2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽不等式技巧試卷一、核心知識點(diǎn)講解（一）基本不等式體系二元基本不等式對于正實(shí)數(shù)(a,b)，有(a+b\geq2\sqrt{ab})，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b)時(shí)取等號。其變形形式包括：(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2)（和定積最大）(a^2+b^2\geq2ab)（平方和不等式）(\frac{a}+\frac{a}\geq2)（倒數(shù)和不等式，(a,b)同號）三元及多元不等式算術(shù)-幾何平均不等式（AM-GM）：對于正實(shí)數(shù)(a_1,a_2,\cdots,a_n)，有(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n})柯西不等式：((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n})不等式鏈對正實(shí)數(shù)(a,b)，有(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}})，從左到右依次為平方平均、算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均。（二）解題技巧與方法配湊法“1”的代換：若已知(a+b=1)（(a,b>0)），則可將目標(biāo)式(\frac{1}{a}+\frac{1})轉(zhuǎn)化為((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}\right)=2+\frac{a}+\frac{a})，再用基本不等式求解。拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)：如求(y=x+\frac{4}{x-2}(x>2))的最小值，可拆分為(y=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2)，利用(t+\frac{4}{t}\geq4)（(t=x-2>0)）得最小值6。等價(jià)轉(zhuǎn)化策略分式不等式整式化：(\frac{f(x)}{g(x)}>0\Leftrightarrowf(x)g(x)>0)（需注意(g(x)\neq0)）恒成立問題最值化：(f(x)>A)恒成立(\Leftrightarrowf(x)_{\text{min}}>A)(f(x)<A)能成立（存在性）(\Leftrightarrowf(x)_{\text{max}}<A)構(gòu)造法構(gòu)造二次函數(shù)：利用判別式(\Delta\leq0)證明不等式，如(x^2+y^2+xy\geq0)可視為關(guān)于(x)的二次函數(shù)，其判別式(\Delta=y^2-4y^2=-3y^2\leq0)。構(gòu)造對偶式：如已知(a,b>0)，設(shè)(M=\frac{a}+\frac{a})，(N=\frac{a}+\frac{a})，則(M=N)，通過相加或相減簡化問題。二、經(jīng)典題型示例（一）填空題（每題8分，共64分）已知正實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a+2b=3)，則(\frac{1}{a}+\frac{1})的最小值為________。解：利用“1”的代換，(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{3}(a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}\right)=\frac{1}{3}\left(3+\frac{2b}{a}+\frac{a}\right)\geq\frac{1}{3}(3+2\sqrt{2}))，當(dāng)且僅當(dāng)(a=\sqrt{2}b)時(shí)取等號，答案為(1+\frac{2\sqrt{2}}{3})。不等式(\frac{x^2-3x+2}{x-3}>0)的解集為________。解：轉(zhuǎn)化為整式不等式((x-1)(x-2)(x-3)>0)，結(jié)合穿針引線法，解集為((1,2)\cup(3,+\infty))。設(shè)(x,y\in\mathbb{R})，且(x+y=1)，則(x^2+y^2)的最小值為________。解：由(x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2})，當(dāng)(x=y=\frac{1}{2})時(shí)取等號，答案為(\frac{1}{2})。若對任意(x>0)，不等式(x+\frac{4}{x}\geqa)恒成立，則實(shí)數(shù)(a)的最大值為________。解：(x+\frac{4}{x}\geq4)（當(dāng)(x=2)時(shí)取等號），故(a\leq4)，答案為4。（二）解答題（共56分）（16分）證明：對任意正實(shí)數(shù)(a,b,c)，有(\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqa+b+c)。證明：由柯西不等式，(\left(\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)(b+c+a)\geq(a+b+c)^2)，兩邊同除以(a+b+c)即得證，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=c)。（20分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)，若對任意(x\in[1,2])，不等式(f(x)\geq0)恒成立，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解：分離參數(shù)得(2a\leqx+\frac{3}{x})，令(g(x)=x+\frac{3}{x})，則(g(x))在([1,\sqrt{3}])遞減，在([\sqrt{3},2])遞增，(g(x)_{\text{min}}=g(\sqrt{3})=2\sqrt{3})，故(2a\leq2\sqrt{3}\Rightarrowa\leq\sqrt{3})。（20分）設(shè)正實(shí)數(shù)(a,b,c)滿足(abc=1)，求證：(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2})。證明：由(abc=1)，令(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z})（(xyz=1)），則原式轉(zhuǎn)化為(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{3}{2})。由柯西不等式，(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)[(y+z)+(x+z)+(x+y)]\geq(x+y+z)^2)，即(\left(\frac{x^2}{y+z}+\cdots\right)\geq\frac{(x+y+z)}{2})。又由AM-GM不等式，(x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}=3)，故原式(\geq\frac{3}{2})，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=c=1)。（三）壓軸題（40分）設(shè)(n)為正整數(shù)，正實(shí)數(shù)(a_1,a_2,\cdots,a_n)滿足(a_1+a_2+\cdots+a_n=1)，求(S=\frac{a_1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{1+a_1+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}})的最小值。解：注意到分母(1+\sum_{j\neqi}a_j=2-a_i)（因?yàn)?\suma_j=1)），故(S=\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{2-a_i})。令(f(x)=\frac{x}{2-x})，則(f(x))在((0,1))上單調(diào)遞增，且為凸函數(shù)。由Jensen不等式，(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}\geqf\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)=f\left(\frac{1}{n}\right))。因此(S\geqn\cdot\frac{\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2n-1})，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(a_1=a_2=\cdots=a_n=\frac{1}{n})。故(S)的最小值為(\frac{1}{2n-1})。三、解題策略總結(jié)優(yōu)先考慮特殊值法：對于選擇題或填空題，可代入特殊值（如(a=b=c)）驗(yàn)證等號是否成立。多方法交