2025年下學期高中數(shù)學歸納法試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.用數(shù)學歸納法證明“(1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2})”時，第一步應驗證的等式為（）A.(1=1)B.(1+2=3)C.(1=\frac{1×2}{2})D.(1+2+3=6)答案：C解析：數(shù)學歸納法第一步需驗證(n=1)時等式成立。左邊(=1)，右邊(=\frac{1×(1+1)}{2}=1)，即驗證(1=\frac{1×2}{2})，故選C。2.用數(shù)學歸納法證明“(2^n>n^2)（(n\in\mathbb{N}^*)，(n\geq5)）”時，第二步從(n=k)到(n=k+1)，不等式左邊的變化是（）A.增加(2^{k+1})B.增加(2^k+1)C.增加(2^k)D.增加(2^k+2^{k+1})答案：C解析：當(n=k)時，左邊(=2^k)；當(n=k+1)時，左邊(=2^{k+1}=2×2^k)。因此，左邊從(2^k)變?yōu)?2×2^k)，增加了(2^k)，故選C。3.用數(shù)學歸納法證明“(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}<n)（(n\geq2)，(n\in\mathbb{N}^*)）”時，假設(n=k)時不等式成立，則當(n=k+1)時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A.(k)B.(2^k)C.(2^{k+1})D.(2^{k}-1)答案：B解析：當(n=k)時，左邊的項為(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^k-1})（共(2^k-1)項）；當(n=k+1)時，左邊的項為(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}-1})（共(2^{k+1}-1)項）。因此，增加的項數(shù)為((2^{k+1}-1)-(2^k-1)=2^k)，故選B。4.用數(shù)學歸納法證明“((n+1)(n+2)\cdots(n+n)=2^n×1×3×\cdots×(2n-1))”時，從(n=k)到(n=k+1)，等式右邊需乘以的代數(shù)式為（）A.(2k+1)B.(2(2k+1))C.(\frac{2k+1}{k+1})D.(\frac{2k+2}{k+1})答案：B解析：當(n=k)時，右邊(=2^k×1×3×\cdots×(2k-1))；當(n=k+1)時，右邊(=2^{k+1}×1×3×\cdots×(2k-1)×(2k+1))。因此，需乘以(\frac{2^{k+1}×(2k+1)}{2^k}=2(2k+1))，故選B。5.用數(shù)學歸納法證明“(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})”時，當(n=1)時，左邊等于（）A.(1)B.(1-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})答案：B解析：當(n=1)時，左邊包含兩項：(\frac{1}{2×1-1}-\frac{1}{2×1}=1-\frac{1}{2})，故選B。6.用數(shù)學歸納法證明“(3^{4n+1}+5^{2n+1})能被8整除”時，當(n=k+1)時，(3^{4(k+1)+1}+5^{2(k+1)+1})可變形為（）A.(81×3^{4k+1}+25×5^{2k+1})B.(3^{4k+1}+5^{2k+1})C.(81×3^{4k+1}+5×5^{2k+1})D.(3×3^{4k+4}+5×5^{2k+2})答案：A解析：(3^{4(k+1)+1}=3^{4k+5}=3^4×3^{4k+1}=81×3^{4k+1})，(5^{2(k+1)+1}=5^{2k+3}=5^2×5^{2k+1}=25×5^{2k+1})，故選A。7.用數(shù)學歸納法證明“(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\geq\frac{1}{2})（(n\in\mathbb{N}^*)）”時，假設(n=k)時不等式成立，則當(n=k+1)時，需證（）A.(\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}\geq\frac{1}{2})B.(\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}\geq\frac{1}{2})C.(\frac{1}{k+1}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}\geq\frac{1}{2})D.(\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+2}\geq\frac{1}{2})答案：B解析：當(n=k+1)時，左邊的項為(\frac{1}{(k+1)+1}+\cdots+\frac{1}{2(k+1)}=\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2})，故選B。8.用數(shù)學歸納法證明“(n^3+5n)能被6整除”的過程中，當(n=k+1)時，((k+1)^3+5(k+1))可表示為（）A.(k^3+5k+3k(k+1)+6)B.(k^3+5k+3k^2+3k+6)C.(k^3+5k+3k^2+3k+1+5)D.(k^3+5k+(k+1)^3-k^3+5)答案：A解析：((k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5=(k^3+5k)+3k^2+3k+6=(k^3+5k)+3k(k+1)+6)，故選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.用數(shù)學歸納法證明“(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2)”，當(n=3)時，左邊的表達式為__________。答案：(1+3+5)解析：(n=3)時，左邊為前3項之和，即(1+3+5)。10.用數(shù)學歸納法證明“(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1})”，假設(n=k)時等式成立，則當(n=k+1)時，需證的等式為__________。