托勒密定理

@gL______

目自模型介紹

1.托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等「一組對邊所包矩形的面

積與另一組對邊所包矩形的面積之和.

翻譯：在四邊形A8CO中，若A、B、C、。四點(diǎn)共圓，則=

證明：在線段8。上取點(diǎn)E,使得N8AE=NC4。，

易證△AEBs△4￡)(7,.?.絲二"，BPACBE=ABCD,

當(dāng)NBAS:NCAO時，可得：/BAC=/EAD,

Annp

易證44805△4￡￡),.?.—=—,upACDE=ADBC,

ACCB

：.ACRE+ACDE=AR-CD+AD-RC.

AACBD=AB-CD+AD-BC.

2.(托勒密不等式)：對于任意凸四邊形ABCD,有ACBOWABCD+ADBC

D

A

證明：如圖1,在平面中取點(diǎn)石使得ZABE=ZACD,

ADRF

易證△A4￡S/\AC。，???——=—,即AC?鹿①,

ACCD

連接DE,如圖2,

ABAE.ABAC

?~AC~~AD',,旗—而‘

又NBAC=NBAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE=ZDAE,

Anr)p

/.——=——，BPACDE=ADBC?,

ACBC

將①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

JACBD<AC(BE+DE)=ABCD+ADBC

即當(dāng)且僅當(dāng)A、8、C、。共圓時取到等號.

3.托勒密定理在中考題中的應(yīng)用

(1)當(dāng)△A8C是等邊三角形時，

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在弧AC上時，根據(jù)托勒密定理有：DBAC=ADBC+ABCD,

又等邊△?18c有人B=AC=BC,故有結(jié)論：DB=DA+DC.

證明：在8。上取點(diǎn)E使得。E=D4,

易證力c,l\AEDsXABC、利用對應(yīng)邊成比例，可得：DB=DA+DC.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在弧8c上時，結(jié)論：D4=O8+OC.

【小結(jié)】雖然看似不同，但根據(jù)等邊的旋轉(zhuǎn)對稱性，圖I和圖2并無區(qū)別.

(2)當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在弧BC上時，根據(jù)托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又A8:AC:8C=1:1：X/5,代入可得結(jié)論：丘AD=BD+CD.

如圖4,當(dāng)點(diǎn)。在孤AC上時，根據(jù)托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

乂A4:AC:AC=1:1:近，代入可得結(jié)論：BD=&D+CD.

(3)當(dāng)△ABC是一般三角形時，若記8C：AC：AB=a：b：c,

根據(jù)托勒密定理可得：a-AD=bBD+cCD

例題精講

【例1].如圖，正五邊形"CQE內(nèi)接于。0,A4=2,則對角線的長為_1±再_.

上變式訓(xùn)練

【變式1-1].先閱讀理解：托勒密(山。如町，古希臘天文學(xué)家)定理指出：圓內(nèi)接凸四邊形

兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.即：如果四邊形ABCD內(nèi)接于。0,則有/18?

CD+AD?BC=AC?BD,再請完成：

圖1圖2

(1)如圖1,四邊形4EC。內(nèi)接于。0,8C是。。的直徑，如果可，CD=

1,求A。的長.

⑵在(1)的條件下，如圖2,設(shè)對邊84、C。的延長線的交點(diǎn)為P,求力、戶。的長.

解：(1)是。0的直徑，

：.ZBAC=ZBDC=W,

'：AB=AC=4^>>

???△A8C是等腰直角三角形，

/.BC=V2A^=V10>

???^-7BC2-CD2-V(Vio)2-12-3，

???圓內(nèi)接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，

即：如果四邊形4BC0內(nèi)接于。0,則有AB?CZHAQ?BC=AC?8。，

即遙X1+40x715=^X3,

解得：AD=?

(2)?:/PAD=/PCB,NP=NP,

:.叢PADs叢pcB,

?PA=PD=AD

??天PB而’

設(shè)PA=x,PD=y,

火,Jr―r=-，

y+iV5+xVio

解得：x=五，y=—,???必=運(yùn)，PD=3.

2222

【變式1-2].如圖l,已知內(nèi)接四邊形AAU4

求證：AC?BO=4B*CD+AO?BC.

證明：如圖1,在8。上取一點(diǎn)凡連接CP,使/尸C8=NOCA,即使N1=N2.

???在OO中，N3與N4所對的弧都是而，

AZ3=Z4.

:,叢ACDsRBCP.

.AC=AD

**BCBP-

：.AC*BP=AD*BC.①

又???N2=N1,

AZ2+Z7=Z1+Z7.

即NACB=NOCP.

???在OO中，N5與N6所對的弧都是菽，

AZ5=Z6.

/.AACBs&DCP.

