2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽班級初選試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x$，$x\in\mathbf{R}$，則函數(shù)$f(x)$的最小正周期和最大值分別為（）A.$\pi$，$\frac{5}{2}$B.$2\pi$，$3$C.$\pi$，$3$D.$2\pi$，$\frac{5}{2}$在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，若$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$，則$\cosC$的值為（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$0$D.$-\frac{1}{5}$已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z|=1$，且$\text{Re}(z)+\text{Im}(z)=1$，則$z$等于（）A.$1$或$i$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$C.$1+i$D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$設(shè)數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in\mathbf{N}^*$），則數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^{n+1}-1$C.$a_n=2^n+1$D.$a_n=2^{n-1}+1$已知圓$C_1:x^2+y^2=4$和圓$C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=9$，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切設(shè)$x$，$y$為正實(shí)數(shù)，且$x+2y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為（）A.$3+2\sqrt{2}$B.$3+\sqrt{2}$C.$4+2\sqrt{2}$D.$4+\sqrt{2}$滿足方程$x^2-2x\sin\left(\frac{\pix}{2}\right)+1=0$的所有實(shí)數(shù)$x$的和為（）A.$2$B.$4$C.$6$D.$8$從$1$，$2$，$3$，$\cdots$，$10$這$10$個(gè)數(shù)中任取$3$個(gè)數(shù)，記事件$A$為“所取的$3$個(gè)數(shù)中至少有$2$個(gè)數(shù)是連續(xù)的”，則$P(A)$等于（）A.$\frac{11}{15}$B.$\frac{13}{15}$C.$\frac{11}{20}$D.$\frac{9}{20}$二、填空題（本大題共6小題，每小題8分，共48分）函數(shù)$f(x)=\frac{\lg(4-x^2)}{\sqrt{x+1}}$的定義域?yàn)開_________。在$\triangleABC$中，已知$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，則$BC$邊上的高為__________。已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol=(m,1)$，若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)$，則$m=$__________。設(shè)$f(x)$是定義在$\mathbf{R}$上的奇函數(shù)，且當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=x^2-2x$，則當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)=$__________。若正四棱錐的底面邊長為$2$，側(cè)棱長為$\sqrt{5}$，則該正四棱錐的體積為__________。滿足不等式$|x+1|+|x-2|\leq5$的所有實(shí)數(shù)$x$的集合為__________。三、解答題（本大題共4小題，共62分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分14分）已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）的部分圖象如圖所示。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）求函數(shù)$g(x)=f(x)\cdot\cosx$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值。（本小題滿分14分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$S_n=2a_n-n$（$n\in\mathbf{N}^*$）。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。（本小題滿分16分）如圖，在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpAC$，$PA=AC=2$，$AB=1$，$D$是$PC$的中點(diǎn)。（1）求證：$AD\perp$平面$PBC$；（2）求二面角$A-PB-C$的余弦值。（本小題滿分18分）已知橢圓$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$M(2,1)$。（1）求橢圓$E$的方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$E$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}$，求證：$\triangleAOB$的面積為定值。四、附加題（本大題共2小題，每小題20分，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分20分）（1）證明：對于任意正整數(shù)$n$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2$；（2）設(shè)$a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\lnn$，證明：數(shù)列${a_n}$收斂。（本小題滿分20分）如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=100^\circ$，$D$是$BC$上一點(diǎn)，且$BD=BA$，連接$AD$。（1）求$\angleADC$的度數(shù)；（2）求證：$AD+DC=BC$。試卷說明本試卷共4頁，滿分200分，考試時(shí)間120分鐘。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在答題卡指定位置。請將答案寫在答題卡上，在本試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。命題范圍本試卷主要考查高中數(shù)學(xué)競賽一試內(nèi)容，包括函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)、排列組合等知識，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力。試卷難度梯度分明，既有基礎(chǔ)題，也有一定數(shù)量的綜合題和創(chuàng)新題，旨在選拔具有數(shù)學(xué)潛能的學(xué)生進(jìn)入競賽班學(xué)習(xí)。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（略）（注：實(shí)際考試中需提供詳細(xì)參考答案及評分細(xì)則，此處從略。）命題思路知識覆蓋：試卷涵蓋高中數(shù)學(xué)競賽大綱要求的核心內(nèi)容，注重知識的系統(tǒng)性和綜合性，如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列與不等式、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)、排列組合等板塊均有涉及。能力立意：突出對數(shù)學(xué)思維能力的考查，如邏輯推理、抽象概括、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等，部分題目需要學(xué)生靈活運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等）。難度設(shè)計(jì)：試題難度分為基礎(chǔ)題（約40%）、中檔題（約40%）和難題（約20%），符合競賽初選的選拔要求。基礎(chǔ)題主要考查基本概念和技能，中檔題強(qiáng)調(diào)知識的綜合應(yīng)用，難題則注重創(chuàng)新思維和解題技巧。題型設(shè)置：采用選擇題、填空題、解答題和附加題的題型結(jié)構(gòu)，其中附加題難度較高，用于選拔拔尖學(xué)生。解答題和附