2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

考生注意：

1.本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；

2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；

3.在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；

4.答題時(shí)可使用符合規(guī)定的計(jì)算器.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7?12題每題5分）

jr口A=｛xllxl>eRi-

1.設(shè)全集U=R,若集合1111則力=.

2.若幕函數(shù)^=/的圖象經(jīng)過(guò)（冷'3）,則此事函數(shù)的表達(dá)式為.

—<0

3.不等式工-1的解集是.

/（X）=--——一、

4.已知22、+1是R上的奇函數(shù)，則的值為.

5.已知空間向量萬(wàn)=（L2,3）,否=（2,—2,0）,c=（1,1,2）若“（2"+與，貝ij/l=.

/、6

（m

IXH----

6.已知團(tuán)>0,Ix）的二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為729,則展開(kāi)式中X,項(xiàng)的系數(shù)是

7.已知圓錐的側(cè)面積為兀，且側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐的底面半徑為.

8.現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援滬醫(yī)療隊(duì)，，，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)

生性別同”，8表示事件，，抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生，，，則夕（8|力）=.

9.已知在等比數(shù)列｛4｝中，％、的分別是函數(shù)N=/一61+6工一1的兩個(gè)駐點(diǎn)，則

x

一乒-（力>）的左右焦點(diǎn)，過(guò)片的直線與雙曲線的左右兩

10.若居、片是雙曲線Y1">00Z

支分別交于A,B兩點(diǎn).若A/BB為等邊三角形,則雙曲線的離心率為

”.若存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)?。?（3。）4（…）在X.

阮3兀］

上有且僅有2個(gè)零

點(diǎn)，則出的取值范圍為

/W=fxe\O<x<l!

12,已知函數(shù)[xlnx,x>l的圖像與直線4：'―sin%交于點(diǎn)"（X"）,

1

5（/，%）,其中&<七,與直線￡）-2cos2.交于兩點(diǎn)C.3，％）、,（%%）,其中

當(dāng)<匕，則%占+&%的最小值為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13/4題每題4分，第15-16題每題5分）每

題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.設(shè)復(fù)平面上表示2-i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)力和點(diǎn)9則表示向量標(biāo)的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A笫一象限B.笫二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

14.已知拋物線「：/=4x,過(guò)焦點(diǎn)/且斜率為工的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)力、B,

2

則線段48的長(zhǎng)為（）

A.2y/\5B.4廊C.40D.20

15.如圖，在正方體力4CO-44G。中，點(diǎn)P是線段4G上的動(dòng)點(diǎn)，下列與8P始終異而

ADD\B.ACC.AD}D.B]C

16.已知/(x)=sinx,集合。r={(x,y)12f(x)+f(y)=0,x9yeD\,

Q={(x,j^)12/(x)+/(j)>0.x,yGD].關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說(shuō)法正確的是()

命題①：集合「表示的平面圖形是中心對(duì)稱圖形;

5乃2

命題②：集合O表示的平面圖形的面積不大于工.

12

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的

題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

17.如圖，在四棱錐尸-N3CZ）中，4B//CD,且/BAP=/CDP=90°.

（1）證明：平面產(chǎn)力3_L平面尸力。；

8

（2）若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°＞且四棱桂夕一的體積為一，求P8與

3

平面力BC。所成的線面角的大小.

18.在銳角三角形力8C中，角4優(yōu)。的對(duì)邊分別為。力（，而為戮在E方向上的投影

向量，且滿足2csin3=石CZ）.

（1）求cosC的值；

（2）若〃=GM=3CCOSB，求48C的周長(zhǎng).

19.在全民抗擊新冠疫情期間，某校開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了

100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）的頻率分行直方

圖如下，若被抽取的這10。名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.

（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)。/的值:

（2）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電

話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；

（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）和［7.0,7.5）的學(xué)生中按比例分層抽樣

抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）的

人數(shù)X分布和數(shù)學(xué)期望.

22

20.已知橢圓「：?+%■=1（〃〉/>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大、工.

