2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽九點(diǎn)圓定理試卷一、定理介紹在任意三角形中，三邊的中點(diǎn)、三條高的垂足、垂心與頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)共圓，該圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，也被稱為歐拉圓或費(fèi)爾巴哈圓。1765年，數(shù)學(xué)家歐拉首次發(fā)現(xiàn)三角形垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點(diǎn)圓），為九點(diǎn)圓定理的研究奠定了基礎(chǔ)。1821年，彭賽列完成了九點(diǎn)圓定理的第一個(gè)完整證明，明確了九點(diǎn)共圓的結(jié)論。1822年，費(fèi)爾巴哈進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓和旁切圓相切，這一重要性質(zhì)使九點(diǎn)圓定理在幾何領(lǐng)域的地位更加凸顯。九點(diǎn)圓定理以其結(jié)構(gòu)簡潔、形式優(yōu)美、內(nèi)容豐富的特點(diǎn)，成為平面幾何中的經(jīng)典定理，其各種推廣和延伸研究至今仍在繼續(xù)。二、性質(zhì)（一）基本度量性質(zhì)九點(diǎn)圓的半徑是三角形外接圓半徑的一半。設(shè)三角形外接圓半徑為R，則九點(diǎn)圓半徑r=R/2。這一性質(zhì)揭示了九點(diǎn)圓與外接圓在大小上的固定比例關(guān)系，為相關(guān)幾何量的計(jì)算提供了便利。九點(diǎn)圓平分垂心與外接圓上任意一點(diǎn)的連線。即對(duì)于三角形外接圓上任意一點(diǎn)P，連接垂心H與點(diǎn)P，線段HP的中點(diǎn)必在九點(diǎn)圓上。（二）位置關(guān)系性質(zhì)九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上，且為垂心H與外心O連線的中點(diǎn)。歐拉線是三角形中一條重要的直線，其上依次分布著垂心、重心、外心等關(guān)鍵幾何點(diǎn)，九點(diǎn)圓圓心的這一位置特性進(jìn)一步豐富了歐拉線的內(nèi)涵。九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓和三個(gè)旁切圓均相切（費(fèi)爾巴哈定理）。這一性質(zhì)展現(xiàn)了九點(diǎn)圓與三角形內(nèi)部及外部圓的密切聯(lián)系，四個(gè)切點(diǎn)被稱為費(fèi)爾巴哈點(diǎn)。（三）拓展性質(zhì)對(duì)于一個(gè)垂心組（由三角形三個(gè)頂點(diǎn)和它的垂心組成的四個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都是其余三點(diǎn)組成的三角形的垂心），四個(gè)三角形共有的九點(diǎn)圓，該九點(diǎn)圓與四個(gè)內(nèi)切圓、十二個(gè)旁切圓相切。圓周上任意四點(diǎn)，任取其中三點(diǎn)構(gòu)造三角形，得到的四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。這一定理將九點(diǎn)圓的研究從單個(gè)三角形擴(kuò)展到圓上多點(diǎn)構(gòu)成的多個(gè)三角形，體現(xiàn)了幾何中的和諧與統(tǒng)一。三、證明方法（一）向量法證明設(shè)△ABC的外心為O，垂心為H，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)向量$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，則|$\boldsymbol{a}$|=|$\boldsymbol$|=|$\boldsymbol{c}$|=R（外接圓半徑）。求垂心H的向量表示：根據(jù)垂心性質(zhì)，$\overrightarrow{OH}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}$。設(shè)三邊中點(diǎn)分別為M（AB中點(diǎn)）、N（BC中點(diǎn)）、Q（CA中點(diǎn)），則$\overrightarrow{OM}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol}{2}$，$\overrightarrow{ON}=\frac{\boldsymbol+\boldsymbol{c}}{2}$，$\overrightarrow{OQ}=\frac{\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}}{2}$。設(shè)垂心與頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)分別為P（AH中點(diǎn)）、R（BH中點(diǎn)）、S（CH中點(diǎn)），則$\overrightarrow{OP}=\frac{\boldsymbol{a}+\overrightarrow{OH}}{2}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}}{2}=\frac{2\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}}{2}$，同理可得$\overrightarrow{OR}=\frac{\boldsymbol{a}+2\boldsymbol+\boldsymbol{c}}{2}$，$\overrightarrow{OS}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol+2\boldsymbol{c}}{2}$。設(shè)九點(diǎn)圓圓心為V，由性質(zhì)知V為OH中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{OV}=\frac{\overrightarrow{OH}}{2}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}}{2}$。