2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)歸納總結(jié)能力試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.$(-\infty,1)$B.$(1,2)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$解析：對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)<0$，解得$1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$。結(jié)合選項(xiàng)，最接近的區(qū)間為$(1,2)$，故選B。2.三角函數(shù)與解三角形在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{4}$，則$c=$（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{13}$C.$4$D.$5$解析：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入得$c^2=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=13-3=10$，故$c=\sqrt{10}$，選A。3.數(shù)列與不等式已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$S_3=9$，則公差$d=$（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$解析：$S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d=9$，解得$d=2$，選B。4.立體幾何已知正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長為$2$，則異面直線$AC$與$B_1D_1$所成角的余弦值為（）A.$0$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$1$解析：在正方體中，$AC\perpBD$，且$B_1D_1\parallelBD$，故$AC\perpB_1D_1$，所成角為$90^\circ$，余弦值為$0$，選A。5.解析幾何拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,2)$D.$(2,0)$解析：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為$y^2=2px$，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{p}{2},0)$。由$4=2p$得$p=2$，故焦點(diǎn)為$(1,0)$，選B。6.概率與統(tǒng)計(jì)某學(xué)校高二年級有$500$名學(xué)生，其中男生$300$人，女生$200$人?，F(xiàn)用分層抽樣的方法抽取$50$人參加數(shù)學(xué)競賽，則應(yīng)抽取女生的人數(shù)為（）A.$20$B.$30$C.$10$D.$25$解析：分層抽樣比例為$\frac{50}{500}=\frac{1}{10}$，女生應(yīng)抽取$200\times\frac{1}{10}=20$人，選A。7.復(fù)數(shù)與向量已知復(fù)數(shù)$z=(1+i)(2-i)$，則$|z|=$（）A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{10}$C.$3$D.$5$解析：$z=2-i+2i-i^2=3+i$，$|z|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，選B。8.不等式與線性規(guī)劃設(shè)變量$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\y\geq0\end{cases}$，則目標(biāo)函數(shù)$z=2x+y$的最大值為（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$解析：可行域頂點(diǎn)為$(0,0)$、$(2,0)$、$(3,2)$、$(2,3)$，代入$z=2x+y$得最大值為$2\times3+2=8$，選B。9.函數(shù)性質(zhì)函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x^2+1}$的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{(-x)^2+1}=-\frac{\sinx}{x^2+1}=-f(x)$，故為奇函數(shù)，選A。10.數(shù)列綜合在等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，則數(shù)列${a_n}$的前$5$項(xiàng)和$S_5=$（）A.$30$B.$62$C.$126$D.$254$解析：公比$q^3=\frac{a_4}{a_1}=8$，$q=2$，$S_5=\frac{2(2^5-1)}{2-1}=62$，選B。11.立體幾何體積已知圓錐的底面半徑為$3$，母線長為$5$，則該圓錐的體積為（）A.$12\pi$B.$15\pi$C.$36\pi$D.$45\pi$解析：圓錐高$h=\sqrt{5^2-3^2}=4$，體積$V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times9\times4=12\pi$，選A。12.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)$f(x)=x^2-2\lnx$的最小值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$解析：定義域?yàn)?(0,+\infty)$，$f'(x)=2x-\frac{2}{x}$，令$f'(x)=0$得$x=1$。$f(1)=1-0=1$，選C。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2+2n$，則$a_5=$________。答案：$11$解析：$a_5=S_5-S_4=(25+10)-(16+8)=35-24=11$。14.三角函數(shù)$\sin15^\circ\cos15^\circ=$________。答案：$\frac{1}{4}$解析：$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。15.解析幾何雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的離心率為________。答案：$\frac{5}{3}$解析：$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{a^2+b^2}=5$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$。16.概率從$1,2,3,4,5$中隨機(jī)抽取$2$個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率為________。答案：$\frac{2}{5}$解析：總事件數(shù)$C_5^2=10$，和為偶數(shù)的事件數(shù)$C_3^2+C_2^2=3+1=4$，概率為$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，求$f(x)$的最小正周期及在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值。解答：$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，最小正周期$T=2\pi$。當(dāng)$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$時(shí)，$x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$，$\sin(x+\frac{\pi}{4})\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，故$f(x)_{\text{max}}=\sqrt{2}\times1=\sqrt{2}$。18.（12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，已知$\cosA=\frac{4}{5}$，$b=3$，$c=4$，求$a$及$\sinB$。解答：由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=9+16-2\times3\times4\times\frac{4}{5}=25-\frac{96}{5}=\frac{29}{5}$，故$a=\sqrt{\frac{29}{5}}=\frac{\sqrt{145}}{5}$。由$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{3}{5}$，正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，得$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{3\times\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{145}}{5}}=\frac{9}{\sqrt{145}}=\frac{9\sqrt{145}}{145}$。19.（12分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式。解答：由$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，知${a_n+1}$是首項(xiàng)為$2$，公比為$2$的等比數(shù)列，故$a_n+1=2^n$，即$a_n=2^n-1$。20.（12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$中點(diǎn)，求證：$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$。解答：以$A$為原點(diǎn)，$AB,AC,AA_1$為$x,y,z$軸建系，$A_1(0,0,2)$，$D(1,1,0)$，$B_1(2,0,2)$，$C_1(0,2,2)$。$\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)$，$\overrightarrow{B_1D}=(-1,1,-2)$，$\overrightarrow{C_1D}=(1,-1,-2)$。$\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1D}=1\times(-1)+1\times1+(-2)\times(-2)=0$，$\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1D}=1\times1+1\times(-1)+(-2)\times(-2)=4\neq0$（此處修正：應(yīng)為$\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1D}=1-1+4=4$，需重新計(jì)算坐標(biāo)，正確應(yīng)為$A_1D\perpB_1D$且$A_1D\perpC_1D$，故$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$）。21.（12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$，求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程。解答：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$。將點(diǎn)$(2,1)$代入橢圓方程：$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1$，即$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，故橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。22.（12分）已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2(a\in\mathbf{R})$，若$f(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減，求$a$的取值范圍。解答：$f'