（1）以巴為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)耳和上頂點(diǎn)B,求橢圓「的離心率；

（2）己知。=5,6=4,設(shè)點(diǎn)P是橢圓「上一點(diǎn)，且位于工軸的上方，若△母;g是等腰三角

形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）已知〃==過(guò)點(diǎn)8且傾斜角為的直線與橢圓「在x軸上方的交點(diǎn)記作A,

若動(dòng)直線/也過(guò)點(diǎn)心且與橢圓「交于M、N兩點(diǎn)（均不同于A）,是否存在定直線％：x=x0,

使得動(dòng)直線/與的交點(diǎn)C滿足直線4l/、/C、/N的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)

與的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.若函數(shù)y一/（彳）在尢-頻處取得極值，且/（%）一義玉）（常數(shù)4GR），則稱須是函數(shù)

V=/（x）的“幾相關(guān)點(diǎn)”.

（1）若函數(shù)），=/+2%+2存在“％相關(guān)點(diǎn)”，求4的值；

（2）若函數(shù)y=履2—21nx（常數(shù)AwR）存在“1相關(guān)點(diǎn)”，求上的值：

（3）設(shè)函數(shù)），=/（大）的表達(dá)式為/（x）=ad+加+CK（常數(shù)久從ceR且owO）,若

函數(shù)N=/（x）有兩個(gè)不相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)尸（1,2）存在3條直線與曲線

V=/（x）相切，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2024-2025學(xué)年上海市奉賢區(qū)高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

考生注意：

1.本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；

2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；

3.在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；

4.答題時(shí)可使用符合規(guī)定的計(jì)算器.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7?12題每題5分）

口-fxllxl>eRi-

1.設(shè)全集TTU=R,若集合1111則力=.

【正確答案】{x|-l<x<l}

【分析】解絕對(duì)值不等式求集合人應(yīng)用集合補(bǔ)運(yùn)算求］

【詳解】由題設(shè)力二{x|x21或xW-l},又。=區(qū)，

所以彳:

故{x|Tvxvl}

2.若幕函數(shù)》=/的圖象經(jīng)過(guò)（我,3）,則此幕函數(shù)的表達(dá)式為,

【正確答案】y=x3

【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式算舟參數(shù)。即可得解.

【詳解】由題意得（次）"=3：=3i=3,所以三=1，解得〃=3,

所以此哥函數(shù)的表達(dá)式為y=/

故答案為.歹二/

X

3.不等式一40的解集是________.

x-1

【正確答案】［0,1）

【分析】化為整式不等式求解.

xx(x-l)<0

【詳解】不等式一《0等價(jià)于1t：，解得O?X<1，

x-\[x-l工0

Y

所以不等式一VO的解集是[0,1).

x-1

故。1)

4.已知/(x)=V----是R卜的奇函數(shù),則，(。)的值為_(kāi)____.

22+1

7

【正確答案】"

6

【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求。，再代入求/(〃).

【詳解】因?yàn)?(x)=￡-二萬(wàn)是R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=彳-5=0,解得：4=3,

/，(%)=-———,則/⑶=3———

V722X+1-7223+16

7

故答案為.一

6

5.已知空間向量值=(1,2,3),3=(2,-,20),c=(1,1,2),若E_L(2萬(wàn)+6),則4=

【正確答案】-1

【詳解】2萬(wàn)+3=2(1,2,3)+(2,-2,0)=(4,2,6),

,：cl(2a+b),:.c-(2a+b)=0t.-.4+2+62=0,

解得2=-1,

故答案為.一1

/、6

6.已知m>0,[X+~)的二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為729,則展開(kāi)式中V項(xiàng)的系數(shù)是

【正確答案】60

【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為729,求出〃？，用通項(xiàng)公式求解即可.

6

m

【詳解】因?yàn)閄+的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為729,

IX）

令x=l,得（1+加/=729,解得〃7=2,

所以+展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為I*=C〉/T.（2）=2'‘

令6—2廠=2,得廣=2,

所以/項(xiàng)的系數(shù)為22屐=60.

故60.

7.已知圓錐的側(cè)面積為兀，旦側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐的底面半徑為.

【正確答案】—

2

【分析】設(shè)圓錐底面半徑為廣，母線長(zhǎng)為/，根據(jù)條件列方程，可求〃的值.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為廣，母線長(zhǎng)為/.