(1)任務(wù)一：請你將“托勒密定理”的證明過程補(bǔ)充完整；

(2)任務(wù)二：如圖2,已知RtZ\48C內(nèi)接于。。，/ACB=90°,4C=6,BC=8,CD

平分NAC3交。。于點(diǎn)。，求CO的長.

：,AC*DP=AB^DC@,

???(D+②得：AC*BP+AC*DP=AD*BC+AB*DC,

：.AC*(BP+DP)=AI>BC+AB*DC,

即AC?8O=AQ?BC+A8?OC,

(2)VZACB=90°,AC=6,8C=8,

22=I0,

AZADB=90°,^^=7AC+BC

???CD平分NAC8交G)0于點(diǎn)D,

:.乙BCD=4ACD,

：,BD=AD,

VZADB=90°,

：.ZABD=45°,

，8O=AO=A8?sin45"=5版

???四邊形人8C。內(nèi)接于00,

：.AB*CD=AC*BD+AD*BC,即10CD=6X56+8X5?,

ACD=7A/2.

【例2】.托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

已知：如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于。。.

求證：A3QC+AQ8C=AC3Q.

證明：如圖2,作/8/1E=NC4D,交BD于點(diǎn)E,

??????

/.AABE^AACD,

：.AB*DC=AC*BE,

/.XABCsXAED、

：,AD*BC=A^ED,

.\AB*DC+AD*BC=AC*BE+AC*ED=AC(BE+ED)=AC*BD.

(1)請幫這位同學(xué)寫出已知和求證，并完成證明過程；

(2)如圖3,已知正五邊形ABCOE內(nèi)接于O。，AB=1,求對角線8。的長.

(1)解：已知：如圖I,四邊形A8C7)內(nèi)接于。0,

求證：AB*DC+ADBC=AC*BD,

故答案為：四邊形A8CO內(nèi)接于。。，AB*DC+AD*BC=AC*BDx

證明：如圖2,作/協(xié)E=NCA￡>,交BD于點(diǎn)、E,

?.⑥才,

/.NABE=ZACD,

???△ABEs△A。。，

.AB=BE

**ACDC,

：.ABDC=ACBE.

VAB=AB,

NACB=NADE.

ZBAE=ZCAD,

/.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

即N84C=NEA。，

/.XABCsX'ED,

.ADED

??I二，,

ACBC

：.ADBC=ACED,

：.ABDC+ADHC

=ACBE+ACED

=AC(BE+ED)

=ACBD,

即AB*DC+AD*BC=AC*BD；

(2)解：在圖3中，連接4。、AC.

二?五邊形ABCDE是正五邊形,

工/\ABC^^DCB^AAED,

???設(shè)BD=AC=AD=x.

在圓內(nèi)接四邊形ABC。中,

由托勒密定理可得：AB?CD+AD?BC=AC?BD,

即IX1+尸I=/,

解得Xi弋叵，行八平?(舍去)'

???對角線8。的長為我坐.

2

》變式訓(xùn)練

【變式27].已知：如圖1,四邊形A8CO內(nèi)接于。。.

圖1圖2圖3

求證：AB*CD+BC^AD=AC*BD

下面是該結(jié)論的證明過程：

證明：如圖2,作NB?E=NC4O,交B。于點(diǎn)E.

VAD=AD,ZABE=ZACD,

:.XABEs叢N3,A—=^,：?AB?CD=AC*BE；

ACCD

VAB=AB,:.ZACB=ZADE（依據(jù)1）,

,：ZBAE=ZCAD,：.ZBAC=^EAD,

???△ABCS^AE。（依據(jù)2）,.??9D,,\AD>BC=AC*ED；

ACCB

：.AB^CD+AD*BC=AC<BE+ED）,UP48?CO+8C?AO=AC?BO.

（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是指同弧所對的圓周角相等：“依據(jù)2”是指兩

角分別相等的兩個三角形相似.

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCQ是矩形時，托勒密定理就是我們熟知的勾股定理.

（3）如圖3,四邊形/1BC7）內(nèi)接于OO,AB=3,AD=5,N8AO=60°,點(diǎn)。是BD的

中點(diǎn)，求4C的長.

解：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是同弧所對的圓周角相等.

“依據(jù)2”足兩角分別相等的兩個二角形相似.

故答案為：同弧所對的圓周角相等；兩角分別相等的兩個三角形相似.

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABC。是矩形時，

貝i」4B=C。，AD=BC,AC=BD,

\'AB*CD+AD*BC=AC*BD,

.,.Afi2+AD2=^D2,

托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：勾股定理，

故答案為：勾股.

