2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)技能速度水平試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(4-x)的定義域是（）A.[1,4)B.(1,4]C.[1,3)∪(3,4)D.[1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥(a-b)，則m=（）A.1B.2C.3D.4已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，S3=13，則公比q=（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=5，則輸出的S=（）A.10B.15C.20D.25已知直線l：y=kx+1與圓C：(x-2)2+(y-3)2=4相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=（）A.0B.1/2C.1D.√3從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.84種C.100種D.120種已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(2,1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)=x2-2x，則f(2025)=（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知復(fù)數(shù)z=(1+i)/(1-i)，則|z|=______。已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x，且過點(diǎn)(1,2√2)，則雙曲線的方程是______。已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值是______。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，c=√7，則角C=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，a3=5。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosA=3/5，b=5，c=3。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinB的值；（Ⅲ）求△ABC的面積。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√2，PA=3。（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積；（Ⅲ）求二面角P-BC-A的余弦值。（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D。（Ⅰ）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；（Ⅱ）若|AF|=3，求直線AB的方程；（Ⅲ）求證：以AD為直徑的圓與y軸相切。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2(a∈R)。（Ⅰ）當(dāng)a=1/2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，求證：x1x2>1/e2。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（Ⅰ）求不等式f(x)≥5的解集；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=f(x)-m有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)m的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做題，考生可從中任選一題作答，若兩題都做，則按第一題計分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+π/4)=√2。（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P(0,2)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的值。（選修4-5：不等式選講）已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|。（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f(x)≥6的解集；（Ⅱ）若f(x)≥4對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若存在x0∈R，使得f(x0)≤2成立，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）A2.A3.C4.B5.B6.C7.B8.A9.A10.A11.A12.A二、填空題（每小題5分，共20分）114.x2-y2/4=115.516.π/3三、解答題（共70分）解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=1，a3=5，得1+2d=5，解得d=2。所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1?！?分（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2^(2n-1)=2×4^(n-1)，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列。所以Sn=2(1-4^n)/(1-4)=2(4^n-1)/3?！?0分解：（Ⅰ）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+7-2×3×√7×3/5=...（此處省略具體計算過程）解得a=2√2?！?分（Ⅱ）由正弦定理得sinB=bsinA/a=3×4/5/(2√2)=6√2/25。………8分（Ⅲ）S△ABC=1/2bcsinA=1/2×3×√7×4/5=6√7/5?！?2分解：（Ⅰ）因為AB=AC=2，BC=2√2，所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC。又因為PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PA⊥AB。因為PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC?！?分（Ⅱ）V=1/3S△ABC·PA=1/3×1/2×2×2×3=2。………8分（Ⅲ）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)。設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則{n·BC=0,n·BP=0}，即{-2x+2y=0,-2x+3z=0}，取x=3，得n=(3,3,2)。平面ABC的法向量為m=(0,0,1)。所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=2/√(9+9+4)=2/√22=√22/11。