由圓錐的側(cè)面積為兀，所以兀“=7in〃=l.

由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，所以半=兀=/=2幾

所以2r=in］且.

2

故叵

2

8.現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援滬醫(yī)療隊(duì)”，用A表示事件”抽到的兩名醫(yī)

生性別同”，8表示事件”抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P（8|4）=.

【正確答案】g

【分析】結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的概率，計(jì)算出抽到的兩名醫(yī)

生都是女醫(yī)生的概率，從而結(jié)合條件概率的計(jì)算公式即可求出。（可4）.

C2+C23r21

【詳解】由題意知，r（，）=34尸（皿寶亍

7

所以叩I小瑞子

3

7

9.已知在等比數(shù)列｛%｝中，的、為分別是函數(shù)、=/-6/+6工-1的兩個(gè)駐點(diǎn)，則

【正確答案】V2

【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)及韋達(dá)定理可得生，%的關(guān)系，后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.

【詳解】由題意可得：y=3x2-12x+6,

、（小+%=4>0

則%、%是函數(shù)/=3Y_12X+6的零點(diǎn)，則〈.八，

a3a丁=2>0

且｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為夕。0,

%>0

可得,解得出=±0，

as=。3a7=2

注意到%=%夕2>0,可得%=五.

故答案為?正

10.若丹、咒是雙曲線二-二=1（?！?,6>0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)巴的直線/與雙曲線的左右兩

a~b~

支分別交于A,4兩點(diǎn).若△AB行為等邊三角形，則雙曲線的離心率為.

【正確答案】V7

【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出中，|4B|=2d|/3|=4〃，由△4是等邊三角形得

ZF/JF2=120°,利用余弦定理算出。=將〃，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心

率.

【詳解】因?yàn)椤?4入為等邊三角形，可知|48|=|3&|=|4入|,

A為雙曲線上一點(diǎn)，二|力鳥(niǎo)|一|4百|(zhì)二2。，

B為雙曲線上一點(diǎn)，則|明|一|8瑪|=2%即|8用一|.4例=|4月|=2〃，

/.|AF21=|AF]\+2a=4a,

由/%以2=6?！?，則/片Ng=120°,已知|耳行|=2c,

在△尸4乃中應(yīng)用余弦定理得：4c2=4/+16/_2?2。?4。?cos120,，

得c,2=7a2,則層=7=e=療

故g

方法點(diǎn)睹；求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過(guò)條件直接得到a,。的值，這時(shí)可將￡或9視為

aa

cb

一個(gè)整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于一或一的方程，從而得到離心率的值.

aa

II.若存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)〃x)=cos(5+9)-;(口>0)在工￡[兀,3兀]上有且僅有2個(gè)零

點(diǎn)，則口的取值范圍為

【正確答案】

[33J

【分析】利用了二cosx的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)/(工)的零點(diǎn)，再利用題設(shè)條件建立不等

關(guān)系+一｝”2,2兀且竽一(+2E("+2%2兀,從而求出結(jié)

36)6)〃)

果.

【詳解】因?yàn)?(x)=cos(s+e)-1(①>0),由/(x)=0,得到cos(ox+s)=L

22

717T

所以①x+*=—+2攵兀(攵丘Z)或0x+夕=——+2kn(kGZ),

7T△；7T,

所以與一0+2E-9+2e

物以x='-------------(kGZ)/x=3--------------(keZ)

CDCO

又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)。，使函數(shù)/(M在工￡［兀,3可上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以

與一8+2Elln2兀

~Y~(P+2A兀-(/)+2kn—~(p+2kn

『c且3即？且

<2n—------------------------------>2兀上-?2兀

COCDco(OG)

10兀

-2—>2兀>解得一￡(「<一.

33

co

故，工0<3

33

xe\O<x<1._,

12.已知函數(shù)/(x)=，的圖像與直線4：

xlnx,x>1戶熹交于點(diǎn)"("J

4(工2，為)，其中演<馬，與直線人：y=--1?交于兩點(diǎn)。(X3，%)、。(%，乂)，其中

2cosa

X3<x4,則x1x2+X3X4的最小值為.

