，且，交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若，則的值為（

）A． B． C． D．4．（24-25九年級(jí)上·遼寧丹東·期中）已知菱形中，點(diǎn)G是對(duì)角線上一點(diǎn)，分別交邊和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（