(3)連接8。，作CE_L8。于￡

圖3

:四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

???NB4O+NBCD=180°,

VZBAD=60°,

???/88=120°,

vDC-BC,

:.CD=CB,

???NCO8=30°,

在RtZ\COE中，cos300=邁，

CD

：.DE=-^-CD,

2

：.BD=2DE=y/3CD,

由托勒密定理：AC?B/)=4D?BC+CD?八B,

/.AC*V3CD=3CD+5CD,

:.AC=W工,

3

答：AC的長為國返.

3

【變式2-2].圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘枳等于兩組對邊乘積的和.即：如圖1,若

四邊形ABC。內(nèi)接于00,則有.

任務(wù)：(1)材料中劃橫線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為AC?84=48?8+BC?AD.

(2)己知，如圖2,四邊形A3CO內(nèi)接于OO,8。平分NA8C,ZCOD=120°,求證：

BD=AB+BC.

解：(1)由托勒密定理可得：AUBD=AB+CD+BC?AD

故答案為：AC?BD=AB?CD+BC?AD

(2)如圖，連接AC

VZCOD=120°,

：.ZCBD=ZCAD=60°

???8。平分/ABC

???NABD=NCBD=6U°

/.z：ACD=60n,

???△ACZ）是等邊三角形

：.AC=AD=CDf

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形

：.AC^BD=AB^CD+BC^AD

:.BD=AB+BC

□實戰(zhàn)演練

1.如圖，以RtZ\ABC的斜邊BC為一邊在△A8C的同側(cè)作正方形8CER對角線交于點(diǎn)。,

連接A。，如果4B=4,A0=4加,那么AC的長等于（）

???四邊形BCE/是正方形，NB4C=90°,

：?OB=OC,N8AC=/8OC=90°,

:?B、A、0、C四點(diǎn)共圓，

/.NABO=ZACO,

在△BA。和△CG。中

'BA=CG

<ZBAO=ZGCO,

OB=OC

???△8A0絲△CG。(SAS),

：?0A=0G=4a,/AOB=NCOG,

?：/BOC=/COG+/BOG=90°,

/.ZAOG=NAOH+N8OG=90”,

即△40G是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AG=dAO24()G2=8,

即AC=4G+CG=8+4=12.

故選：A.

B

2.如圖，在。。的內(nèi)接四邊形A8C。中，4B=3,AD=5,/84。=60°,點(diǎn)C為弧BD

的中點(diǎn)，則AC的長是約色.

一3一

解：解法一、；A、B、C、。四點(diǎn)共圓，ZBAD=60a,

AZBCD=1800-60c=120°,

VZBAD=60°,4c平分NBA。，

：.ZCAD=ZCAB=3Q°,

將△AC。繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)120。得△C8E,

則/E=NC4O=30°,BE=AD=5,AC=CE,

/.ZABC+ZEBC=(180°-ZCAB-ZACB)+(180°-ZE-NBCE)=180°,

???A、B、E三點(diǎn)共線,

過C作CM14E于M,

\*AC=CE,

：.AM=EM=-X(5+3)=4,

2

在皿Mg心小一直二好

解法二、過C作CE_L4B于，CF_LAD于F,

則NE=NCVD=NCKA=90°,

???點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn),

.*.BC=CD,

：.ZBAC=ZDAC,BC=CD,

yCElAB,CF1AD,

:.CE=CF,

YA、B、C、。四點(diǎn)共圓，

:?/D=NCBE,

在△CBE和尸中

rZCBE=ZD

<ZE=ZCFD

CE=CF

:ACBE學(xué)ACDF,

:?BE=DF,

在△AEC和△AFC中

2E=NAFC

,ZEAC=ZFAC

AC=AC

:.AAEC^AAFC,

：.AE=AF,

設(shè)BE=DF=x,

\*AB=3,AD=5,

.\AE=AF=x+3f

:.5=x+3+x，

解得：x=l,

即AE=4,

：.AC=—

cos303

故答案為：名巨.

3

3.如圖，在等腰△4BC中，AB=AC=4,8C=6,點(diǎn)。在底邊BC上，且ND4C=N4C。,

將△ACO沿著A。所在直線翻折，使得點(diǎn)C落到點(diǎn)￡處，聯(lián)結(jié)BE,那么BE的長為1.

ZABC=ZC,

VZDAC=ZACD,

：.ZDAC=ZABC,

VZC=ZC,

/.△CAD^ACBA,

.CA=CD

**CBAC,

.4_CD

??'9

64

ACD=—,BD=BC-CD=-

33t

VZDAM=^DAC=ZDBA,ZADM=ZADB,

/.XADMsXBDA、

_8_

.AD_DMm父__DM

??麗—瓦’l,w-T,

33

；.DM=絲，MB=BD-DM=$,

155

*/ZABM=ZC=/MED,

???A、B、E、。四點(diǎn)共圓，

/.ZADB=ZBEM,^EBM=ZEAD=ZABD,

???△A8Os/\M8E,（不用四點(diǎn)共圓，可以先證明△8MAS/\EA〃），推出△BMESAA/Q,

推出NAQ8=N8EM也可以！）

.AB=BD

..前BE,

3*

故答案為：1.