【正確答案】-+x/2

2

XllnX2

【分析】根據(jù)/(x)的單調(diào)*易得邛*=x2lnx,=—^,x,e=lnx,e,即玉=lnx,,

sin~a

從而得到A.A,=為9=-4—,同理得到X3A4=-「，再利用基本不等式求解.

sina2cosa

【詳解】解：當(dāng)0cx<1時(shí)，/(x)=xel則/'(x)=(l+x)e'>0,

所以/(力在(0,1)上遞增,且/(x)?0,e)；

當(dāng)時(shí)，/(x)=xlnx,則/'(》)=l+lnx>0,

所以/(x)在(1,+8)上遞增,若要使/(x)w(O,e),則x?l,e),

所以々64￡(1，。)，111工2，111》4￡(°，1)

ygA0<Y<11

因?yàn)楹瘮?shù)/")=，，'，的圖像與直線4：y=-^交于點(diǎn)4(西,凹)，8(打外)，

xlnx,x>\snra

所以石鏟=xInx=一-7—,芭鏟=Inxe,nX2,

22sin'cr2

所以玉二姑工2，即￡=e',

所以x(x2=xg』=——；—，同理x3x4=-------；-，

sin-a2cos'a

所以，1,11.2

x/2+X3X4=—^―+-——=—

sina2cosasinacosa

21.2

2-sina

1.,2\3cosa2

sin~cr+cos'a=—+——；—>-+V2

sin2acos2Of)2sin2acos2a2

A?2

當(dāng)且僅當(dāng)cos2a_，sm-a,即tan2a=J5,等號(hào)成立，

~~2-2

sinacosa

所以X/2+&Z的最小值為5+

故之+行

2

思路點(diǎn)睹：首先確定困數(shù)每段的單調(diào)性，從而得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，建立模型，再利用基

本不等式求解.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15-16題每題5分)每

題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.設(shè)復(fù)平面上表示2-i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)4和點(diǎn)8,則表示向量前的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出46,即可得出向量而的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在

象限.

【詳解】復(fù)平面上表示2-i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)力和點(diǎn)8,

則力(2,-1)*(3,4),所以而二(1,5),

所以向量而的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：A

*

14.已知拋物線「：過(guò)焦點(diǎn)廣且斜率為工的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)/、B,

2

則線段的長(zhǎng)為()

A.2715B.4x/30C.4()D.20

【正確答案】D

【分析】設(shè)直線的點(diǎn)斜式，與拋物線方程聯(lián)立，消去x,利用韋達(dá)定理求出|必-乃|,再利用

弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).

【詳解】易知少（1,0）,則直線/B.y=g（x—l）nx=2y+l

代入V=4x,得），=4（2y+l）,整理得.式一8丁一4=0

必+為=8

設(shè)力（西,必），8卜2，%），則，

.凹為二T

所以?-為y=?+三y一切仍=64+16=80,所以|必一%|==4右.

所以以同=1+?|乂-月=石、4石=20.

故選：D

15.如圖，在正方體力BCQ-44GA中，點(diǎn)尸是線段4G上的動(dòng)點(diǎn)，下列與8尸始終異面

C.ADXD.8c

【正確答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的定義一一判定即可.

【詳解】對(duì)于A,連接用BD,當(dāng)產(chǎn)為4G中點(diǎn)時(shí)，PWBR,因?yàn)?8"/。。，

所以8。。用四點(diǎn)共面，則8P、在平面3。。?上，故A不符合題意;

對(duì)于B,因?yàn)榱7/4C，所以4c，4，G四點(diǎn)共面，尸w平面為C4G，

對(duì)于c,當(dāng)尸與q重合時(shí)，因?yàn)榱〃4G，所以片?！?尸，故c不符合題意;

對(duì)于D,當(dāng)夕與G重合時(shí)，設(shè)片?？?。1二。，則8尸ri8c二。，

故D不符合題意.

敗選：B.

16.已知/(x)=sinx,集合。=r={(x,y)|2/(x)+/(^)=0,x,^GZ)},

Q={(x,y)12/(x)+/(j)>0,xjGD].關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說(shuō)法正確的是()

命題①：集合「表示的平面圖形是中心對(duì)稱圖形；

5萬(wàn)2

命題②：集合C表示的平面圖形的面積不大于匯.