答案：(\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2})解析：假設(n=k)時，(\frac{1}{1×2}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1})成立，則(n=k+1)時，左邊需加上(\frac{1}{(k+1)(k+2)})，即證(\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2})。11.用數(shù)學歸納法證明“(2^n+2>n^2)”（(n\in\mathbb{N}^*)），第一步驗證(n=1)時，左邊=，右邊=，不等式__________（填“成立”或“不成立”）。答案：4；1；成立解析：(n=1)時，左邊(=2^1+2=4)，右邊(=1^2=1)，(4>1)，不等式成立。12.用數(shù)學歸納法證明“(1×2+2×3+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3})”，從(n=k)到(n=k+1)，等式左邊需增加的項為__________。答案：((k+1)(k+2))解析：(n=k)時左邊為(1×2+\cdots+k(k+1))，(n=k+1)時需加上((k+1)(k+2))。三、解答題（本大題共6小題，共90分）13.（14分）用數(shù)學歸納法證明：(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})（(n\in\mathbb{N}^*)）。證明：（1）基礎步驟：當(n=1)時，左邊(=1^2=1)，右邊(=\frac{1×2×3}{6}=1)，等式成立。（2）歸納步驟：假設當(n=k)（(k\in\mathbb{N}^*)）時等式成立，即[1^2+2^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}]當(n=k+1)時，需證[1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}]左邊(=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=(k+1)\left[\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1)\right])[=(k+1)\left[\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\right]=(k+1)\frac{2k^2+7k+6}{6}=(k+1)\frac{(k+2)(2k+3)}{6}]即左邊=右邊，等式成立。由（1）（2）可知，原等式對所有(n\in\mathbb{N}^*)成立。14.（16分）用數(shù)學歸納法證明：(3^{2n}-1)能被8整除（(n\in\mathbb{N}^*)）。證明：（1）基礎步驟：當(n=1)時，(3^{2×1}-1=9-1=8)，能被8整除，命題成立。（2）歸納步驟：假設當(n=k)（(k\in\mathbb{N}^*)）時命題成立，即(3^{2k}-1)能被8整除，設(3^{2k}-1=8m)（(m\in\mathbb{Z})），則(3^{2k}=8m+1)。當(n=k+1)時，(3^{2(k+1)}-1=3^{2k+2}-1=9×3^{2k}-1=9(8m+1)-1=72m+9-1=72m+8=8(9m+1))，顯然能被8整除。由（1）（2）可知，(3^{2n}-1)對所有(n\in\mathbb{N}^*)能被8整除。15.（16分）用數(shù)學歸納法證明：(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\geq1)（(n\in\mathbb{N}^*)，(n\geq2)）。證明：（1）基礎步驟：當(n=2)時，左邊(=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6+4+3}{12}=\frac{13}{12}\geq1)，不等式成立。（2）歸納步驟：假設當(n=k)（(k\geq2)，(k\in\mathbb{N}^*)）時不等式成立，即[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k}\geq1]當(n=k+1)時，左邊增加了(\frac{1}{2^k+1}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}})（共(2^k)項），且每項(\geq\frac{1}{2^{k+1}})，因此左邊(\geq1+2^k×\frac{1}{2^{k+1}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\geq1)不等式成立。由（1）（2）可知，原不等式對所有(n\geq2)，(n\in\mathbb{N}^*)成立。16.（16分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，用數(shù)學歸納法證明：(a_n=\frac{1}{n})（(n\in\mathbb{N}^*)）。證明：（1）基礎步驟：當(n=1)時，(a_1=1=\frac{1}{1})，結論成立。（2）歸納步驟：假設當(n=k)（(k\in\mathbb{N}^*)）時結論成立，即(a_k=\frac{1}{k})。當(n=k+1)時，由遞推公式得[a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k}=\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}=\frac{1}{k+1}]即(n=k+1)時結論成立。由（1）（2）可知，(a_n=\frac{1}{n})對所有(n\in\mathbb{N}^*)成立。17.（18分）用數(shù)學歸納法證明：對任意(n\in\mathbb{N}^*)，(1×4+2×7+3×10+\cdots+n(3n+1)=n(n+1)^2)。證明：（1）基礎步驟：當(n=1)時，左邊(=1×4=4)，右邊(=1×2^2=4)，等式成立。（2）歸納步驟：假設當(n=k)（(k\in\mathbb{N}^*)）時等式成立，即[1×4+2×7+\cdots+k(3k+1)=k(k+1)^2]當(n=k+1)時，左邊(=k(k+1)^2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[k(k+1)+3k+4])[=(k+1)(k^2+k+3k+4)=(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2]即左邊=右邊，等式成立。由（1）（2）可知，原等式對所有(n\in\mathbb{N}^*)成立。18.（20分）用數(shù)學歸納法證明：(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\fra