4.如圖，。是正方形AB。。內(nèi)一點(diǎn)，CP=CD,APYBP,則上3的值為Y2.

PD-2一

解：如圖，過點(diǎn)。作AP垂線交AP延長線于￡,

;四邊形A8CO是正方形，CP=CD,

：.BC=CP=CD,

:./PBC=/BPC,NDPC=NPDC,

設(shè)則國一。

NPCQ=x,/8℃=―211:45,ZDPC=———=90°-三,

2yU2

：.ZBPD=450+90°=135°,

APIBP,

，NAPO=360°735°-90°=135°,

：.ZDPE=45°,

設(shè)DE=PE=y,

???^=VPE2+ED2=&V，

VZDAE+ZBAP=ZRAP+ZABP=^°，

：.ZDAE=ZABP,

在△OAE與△ABP中,

2APB=NDEA

<ZDAE=ZABP,

AB二AD

:.△APB@4DEA(A4S),

：,AP=DE=y,

?PA-,y-V2

-PDV2y2,

故答案為：Y2.

2

5.如圖，正方形ABC。的邊長是6,對角線的交點(diǎn)為。，點(diǎn)E在邊CO上且CE=2,CFL

；⑵。尸=_誓

BE,連接OF,則:(1)NOFB450

解:(1)在BE上截取BG=C/,

???在正方形A4CQ,4C_L3。，ZABC=ZBCD=W,AC=BD,BO=—BD,Cf)=—AC,

22

AC.8。分別平分NABC、NBCD,

：,BO=CO,N8OC=90°,ZOBC=ZOCD=45°

'：CFA.BE,

/.ZCFE=90°,

AZFEC+Z￡：CF=90o,

VZ￡BCiZFEC=90°,

，NEBC=NECF,

，ZOBC-NEBC=ZOCD-NECF,

：.ZOBG=ZFCO,

:.叢OBG^^OCF(SAS),

:?/BOG=/FOC,OG=OF,

???NGOC+NCO/=90,，

，NOFG=NOGr=45°，

故答案為：45°：

(2)在RtZ\8CE中，根據(jù)勾股定理，得3E=2/1U，

.rr_?rBCXCE3V10

BE5

在RtAFCE中，根據(jù)勾股定理，得

5

：,GF=BE-BG-EF=K^,

5

在RtZ\R?E中，根據(jù)勾股定理，得0尸=生應(yīng)，

5

故答案為：國空.

6.如圖，在RlZVLBC中，N84C=90°,。為8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DEJ_OF,交朋的

延長線于點(diǎn)E,交4C的延長線于點(diǎn)F.若。尸=［，AC=4,AB=2.則AE=10.

2

解：延長尸。至G,使GO=fD,連接8G,如圖所示:

???7)為BC的中點(diǎn)，：,BD=CD,

BD=CD

在aBOG和△C。尸中，＜/BDG=NCDF,

GD=FD

???△8QGg△CQF(SAS),

：,BG=CF=—,ZG=ZF,

2

:.BG〃CF,

:.△BGHsRAFH,

T

?GHBHBG_27

FHAHAF15'

2

.DH4Af.1515

FD112211

15

VZBAC=90°,AF=AC+CF=—

2

喈)2=挈

.??Z)〃=_L/77=12返，

1511

\'DE±DF,

???/￡?！?90°=ZBAC,

；?NE+NEHD=NF+NEHD=90°,

，NE=NF,

:?△DHES^AHF,

**HFAH,'75加15

2211

解得：崇，

19R1R

：.AE=HE-AH=-^---=10：

1111

故答案為：10.

7.設(shè)△ABC是正三角形，點(diǎn)P在△ABC外，且與點(diǎn)A在直線8c異側(cè)，ZBPC=120°,

求證：PA=PB+PC.

解：如圖，延長//至E,使PE=PC,連接CE,

VZBAC+ZBPC=180°,且NR4C=60°,

AZBPC=120°,

???NCP￡=60°,又PE=PC,

???△CPE為等邊三角形，

：.CP=PE=CE,NPCE=60°,

???△ABC為等邊三角形，

：.AC=HC,Z^C4=6O°,

，/ACB=/PCE,

JNACB+/BCP=ZPCE+ZBCP,

即：NACP=NBCE,

???在△4CP和/XBCE中，

AC=BC

<ZACP=ZBCE.