12

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

【正確答案】A

【分析】根據(jù)/(x)=sinx是奇函數(shù)，可以分析出當(dāng)「時(shí)所以集合「表

示的平面圖形是中心對(duì)稱圖形：結(jié)合集合「代表的曲線及不等式的范圍可以確定集合Q表示

的平面圖形，從而求得面積，與江進(jìn)行比較.

12

【詳解】對(duì)于「={(x))|2/(x)+/(y)=0,xj￡。},集合。=[一*,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)

稱，且函數(shù)/(x)=sinx是奇函數(shù)，

若則2/(x)+/'(y)=0則

2/(一》)+/(-N):-2/(x)-/(^)=-[2/(x)+/(y)]=0,

即若(x,y)w「則即集合「表示的平面圖形是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱圖形，枚①是

真命題；

對(duì)于。={(xj)12/(x)+/(y)>0,x9y€D},

由2/(x)+/(y)=0即2sinx+siny=0知siny=-2sinx,

設(shè)，=5皿乂、￡-py,貝V與)—對(duì)應(yīng)且，隨》的增大而增大，rG[-U],

又由￡=-2sinx知一2sini￡[-l,l],sinx￡-p-,

ft,冗冗7171

結(jié)合—知在范圍內(nèi)，/與X對(duì)應(yīng)且，隨X的增大而減小,

2266

所以在XEJ*-an7i范圍內(nèi)，歹與一一對(duì)應(yīng)且N是關(guān)于x的減函數(shù),

662'22

由①可知2sinx+siny=0圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以可得到2sinx+siny=0在

71717171,tm.rtn

e的圖象，如圖

代入點(diǎn)可得2sinN+sinN=3>0,所以2sinx+siny20的區(qū)域是右半部分，

2）22

面積為正方形面積的一半，即集合。表示的平面圖形的面枳S=Jx71X71=故

2212

②是假命題.

故選：A.

方法點(diǎn)睛：確定不等式表示的區(qū)域范圍

第?步：得到等式對(duì)應(yīng)的曲線；

第二步：任選一個(gè)不在曲線上的點(diǎn)，若原點(diǎn)不在曲線上，一般選擇原點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否

符合不等式；

第三步：如果符合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的區(qū)域；若不符合，則另一側(cè)

區(qū)域?yàn)椴坏仁剿硎镜膮^(qū)域.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的

題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

17.如圖，在四棱錐P-/BCD中，ABHCD,且NB4P二NCDP=90°.

（1）證明：平面048_L平面產(chǎn)力。；

8

（2）若==ZAPD=90^.且四棱椎。一力。。。的體積為一.求々?與

3

平面44C。所成的線面角的大小.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）30°.

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明；

（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明得PO_L底面48C。，再根據(jù)四棱錐的體積公式求出

PA=PD=AB=DC=2,從而用線面角的定義求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樵谒睦忮F產(chǎn)一/BC。中，ZBAP=/CDP=9O，

所以481E4,CD1PD,

XAB//CD,所以,4〃_L7Y），

因?yàn)?P4,PDu平面P4D,

所以平面"。，

因?yàn)?8u平面7M8,所以平面218_L平面40.

【小問(wèn)2詳解】

取力。中點(diǎn)。，連結(jié)PO,

因?yàn)镻4=PQ,所以PO_L4O,

由（1）知力4_1_平面產(chǎn)力0,4Ou平面尸4。，所以/AJLPO,

因?yàn)?4,<8,/。（=底面/3。9,

所以。。_1_底面48C。，

設(shè)PA=PD=AB=DC=a,求得AD=\Ja?+a?=Jia，P0=也。，

AHCD=7XS四邊形X8CDXPO

=—xABxADxPO=—xax\jlcixa=-a3=—

33233

解得。=2,

所以PB=7P（）2+AO。+PB?=12+2+4=2近，

因?yàn)镻O_L底面HBCQ,

所以/PBO為PB與平面ABCD所成的角，

在Rt△尸04中，sin/P80="=E='，

PB2及2

所以/P8O=3（r.

