2025年下學(xué)期高中混合現(xiàn)實(shí)教育數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）在混合現(xiàn)實(shí)（MR）環(huán)境中，將空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（2，-3，4）的點(diǎn)P進(jìn)行平移操作：沿x軸正方向移動(dòng)1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向移動(dòng)2個(gè)單位，沿z軸正方向移動(dòng)3個(gè)單位，得到點(diǎn)P'。則P'的坐標(biāo)為（）A.（3，-5，7）B.（1，-1，1）C.（3，-1，7）D.（1，-5，1）利用MR技術(shù)觀察圓錐的形成過(guò)程：直角三角形ABC繞直角邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，其中AB=3，BC=5（BC為斜邊）。則該圓錐的體積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π在MR虛擬實(shí)驗(yàn)室中，函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x的圖像與x軸交于A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)將圖像繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的旋轉(zhuǎn)體體積為（）A.π/2B.πC.2πD.4π某混合現(xiàn)實(shí)教育平臺(tái)的用戶(hù)活躍度數(shù)據(jù)顯示，某高中學(xué)生群體的周登錄次數(shù)X服從正態(tài)分布N(8，σ2)，若P(X≤6)=0.2，則P(8<X≤10)=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5在MR空間中，向量a=(1，m，2)與向量b=(2，-1，n)垂直，且|a|=|b|，則m+n的值為（）A.-3B.0C.3D.5利用MR技術(shù)模擬雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：雙曲線C：x2/9-y2/16=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條漸近線的垂線，垂足為P。則|OP|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的長(zhǎng)度為（）A.3B.4C.5D.6在MR動(dòng)態(tài)幾何環(huán)境中，三棱錐P-ABC的底面ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA⊥底面ABC，且PA=3。若將三棱錐繞PA旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三棱錐掃過(guò)的空間體積為（）A.3πB.4πC.6πD.8π某混合現(xiàn)實(shí)教學(xué)系統(tǒng)的題庫(kù)更新模型為：每月新增題目數(shù)量y與該月用戶(hù)刷題量x（單位：萬(wàn)題）滿(mǎn)足線性回歸方程y=0.8x+1.2。若預(yù)測(cè)下個(gè)月用戶(hù)刷題量為20萬(wàn)題，則新增題目數(shù)量約為（）A.15.2B.17.2C.19.2D.21.2在MR復(fù)數(shù)平面中，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-2i|=|z+1|，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線利用MR技術(shù)觀察函數(shù)f(x)=e?-ax2的圖像，若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞，0]B.[0，e/2]C.[e/2，+∞)D.(-∞，e/2]在MR模擬的球坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的球坐標(biāo)為（2，π/3，π/4），則其直角坐標(biāo)為（）A.(√3/2，√3/2，√2)B.(√3/2，√3/2，√3)C.(√6/2，√6/2，√2)D.(√6/2，√6/2，√3)某MR教育軟件的用戶(hù)留存率y與使用時(shí)長(zhǎng)t（單位：天）的關(guān)系滿(mǎn)足y=1/(1+e??.???2)。則當(dāng)t=0時(shí)的瞬時(shí)留存率變化率為（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）在MR虛擬坐標(biāo)系中，平面α的方程為2x-y+3z=6，點(diǎn)P(1，-1，2)到平面α的距離為_(kāi)_______。利用MR技術(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)：在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，其中落在該正方形內(nèi)切圓內(nèi)的點(diǎn)有785個(gè)，則可估計(jì)π的近似值為_(kāi)_______（保留兩位小數(shù)）。在MR動(dòng)態(tài)概率模型中，袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次隨機(jī)取出1個(gè)球，取出后不放回，連續(xù)取3次。則第三次取出紅球的概率為_(kāi)_______。某混合現(xiàn)實(shí)教學(xué)平臺(tái)的課程推薦算法基于用戶(hù)畫(huà)像，若用戶(hù)對(duì)“幾何與代數(shù)”模塊的興趣度為0.6，對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊的興趣度為0.4，系統(tǒng)推薦課程時(shí)兩者權(quán)重分別為0.3和0.7，則該用戶(hù)的綜合推薦指數(shù)為_(kāi)_______。三、解答題（共6小題，共70分）17.（10分）在MR三維建模中，已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為2，E為棱CC?的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱A?B?的中點(diǎn)。（1）求異面直線AE與BF所成角的余弦值；（2）求三棱錐E-ABF的體積。18.