PC=PE

(SAS),

：.AP=BE,

?：BE=BP+PE,

：,PA=PB+PC.

8.0O半徑為2.AB.￡)E為兩條直線.作￡)r_L4△于C且C為40中點(diǎn).。為圓上一個

動點(diǎn).求2PC+PE的最小值.

.OC^OP=_1

''OP"OK~2'

又,：4C0P=4POK,

:ACOPSAPOK,

,PC_QCJ

,,PK=OP即PK=2PC.

/.2PC+PE=PE+PK2EK.

作EH_LBC于點(diǎn)H.

???在直角△COO中，cosZDOC=~—,

OD2

，NOOC=60°,

：,ZEOH=ZDOC=60°,

???〃石=0石?sin60°=2X^_=A/3，

???EK=N0+E）2=277.

即最小值是2小.

故答案是：24'7.

9.如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓，劣弧為8c上的一點(diǎn).

(1)求NBPC的度數(shù)：

(2)求證：PA=PB+PC.

P

（1）解：???四邊形48PC內(nèi)接于圓，

：.ZBAC+ZBPC=\SO.

???等邊三角形ABC中，ZBAC=60°,

AZBPC=120°：

（2）證明：延長BP到O,使得。P=PC,連接CO.

VZBPC=120,

AZCPD=60.

又PC=PD,

???△PC7）是等邊三角形，

：.PC=CD,ZPCD=60°,

/.ZACM+ZMCP=PCD+ZMCP,

即NAC-BCO.

???等邊三角形ABC中，

：.BC=AC.

???PC所對的圓周角是NQ3C與/以C,

:?NDBC=NMC.

在△OBC和△密C中，

rZDBC=ZPAC

<BC=AC,

ZBCD=ZACP

(ASA),

：.AP=BD.

?:BD=BP+DP,

：,AP=BP+DP,

?:DP=PC,

：.PA=PB+PC.

10.如圖，。0的直徑AB的長為10,弦8。的長為6,點(diǎn)C為AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)8的切

線石R連接AO,CD,CB；

(1)求證：4CDB="BF；

(2)若點(diǎn)。為標(biāo)的中點(diǎn)，求C。的長.

(1)證明：連接AC,如圖，

為的直徑，

AZACB=90°,

???N1+N2=9O°,

???￡尸為。。的切線，

：.ABLEF,

???NA8尸=90°,即N2+NC8F=90°,

AZ1=ZCBF,

VZ1=ZCDB,

:"CDB=/CBF；

(2)解：作CMIA。于CN\DR千N,加圖.

???AB為。。的直徑，

AZADB=90°,

=22

^D7AB-BD=V102-62=8'

???點(diǎn)C為標(biāo)的中點(diǎn)，

/.ZADC=ZBDC,

:?CA=CB,CM=CN,

在□△ACM和RtABCN中

rAC=BC

,CM=CN'

/.RtA4CM^RtABCA;

:.AM=BN,即AD-AM=DN-BD,

/.AM+DN=AD+BD=8+6=14,

,/四邊形CMDN為矩形，CM=CN,

，四邊形CMDN為正方形,

:?DM=DN=7,

：.CD=^2DM=1^2.

11.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

托勒密定理：

托勒密（PMy）（公元90年?公元168年），希胎著名的天文學(xué)家，他的要著作《天

文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從

書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（尸/口可）定理.

托勒密定理：

圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

已知：如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于。0,

求證：AB?CD+BC?AD=AC?BD

下面是該結(jié)論的證明過程：

證明：如圖2,作N84E=NC4D,交BD于點(diǎn)E.

'：AD=AD

???/ABE=ZACD

/.AABE^/XACD

.AB_BE

,?而F

：.AB*CD=AC*BE

VAB=AB

/.ZACB=ZADE（依據(jù)1）

?：ZBAE=ZCAD

：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC

即/84C=NE4。

:.XABCSRAED（依據(jù)2）

：,AD*I3C=AC*ED

：.AB*CO+孫BC=4C?（BE+ED）

：,AB*CD+AD>BC=AC^BD

任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形人8c。是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：勾

股定理.

（請寫出）

（3）如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于0。，AB=3,40=5,/區(qū)4。=60°,點(diǎn)。為BD的

中點(diǎn)，求AC的長.

解.：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是同弧所對的圓周角相等.

“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個三角形相似.

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形4BCO是矩形時，

則A8=CD,AD=BC,AC=BD,

,：AB*CD+AD*BC=AC*I3D,

：.AB2+AD1=BD2,

托勒密定理就是我們非常熟知的?個定理：勾股定理,

故答案為勾股定理.