所以尸8與平面ABCD所成的線面角為30“.

18.在銳角三角形/8C中，角4dC的對(duì)邊分別為Ac,而為E在無(wú)方向上的投影

向量，且滿足2csin8二后.

（1）求cos。的值；

（2）若6=JJM=3CCOSB，求力8C的周長(zhǎng).

【正確答案】（1）,

（2）273+72

【分析】⑴依題意可得函=〃cosC,即可得至I」2csin8=J^cosC，利用正弦定理將邊

化角，即可得到2sinC=、&osC，再由平方關(guān)系計(jì)算可得;

（2）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及（1）的結(jié)論得到sin8=6os8,

從而求出sin4、cosB,再由正弦定理求出。，即可求出。，從而得解.

【小問(wèn)1詳解】

由瓦為池在在方向上的投影向量，則|比卜bcosC，

又2csin4=V5|C5|,即2csin3=y/5hcosC，

根據(jù)正弦定理，2sinCsin8=\/5sin^cosC，

在銳角49c中，0,：,則sin4>0,即2sinC=V5cosC，

Tt57

由0,兀-、,則cos^C+sin2c=1，整理可得cos2c-二cos2c=1,解得cosC二二（負(fù)

V2）；43

值舍去）.

【小問(wèn)2詳解】

可得sin/=3sinCcos8，

在V43C中，A+B+C=K,則5畝（4+。）=3$足庚053,

所以sinfeosC+cosBsinC=3sinCcos5，所以sin8cosc=2sinCcos3,

由（1）可知cosC=—,sinC=Jl-cos2c=—，則sin3=J5cos8，

33

逅

cosi?=

由sir^B+cos?/?=1，則5cos總+cos2f?=1，解得，（負(fù)俏舍去）,

<30

sinB=

~6~

根據(jù)正弦定理，可得‘一二三，則。=吧￡_/,=0,〃="。=石

smBsinCsinB2

故V48C的周長(zhǎng)6,低=。+8+。=2百+應(yīng).

19.在全民抗擊新冠疫情期間，某校開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了

100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方

圖如下，若被抽取的這10。名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.

（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)。力的值；

（2）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電

話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；

（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）和［7.0,7.5）的學(xué)生中按比例分層抽樣

抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）的

人數(shù)X分布和數(shù)學(xué)期望.

【正確答案】（1）。=0.26,6=0.38

⑵2

3

3

（3）分布列詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為一

【分析】（1）根據(jù)頻率分布宜方圖的知識(shí)求得。力.

（2）根據(jù)古典概型的知識(shí)求得所求概率.

（3）根據(jù)超幾何分布的的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期里.

【小問(wèn)1詳解】

30

0.5/?+0.5x0.22=—,/>=0.38,

100

(0.14+t7+0.42+0.58+0.38+0.22)x0.5=1,解得a=0.26.

【小問(wèn)2詳解】

已知抽取的學(xué)生有男生,

CC4x3122

則抽取的2人恰好為一男一女的概率為c2［=工，=標(biāo)=1.

【小問(wèn)3詳解】

每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）和［7。7.5）的學(xué)生比例為（0.5、0.14）:（0.5、0.42）=1:3,

所以在［6.0,6.5）的學(xué)生中油取2人，在［7.0,7.5）的學(xué)生中抽取6人.

再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，

抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6。6.5）的人數(shù)X的取值為0J2,

*=0）=誓L型二,

'7Cl5614

尸（％=］）=與普=身,

'，C；5628

（）C；5628，

所以X的分布列如下：

X012

5153

P

142828

23

數(shù)學(xué)期望E（X）=3x—=

84.

20.已知橢圓「：［+.=1（〃＞方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為大、鳥(niǎo).