（12分）某混合現(xiàn)實(shí)教育項(xiàng)目組為研究學(xué)生使用MR設(shè)備的學(xué)習(xí)效果，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)習(xí)方式成績(jī)提升顯著成績(jī)無(wú)顯著提升總計(jì)MR輔助學(xué)習(xí)401050傳統(tǒng)學(xué)習(xí)203050總計(jì)6040100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“成績(jī)提升顯著”與“MR輔助學(xué)習(xí)”有關(guān)；（2）從成績(jī)提升顯著的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記其中使用MR輔助學(xué)習(xí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，P(K2≥6.635)=0.01）19.（12分）在MR虛擬工廠中，某零件的加工精度要求較高，其直徑誤差X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(0，0.04)。（1）求誤差X的絕對(duì)值不超過(guò)0.3mm的概率；（2）若某批次零件共1000個(gè)，估計(jì)誤差X在區(qū)間(-0.2，0.4)內(nèi)的零件個(gè)數(shù)。（參考數(shù)據(jù)：Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，Φ(2)=0.9772）20.（12分）利用MR技術(shù)研究橢圓的動(dòng)態(tài)性質(zhì)：已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2，1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在MR環(huán)境中，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4√5/5，求直線l的方程。21.（12分）某混合現(xiàn)實(shí)教育平臺(tái)的用戶(hù)增長(zhǎng)模型為：用戶(hù)數(shù)量N(t)（單位：萬(wàn)人）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系滿(mǎn)足微分方程dN/dt=kN(1-N/M)，其中k為增長(zhǎng)系數(shù)，M為環(huán)境承載量。已知平臺(tái)上線初期（t=0）用戶(hù)數(shù)為10萬(wàn)人，3個(gè)月后用戶(hù)數(shù)為30萬(wàn)人，且M=100萬(wàn)人。（1）求用戶(hù)數(shù)量N(t)的表達(dá)式；（2）求平臺(tái)用戶(hù)數(shù)達(dá)到80萬(wàn)人時(shí)所需的時(shí)間（精確到0.1個(gè)月）。22.（12分）在MR高階數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室中，定義“虛擬曲面”S：x2+y2-z2=1（z≥0）。（1）判斷曲面S的類(lèi)型，并求出其在點(diǎn)(1，0，0)處的切平面方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在曲面S上，點(diǎn)Q在xOy平面上，且PQ垂直于xOy平面，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值。四、MR創(chuàng)新實(shí)踐題（共1小題，共20分）利用混合現(xiàn)實(shí)技術(shù)完成以下任務(wù)：（1）在MR空間中構(gòu)建一個(gè)底面半徑為1、高為3的圓柱，沿其母線方向切開(kāi)一個(gè)“V”形缺口，缺口平面與底面所成角為60°，求剩余幾何體的表面積；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)基于MR技術(shù)的“函數(shù)圖像變換”教學(xué)場(chǎng)景，要求包含平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)三種變換，并說(shuō)明如何通過(guò)交互操作幫助學(xué)生理解變換規(guī)律；（3）某MR教育軟件的用戶(hù)反饋數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生對(duì)“空間幾何”模塊的滿(mǎn)意度評(píng)分X（滿(mǎn)分10分）服從均勻分布U(6，10)，求評(píng)分在8分以上的概率，并設(shè)計(jì)一個(gè)MR模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該結(jié)果（寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)步驟和數(shù)據(jù)處理方法）。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（注：實(shí)際試卷中不包含此部分，此處僅為說(shuō)明）1-12題：AACBABACADCA13.√14/1414.3.1415.3/516.0.4617.（1）√10/10；（2）2/318.（1）K2=16.667>6.635，有99%把握；（2）E(X)=1.819.（1）0.8664；（2）818個(gè)20.（1）x2/8+y2/2=1；（2）y=±(x-√6)21.（1）N(t)=100/(1+9e??/3ln3)；（2）8.5個(gè)月22.（1）單葉雙曲面，切平面方程x=1；（2）123.（1）(9+√3)π；（2）（略，需體現(xiàn)交互設(shè)計(jì)）；（3）0.5，實(shí)驗(yàn)步驟（略）試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明技術(shù)融合：所有題目均基于混合現(xiàn)實(shí)技術(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景，如三維建模、動(dòng)態(tài)幾何、數(shù)據(jù)模擬等，體現(xiàn)“在虛擬環(huán)境中解決真實(shí)問(wèn)題”的理念。核心素養(yǎng)：覆蓋數(shù)學(xué)抽象（如22題曲面定義）、邏輯推理（如17題空間幾何證明）、數(shù)學(xué)建模（如21題用戶(hù)增長(zhǎng)模型）、直觀想象（如2題圓錐形成）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（如19題概率計(jì)算）、數(shù)據(jù)分析（如18題獨(dú)立性檢驗(yàn)）六大核心素養(yǎng)。分層設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)題（1-8題、13-16題）側(cè)重知識(shí)應(yīng)用，中檔題（9-12題、17-20題）強(qiáng)調(diào)綜合能力，難題（21-23題）突出創(chuàng)新思維，符合高考命題梯度。實(shí)踐導(dǎo)向：第23題要求設(shè)計(jì)MR教學(xué)場(chǎng)景和實(shí)