（3）連接8。，作CE_LBD于￡

圖3

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,

AZBA￡>+ZBCD=18(r,

???/8AO=60°,

：.ZBCD=\20°,

VDC=BC,

:,CD=CB,

：.ZCDB=30°,

在中，cos300=—,

CD

：.DE=^-CD,

：,BD=2DE=^/3CDf

由托勒密定理：AC?BD=AD?BC+CD?AB，

：.AC^^/3CD=3CD+5CD,

??.AC=3返.答：力。的長為國返.

33

12.在學(xué)習(xí)了《圓》和《相似》的知識后，小明白學(xué)了一個著名定理“托勒密定理：圓內(nèi)接

四邊形對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.”

（1）下面是小明對托勒密定理的證明和應(yīng)用過程，請補(bǔ)充完整.已知：四邊形A8C。內(nèi)

接于。O.

求證：AC?ED=AB?CD+AD?BC?證明：作NCDE=NBDA,交AC于點(diǎn)

;。。中，Z1=Z2,

:.叢ABDsAECD（兩角對應(yīng)相等，兩三:角形相似）.

,DA_DB_AB

?而言記

：.AB^CD=BD*EC?,

DA^DE

DBDC

又???N8QA+N3=NCD￡：+/3,

^ZADE=ZBDC,

???△DAEs*DBC(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似).

,DAAE

??二一.?

DBBC

???AO?8C=BQ?A￡@.

:?AB?CD+AD+BC=BD(EC+AE),

：.AI3*CD+AD*BC=AC*BD.

(2)利用托勒密定理解決問題：是否存在一個圓內(nèi)接四邊形，它的兩條對角線長為5和

V2,一組對邊長為1和3,另一組對邊的和為4.若存在，求出未知的兩邊；若不存在，

說明理由.

(1)證明：作NCQE=N8D4,交AC于點(diǎn)E,

;。。中，Z1=Z2,

(兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似).

.DADBAB

,'DE'DC"EC'

:.AB?CD=BD?EC?,

?.?'DA'二DE??

DBDC

又ZBD4+/3=ZCDE+Z3,

即N4OE=NBOC,

:.XDAESXDBC(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似).

.DAAE

DBBC

，人￡)?4。=4。”骸.

：?AB?CD+AD?BC=BD(EC+AE),

：.AB*CD+AD*BC=AC*BD.

故答案為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，DAE,DBC,兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,

兩三角形相彳以，AB*CD+AD*BC=BD(EC+AE)；

(2)不存在，理由如下：

設(shè)未知的兩邊分別為：a,4-a,

由托勒密定理可得：5XV2=IX3+?（4-〃），

???（4-2）2=7-5A/2<0,

，方程無解，

???不存在這樣的?個演內(nèi)接四邊形.

13.閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

布拉美古塔定理

婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提

出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”.定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的

對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線平分對邊.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫出了這個定理的已知和求證.

已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形對角線AC_LB。，垂足為P,過點(diǎn)。作A3的垂

線分別交45,DC丁點(diǎn)H,M.

求證：M是C。的中點(diǎn)

任務(wù)：

（1）請你完成這個定理的證明過程.

（2）該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫出了另外一個命題：若圓內(nèi)接四邊形的

對角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對角線交點(diǎn)的連線垂直于對邊請判斷此命題是真命

題.（填“真”或"假”）

（3）若PD=2,HP=M，BP=3,求M〃的長.

(1)證明：

:?NAPB=NCPD=90°,

：,ZABP+ZBAP=^,

〈PH上AB,

：,ZBAP+ZAPH=90°,

NABP=NAPH,

：.NMPC=ZAPH,

VAD-AD,

，NABP=ZACD,

，NPCM=/MPC,

，PM=MC,

同理可得，PM=DM,

；?DM=CM,

是。。的中點(diǎn)；

(2)若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對角線交點(diǎn)的連線垂直于對邊,

理由如下：

已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC_L8O,垂足為P,M是C。的中點(diǎn)，

連接MP交AB于點(diǎn)H,

求證：PHA.AB；

證明：是C。的中點(diǎn)；

；?DM=CM=PM,

ZPCM=ZMPC,

VAD-AD,

NABP=NPCM,

?：NMPC=NAPH,

??.NMPC=/APH,

：?NAPH+NHPB=NABP+NHPB=9()0,

：.PHLAB；

故答案為：真；

(3)解：,:BP=3,步=/§,

:?BH=網(wǎng)

：?sinNHBP=",

3

,?NABP=NPCD,

,V3-DP_2

CDCD,

???。。=2逐

???M是CD的中點(diǎn)，

:?PM=*CD=M，

2

MH=2^/3.

14.已知△ABC內(nèi)接于O。，N84C的平分線交0。于點(diǎn)D,連接DB,DC.