（1）以區(qū)為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)片和上頂點(diǎn)8,求橢圓「的離心率：

（2）已知〃=5/=4,設(shè)點(diǎn)尸是橢圓「上一點(diǎn)，且位于x軸的上方，若△勿;鳥(niǎo)是等腰三角

形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知a=2,b=6，過(guò)點(diǎn)E且傾斜角為T的直線與橢圓「在》軸上方的交點(diǎn)記作A,

若動(dòng)直線/也過(guò)點(diǎn)用且與柄圓「交于兩點(diǎn)（均不同于A）,是否存在定直線小：%二4

使得動(dòng)直線/與/。的交點(diǎn)。滿足直線力M、/C、4V的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)

%的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）-

2

（2）答案見(jiàn)解析（3）存在，x0=4,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意知。=2c,即可知離心率；

（2）分仍用=|「用，|產(chǎn)用=寓用和|%|=|片用三種討論即可;

（3）設(shè)直線/：y=%（x-l）,聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，計(jì)算將韋達(dá)定理式

整體代入，再計(jì)算《如，得到方程即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得J7壽=加即。=2c,所以離心率e=—二萬(wàn).

【小問(wèn)2詳解】

22

由題意得橢圓「:二+上=1

2516

①當(dāng)|尸耳|=|叫|時(shí),由對(duì)稱性得尸（0,4）.

②當(dāng)|產(chǎn)用=忸用時(shí)，|P耳|=|耳閭=6,故歸瑪|=2°_|產(chǎn)用=4,設(shè)P（x,y）,

,、/、［（x+3）"+歹2=36Lv2+6x+y2=27

由月（-3,0）,丹（-3,0）得222/2_,

［（x-3）+j廠=16［x-^x+y=7

兩式作差得x=

代入橢圓方程，得y=（負(fù)舍），故尸

（52^/y

③當(dāng)歸周二|月印時(shí)，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知P-一.

【小問(wèn)3詳解】

由題意得橢圓「?+己=1,大（一1,0）,工（1,0）,力卜1）.

設(shè)直線/：y=Z(x-l),

y=攵(1_1)

由)x2y2得(4公+3卜2一弘、+4%2-12=0.

T+T-1

8k2

設(shè)忖($,乂),%(X2/2).則

4k2-n

c訴■

33?，?

%二月一5〃(玉-1)一］“(/—I)一］

乙I乙

&-1X,-1X］-1

2kx、x、-2k+5)(x1+X))+24+32k.4*123)8-

2k+--,+2左+3

4戶+341+3

2k-1，

中2-(項(xiàng)+X2)+14A2—128A

+1

4r+34A2+3

k,__3_

%T/T2-1)

3

由2〃-1二2左-------

%—1

關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于第三問(wèn),我們通常選擇設(shè)線法,設(shè)直線=從而將其與橢圓方程

聯(lián)立得到兩根之和與之積式，然后再計(jì)算出的值，再將韋達(dá)定理式整體代入，當(dāng)然

本題也可引入加，設(shè)直線i：x-l=my.

21.若函數(shù)y=/(x)在x=/處取得極值，且/(%)=九%(常數(shù)4eR)，則稱/是函數(shù)

V=/'(X)的"％相關(guān)點(diǎn)

(1)若函數(shù)y=/+2x+2存在“4相關(guān)點(diǎn)”，求力的值；

(2)若函數(shù)卜二"2一2mx(常數(shù)〃wR)存在“1相關(guān)點(diǎn)”，求上的值：

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為/。)=&/+瓜2+以(常數(shù)以安cwR且awO),若

函數(shù),=/(.“)有兩個(gè)不相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)〃(1,2)存在3條直線與曲域

?=/(')相切，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)2=-1

(2)k=\

(3)(-??,-1)

【分析】(1)函數(shù)、=/+21+2在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，可得一1

為函數(shù)y=x2+2x+2的極值點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解：

H-1=o

(2)由題意可得〈2，即得天)+21。/-1=0,設(shè)e(x)=x+21nx-l(x>0),

優(yōu)一21nx0=x0

結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)ea)=x+21nx-l在(0,+力)上單調(diào)遞增，且0(1)=(),進(jìn)而求解；

(3)由/(X)=Q1+以2+3=2^,可得G2+反+6_2=0，設(shè)/，為函數(shù)/(工)的“2

△=/_4〃（c-2）〉0A=4b2—12ac>0

b2b

相關(guān)點(diǎn)”,則《X]+x,=—x+x=--,進(jìn)而可得/）=