計(jì)算各點(diǎn)到V的距離：以M點(diǎn)為例，$\overrightarrow{VM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OV}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol}{2}-\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}}{2}=-\frac{\boldsymbol{c}}{2}$，則|$\overrightarrow{VM}$|=|$\boldsymbol{c}$|/2=R/2。同理可證，N、Q、P、R、S到V的距離均為R/2。對(duì)于三條高的垂足D、E、F，通過向量運(yùn)算和垂直關(guān)系可證明其到V的距離也為R/2，從而證明九點(diǎn)共圓。（二）幾何法證明（四點(diǎn)共圓法）連接三角形三邊中點(diǎn)M、N、Q，得到中點(diǎn)三角形MNQ。根據(jù)三角形中位線定理，MN∥AC，NQ∥AB，QM∥BC，且MN=AC/2，NQ=AB/2，QM=BC/2。設(shè)三條高的垂足分別為D、E、F，連接垂足D、E、F，得到垂足三角形DEF。由于H是垂心，所以∠HDB=∠HEB=90°，則B、D、H、E四點(diǎn)共圓，可得∠HDE=∠HBE。又因?yàn)椤螲BE=90°-∠ACB，而∠NMQ=∠ACB（中位線平行性質(zhì)），所以∠HDE=90°-∠NMQ。在中點(diǎn)三角形MNQ中，∠QMN=∠ACB，所以∠QMD=90°-∠HDE。結(jié)合∠HDE與∠NMQ的關(guān)系，可推出∠QMD+∠QED=180°，從而證明M、N、D、E四點(diǎn)共圓。同理，通過類似的角度關(guān)系推導(dǎo)，可證明其他點(diǎn)也在該圓上，最終完成九點(diǎn)共圓的證明。四、競賽題型分析（一）證明題例題1：證明三角形垂心到頂點(diǎn)的距離等于九點(diǎn)圓圓心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。思路分析：設(shè)三角形ABC的垂心為H，九點(diǎn)圓圓心為V，BC邊中點(diǎn)為N。連接HV、VN，根據(jù)九點(diǎn)圓圓心是OH中點(diǎn)（O為外心），利用向量法或幾何法中線段中點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合外心到中點(diǎn)的距離與外接圓半徑的關(guān)系進(jìn)行證明。證明過程：連接外心O與BC邊中點(diǎn)N，ON為外接圓半徑在BC邊上的中垂線，長度為Rcos∠BOC/2（或通過坐標(biāo)法計(jì)算）。HV為OH的一半，通過三角形中位線定理或向量運(yùn)算可證得HV=2VN，即完成證明。例題2：證明庫利奇－大上定理：圓周上四點(diǎn)任取三點(diǎn)做三角形，四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心共圓。思路分析：設(shè)圓周上四點(diǎn)為A、B、C、D，依次取其中三點(diǎn)構(gòu)成四個(gè)三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，設(shè)它們的九點(diǎn)圓圓心分別為V?、V?、V?、V?。利用九點(diǎn)圓圓心是垂心與外心連線中點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合圓上四點(diǎn)的對(duì)稱性和幾何變換，證明這四個(gè)圓心滿足共圓的條件（如四邊中垂線交于一點(diǎn)、對(duì)角互補(bǔ)等）。（二）計(jì)算題例題3：已知三角形ABC的外接圓半徑R=6，∠A=60°，垂心H到頂點(diǎn)A的距離為4√3，求九點(diǎn)圓的半徑及九點(diǎn)圓圓心到BC邊的距離。解答：由九點(diǎn)圓半徑r=R/2，可得r=6/2=3。設(shè)BC邊中點(diǎn)為N，九點(diǎn)圓圓心為V。根據(jù)九點(diǎn)圓圓心是OH中點(diǎn)，外心O到BC邊的距離d=Rcos∠A=6×cos60°=3。垂心H到BC邊的距離可通過解三角形求得，設(shè)△ABC的高為h?，則h?=ABsin∠B=ACsin∠C，結(jié)合已知條件和三角函數(shù)關(guān)系可求出H到BC邊的距離。再根據(jù)V是OH中點(diǎn)，利用梯形中位線性質(zhì)或坐標(biāo)法可求出V到BC邊的距離。例題4：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求其九點(diǎn)圓的面積。解答：首先計(jì)算直角三角形ABC的外接圓半徑R，根據(jù)直角三角形外接圓半徑公式R=斜邊AB/2，AB=√(AC2+BC2)=√(62+82)=10，所以R=5。九點(diǎn)圓半徑r=R/2=2.5，九點(diǎn)圓面積S=πr2=π×(2.5)2=6.25π。（三）綜合應(yīng)用題例題5：已知三角形ABC的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓相切于點(diǎn)T，且九點(diǎn)圓半徑為2，內(nèi)切圓半徑為1，求三角形ABC的外接圓半徑及內(nèi)心與垂心之間的距離。思路分析：由九點(diǎn)圓半徑r=R/2，可得外接圓半徑R=2r=4。根據(jù)費(fèi)爾巴哈定理，九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓相切，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差（內(nèi)切）。設(shè)九點(diǎn)圓圓心為V，內(nèi)心為I，垂心為H，外心為O。已知九點(diǎn)圓半徑r=2，內(nèi)切圓半徑r?=1，則|VI|=r-r?=1。又因?yàn)閂是OH中點(diǎn)，可建立坐標(biāo)系，設(shè)外心O為原點(diǎn)，利用內(nèi)心坐標(biāo)公式和垂心坐標(biāo)公式，結(jié)合距離公式求出內(nèi)心與垂心之間的距離HI。例題6：在銳角三角形ABC中，H為垂心，O為外心，V為九點(diǎn)圓圓心，已知OH=6，求HV的長度及九點(diǎn)圓的半徑（假設(shè)外接圓半徑R已知）。解答：