(1)如圖①，當(dāng)N84C=120°時，請直接寫出線段A8,AC,A。之間滿足的等量關(guān)系

式：A5+4C=A￡>；

(2)如圖②，當(dāng)N8AC=90°時，試探究線段AB,AC,AO之間滿足的等量關(guān)系，并證

明你的結(jié)論：

(3)如圖③，若BC=5,80=4,求皿的值.

AB+AC

解：(1)如圖①在4。上截取AE=AB,連接BE,

VZBAC=120°,NZMC的平分線交OO于點(diǎn)。,

圖①

：.ZDBC=ZDAC=60a,ZDCB=ZBAD=60°,

工/\ABE和△3C。都是等邊三角形，

：?/DBE=/ABC,AB=BE,BC=BD,

:?△BED/XBAC(SAS),

：.DE=AC,

：.AD=AE+DE=AB+AC；

故答案為：AB+AC=AD.

(2)AB+AC=42AD.理由如下：

如圖②，延長AB至點(diǎn)M,使8M=AC,連接QM,

???四邊形ABDC內(nèi)接于。0,

；.NMBD=NACD,

?.?//MO=NCAO=45°,

:?BD=CD,

???△MB。絲△ACO(SAS),

：,MD=AD,ZM=ZCAD=45°,

???MOJ_AO.

：.AM=42AE，即/W+8M=&AD，

，A8+AC=&AE；

(3)如圖③，延長/W至點(diǎn)N,使BN—AC,連接DV,

???四邊形4BDC內(nèi)接于O。，

/.ZNBD=ZACD,

,：ZBAD=ZCAD,

:?BD=CD,

:?△NBDQAACD(SAS),

:?ND=AD,NN=NG4。，

/.NN=Z1NAD=NDBC=NDCB,

:ANADSACBD,

AD

叫

?BD

Be

BD

A-D

?

ANBc

XAN=AB+BN=AB+AC,BC=5,BD=4,

.AD_BD二4

?'AB+AC而可

15.問題探究：

（1）已知：如圖①，△ABC中請你用尺規(guī)在8C邊上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)A到點(diǎn)8C的距

離最短.

（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對?對邊乘積的和等于兩條對角線

的乘積.如圖②，P是正△人8c外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），請你根

據(jù)托勒密（Ptolemy）定理證明：PA=PB+PC.

問題解決:

（3）如圖③，某學(xué)校有一塊兩直角邊長分別為30〃?、60〃?的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備

在草坪內(nèi)放置一對石凳及垃圾箱在點(diǎn)。處，使P到A、8、。三點(diǎn)的距離之和最小，那么

是否存在符合條件的點(diǎn)P?若存在，請作出點(diǎn)尸的位置，并求出這個最短距離（結(jié)果保

留根號）；若不存在，請說明理由.

B圖①0尸圖②4圖③C

解：（1）利用尺規(guī)作醫(yī)，過點(diǎn)4作8c的垂線，交8c于D,

則點(diǎn)。即為所求：

（2）由托勒密定理得，PA*BC=PB*AC+PC*ABt

?:△ABC為正三角形，

：.AB=BC=AC,

：.PA?BC=PB?BC+PC?BC,

：.PA=PB+PC；

（3）以8c為邊作正ABCQ,使點(diǎn)。與點(diǎn)A在BC兩側(cè)，

作△8CQ的外接圓，連接AO交圓于P,連接。8,倫OE_LAC交4c的延長線于￡

則點(diǎn)P即為所求，

由（2）得，PD=PB+PC,

???P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和=ZM,且距離之和最小，

VCD=BC=30,NDCE=NBCE-NBCD=3U°,

??.OE=JLCD=15,

由勾股定理得，Cf=5/CD2_DE2=15V3,

）

則?'￡=VAE2+DE2=3肘5+2愿,

答：。到A、B、C三點(diǎn)的距/之和最小值為30-5+函〃?.

16.（1）方法選擇

如圖①，四邊形A3c。是。0的內(nèi)接四邊形，連接HC,BD,AB=BC=AC.求證：BD

=AD+CD.

小穎認(rèn)為可用截長法證明：在。8上截取OM=A。，連接4M…

小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長CD至點(diǎn)N,使得。N=A。…

請你選擇一種方法證明.

（2）類比探究

【探究1】

如圖②，四邊形ABCQ是。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD,5C是。0的直徑，A8=

AC.試用等式表示線段A。，BD,C。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【探究2】

如圖③，四邊形ABCQ是OO的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD.若6C是。0的直徑，Z

ABC=30°,則線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式是一8Q=EcD+2A。.

（3）拓展猜想

如圖④，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，連接4C,BD.若8C是。。的直徑，BC：

AC：AB=a：b；c,則線段A。，B.D,CD之間的等量關(guān)系式是BD=￡CD+衛(wèi)

a?