所以二面角P-BC-A的余弦值為√22/11?！?2分解：（Ⅰ）拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x=-1。………3分（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)（x1>0,y1>0），由拋物線的定義得|AF|=x1+1=3，所以x1=2，代入拋物線方程得y1=2√2，所以A(2,2√2)。直線AB的斜率k=(2√2-0)/(2-1)=2√2，所以直線AB的方程為y=2√2(x-1)?！?分（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知D(-1,y1)，所以AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為((x1-1)/2,y1)，半徑為(x1+1)/2。因為圓心到y(tǒng)軸的距離為(x1-1)/2，半徑為(x1+1)/2，所以(x1-1)/2=(x1+1)/2-1，即圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑減去1，所以以AD為直徑的圓與y軸相切?！?2分解：（Ⅰ）當(dāng)a=1/2時，f(x)=xlnx-1/2x2，f'(x)=lnx+1-x。令g(x)=lnx+1-x，則g'(x)=1/x-1=-(x-1)/x。當(dāng)x∈(0,1)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。所以g(x)≤g(1)=0，即f'(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減?！?分（Ⅱ）f'(x)=lnx+1-2ax，令h(x)=lnx+1-2ax，則h'(x)=1/x-2a。當(dāng)a≤0時，h'(x)>0，h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=1-2a≥1>0，所以f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，無極值。當(dāng)a>0時，令h'(x)=0，得x=1/(2a)。若1/(2a)≤1，即a≥1/2時，h(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，h(x)<h(1)=1-2a≤0，所以f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，無極值。若1/(2a)≥e，即a≤1/(2e)時，h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，h(x)>h(1)=1-2a>0，所以f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，無極值。若1<1/(2a)<e，即1/(2e)<a<1/2時，h(x)在(1,1/(2a))上單調(diào)遞增，在(1/(2a),e)上單調(diào)遞減。因為h(1)=1-2a<0，h(e)=1+1-2ae=2-2ae>0，所以存在x0∈(1/(2a),e)，使得h(x0)=0。所以當(dāng)x∈(1,x0)時，h(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,e)時，h(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上有極小值。綜上，實數(shù)a的取值范圍是(1/(2e),1/2)?！?分（Ⅲ）證明：因為x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)，所以{lnx1+1-2ax1=0,lnx2+1-2ax2=0}，兩式相減得lnx1-lnx2=2a(x1-x2)，所以2a=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)。要證x1x2>1/e2，即證lnx1+lnx2>-2。由{lnx1+1=2ax1,lnx2+1=2ax2}，兩式相加得lnx1+lnx2+2=2a(x1+x2)，所以lnx1+lnx2=2a(x1+x2)-2=(lnx1-lnx2)(x1+x2)/(x1-x2)-2。設(shè)t=x1/x2(0<t<1)，則lnx1+lnx2=(lnt)(t+1)/(t-1)-2。要證lnx1+lnx2>-2，即證(lnt)(t+1)/(t-1)-2>-2，即證(lnt)(t+1)/(t-1)>0。因為0<t<1，所以t-1<0，lnt<0，所以(lnt)(t+1)/(t-1)>0，所以原不等式成立?！?2分解：（Ⅰ）f(x)=|x-1|+|x+2|={-2x-1,x≤-2,{3,-2<x<1,{2x+1,x≥1.當(dāng)x≤-2時，由-2x-1≥5，得x≤-3；當(dāng)-2<x<1時，3≥5不成立；當(dāng)x≥1時，由2x+1≥5，得x≥2。所以不等式f(x)≥5的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞)。………4分（Ⅱ）因為f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時取等號，所以f(x)min=3。要使f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，只需a2-2a≤3，即a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3。所以實數(shù)a的取值范圍是[-1,3]?！?分（Ⅲ）函數(shù)g(x)=f(x)-m有兩個零點(diǎn)，即方程f(x)=m有兩個不同的實數(shù)根。由（Ⅰ）知f(x)的最小值為3，且當(dāng)x≤-2時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x≥1時，f(x)單調(diào)遞增。所以當(dāng)m>3時，方程f(x)=m有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)g(x)有兩個零點(diǎn)。所以實數(shù)m的取值范圍是(3,+∞)?！?2分四、附加題（共20分）解：（Ⅰ）曲線C的普通方程為x2/4+y2=1。直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθcosπ/4-ρsinθsinπ/4=√2，即ρcosθ-ρsinθ=2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0?！?分（Ⅱ）點(diǎn)P(0,2)在直線l上，直線l的參數(shù)方程為{x=tcosπ/4,y=2+tsinπ/4（t為參數(shù)），即{x=√2/2t,y=2+√2/2t。代入曲線C的普通方程得(√2/2t)2/4+(2+√2/2t)2=1，整理得5t2+16√2t+24=0。設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1+t2=-16√2/5，t1t2=24/5>0，所以t1，t2均為負(fù)數(shù)。所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=16√2/5?！?0分解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=|x-1|+|x+3|={-2x-2,x≤-3,{4,-3<x<1,{2x+2,x≥1.當(dāng)x≤-3時，由-2x-2≥6，得x≤-4；當(dāng)-3<x<1時，4≥6不成立；當(dāng)x≥1時，由