圖①圖②圖③圖④

解：（1）方法選擇：???A3=3C=AC,

/.ZACB=ZABC=W,

如圖①，在8。上截取OM=A。，連接AM,

VZADB=ZACB=6（y,

???△AOM是等邊三角形，

，AM=A。，

ZABM=ZACD,

VZAMB=ZADC=\20°,

???△A8M絲△AC。（/US）,

：,BM=CD,

：.BD=BM+DM=CD+AD；

（2）類比探究：如圖②，

???BC是。。的直徑，

，N8AC=90°,

???AB=AC,

/.ZABC=ZACB=45°,

過A作AMLAD交40于M,

VZADB=ZACB=45Q,

???△AQM是等腰直角三角形，

.\AM=AD,ZAMD=45°，

；.DM=&AD,

，NAMSN4OC=135°,

NABM=NACD,

1?△ABMg△AC。（A4S）,

：.BM=CD,

???BD=BM+DM=CD+V2AD；

【探究2】如圖③，???若6c是。。的直徑，NA3c=30°,

：.ZBAC=90°,NAC8=60°,

過A作AMLAD交8。于M,

VZADB=ZACB=60c,

，NAMO=30°,

：,MD=2AD,

VZABD=ZACD,ZAMB=ZADC=150°,

.??典尊=?,

CDAC

:?BM=MCD,

:.BD=BM+DM=MCEH2AD；

故答案為：BD=?CD+2AD；

(3)拓展猜想：BD=BM+DM=—CD+—AD；

bb

埋由：如圖④，:若5c是。。的直徑，

，N84C=90°,

過A作AMLAD交8。于M,

AZMAD=9()O,

：.ZBAM=ZDAC,

???△ABMSAAC。，

■.?BMAB_c,

CDACb

：.BM=￡CD,

b

VZADB=ZACB,N8AC=NM4O=9()°,

???△AQMS/\ACB,

?AD_AC_b

**DMBC-7'

：,DM=—AD,

b

/.BD=BM+DM=—CD+—AD.

bb

故答案為：BD=-CD^—AD

17.數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,AC,8。是四邊形ABCO的對角線，若NACB

=NACD=NABD=NAD8=60°,則線段BC,CD.AC三者之間有何等量關(guān)系？

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2,延長。3到E,使8E=CQ,連接AE,

證得△ABEgZLADC,從而容易證明△4CE是等邊三角形，故AC=CE,所以AC=8C+CD.

小亮展示了另一種正確的思路：如圖3,將△A8C繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使A8與

人力重合，從而容易證明△Ab是等邊三角形，故AC=C/，所以AC=BC+CQ.

在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：

(1)小穎提出：如圖4,如果把“NAC8=/ACD=NA8D=/AOB=60°”改為“N

ACB=ZACD=ZAI3D=ZADB=45°”，其它條件不變，那么線段3C,CD,AC三者之

間有何等量關(guān)系？針對小穎提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明.

(2)小華提出：如圖5,如果把“NAC8=N4CQ=NA8O=N4OB=60°”改為“N

ACB=ZACD=ZABD=ZADB=a',其它條件不變，那么線段3C,CD,AC三者之間

有何等量關(guān)系？針對小華提出的問題，請你寫出結(jié)論，不用證明.

DB

解：⑴“C+8=&AC；

理由：如圖1,

延長CQ至E,使。E=8C,連接AE,

VZABD=ZADB=45°,

：.AB=AD,ZBAD=I8O0-ZABD-ZADB=90°,

VZACB=ZACD=45Q,

/.ZACB+ZACD=90°,

：.Z8AD+乙BCD=180",

???/48C+NAQC=180°,

???/AOC+NAOE=180°,

,ZAI3C=ZADE,

'AB=AD

在△A4C和△4?！曛?，,NABC=NADE,

BC=DE

???△ATJC/石(5/45),

AZACB=^AED=45°,AC=AE,

???△ACE是等腰直角三角形，

：.CE=42AC,

,:CE=CD+DE=CD+BC,

???8C+CQ=&AC；

(2)4C+CQ=24C?cosa.理由：如圖2,

延長CO至E,使

???ZABD=ZADB=a,

：,AB=AD,N/MQ=1800-ZABD-Z/\DB=180°-2a,

\*ZACB=ZACD=a,

，ZACB+ZACD=2a,

/.ZBAD+ZBCD=180a,

.??N/WC+NAQC=18(T,

VZADC+Z/^DE-180o,

/.ZABC=ZADE,

'AB=AD

在△AB。和△AOE中，ZABC=ZADE,

BC=DE

/.AABC^AADE(SA