2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷九試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.-4B.-2C.2D.4函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2-1})的大致圖像為（）（選項(xiàng)圖像略，此處可描述為：A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(1,+∞)單調(diào)遞減；B.關(guān)于y軸對(duì)稱，在(1,+∞)單調(diào)遞增；C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(1,+∞)先增后減；D.關(guān)于y軸對(duì)稱，在(1,+∞)先減后增）已知(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，則(\cos\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=)（）A.(-\frac{7}{9})B.(\frac{7}{9})C.(-\frac{1}{3})D.(\frac{1}{3})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖為矩形，側(cè)視圖為三角形，俯視圖為矩形中間有一條豎線）A.(12,\text{cm}^3)B.(16,\text{cm}^3)C.(24,\text{cm}^3)D.(32,\text{cm}^3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始(S=0,i=1)；循環(huán)條件(i\leqn)；循環(huán)體：(S=S+\frac{1}{i(i+2)})，(i=i+2)）A.(\frac{5}{12})B.(\frac{7}{12})C.(\frac{5}{24})D.(\frac{7}{24})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過(F)的直線交(C)于(A,B)兩點(diǎn)，過(A)作(l)的垂線，垂足為(M)，若(|MF|=2\sqrt{3})，則(|AB|=)（）A.4B.6C.8D.10已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right))的最小正周期為(\pi)，且圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.(\left[k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}\right](k\in\mathbb{Z}))B.(\left[k\pi+\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{5\pi}{6}\right](k\in\mathbb{Z}))C.(\left[k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}\right](k\in\mathbb{Z}))D.(\left[k\pi+\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{7\pi}{12}\right](k\in\mathbb{Z}))已知定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(dāng)(x\in[0,1])時(shí)，(f(x)=2^x-1)，則(f(2025)+f(2026)=)（）A.-1B.0C.1D.2在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(34\pi)D.(50\pi)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若對(duì)任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.[0,4]B.[1,3]C.[2-2\sqrt{3},2+2\sqrt{3}]D.[2,4]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x-y+1\geq0\x+y-3\leq0\y\geq0\end{cases})，則(z=2x-y)的最大值為________。已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)，(S_5=)。（本小題第一空2分，第二空3分）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，右焦點(diǎn)為(F)，過(F)且斜率為1的直線與(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=4\sqrt{6})，則(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})，則(c=)，(\triangleABC)的面積為。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(S_n=2a_n-n(n\in\mathbb{N}^*))。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：（頻率分布直方圖描述：分組為[80,90)、[90,100)、[100,110)、[110,120)、[120,130)、[130,140)、[140,150]，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.05、0.10、0.20、0.30、0.15、0.10、0.10）（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若從成績(jī)?cè)赱140,150]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記其中成績(jī)不低于145分的人數(shù)為(X)，已知成績(jī)?cè)赱140,150]的學(xué)生中有3人成績(jī)不低于145分，求(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=1)，(\angleACB=90^\circ)，(AA_1=\sqrt{2})，(D)為(A_1B_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(CD\perp)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-CD-B)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，點(diǎn)(P(1,\frac{\sqrt{2}}{2}))在橢圓(E)上。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(F_2)的直線(l)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\triangleABF_1)的面積為(\frac{4\sqrt{3}}{5})，求直線(l)的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1(a\in\mathbb{R}))。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\leq0)恒成立，求(a)的取值范圍；（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)(n)，都有(\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)<e)（其中(e)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)(O)為極點(diǎn)，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2})。（1）求曲線(C_1)的極坐標(biāo)方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線(\theta=\frac{\pi}{3}(\rho\geq0))與曲線(C_1)交于(O,A)兩點(diǎn)，與曲線(C_2)交于點(diǎn)(B)，求(|AB|)的值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.B4.A5.A6.B7.A8.C9.A10.C11.C12.D二、填空題414.3；12115.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)16.2；(\sqrt{3})三、解答題（1）當(dāng)(n=1)時(shí)，(S_1=2a_1-1\Rightarrowa_1=1)。當(dāng)(n\geq2)時(shí)，(S_n-S_{n-1}=2a_n-n-[2a_{n-1}-(n-1)]\Rightarrowa_n=2a_{n-1}+1\Rightarrowa_n+1=2(a_{n-1}+1))，故({a_n+1})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，(a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)。（5分）（2）(b_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})，(T_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1})。（10分）（1）平均數(shù)(\bar{x}=85\times0.05+95\times0.10+105\times0.20+115\times0.30+125\times0.15+135\times0.10+145\times0.10=117.5)；中位數(shù)在[110,120)內(nèi)，設(shè)為(m)，則(0.05+0.10+0.20+(m-110)\times0.03=0.5\Rightarrowm=115)。（6分）（2）(X)的可能取值為0,1,2，(P(X=0)=\frac{\binom{7}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15})，(P(X=1)=\frac{\binom{3}{1}\binom{7}{1}}{\binom{10}{2}}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15})，(P(X=2)=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15})，分布列略，(E(X)=0\times\frac{7}{15}+1\times\frac{7}{15}+2\times\frac{1}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5})。（12分）（1）以(C)為原點(diǎn)，(CA,CB,CC_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，(C(0,0,0))，(A(1,0,0))，(B(0,1,0))，(A_1(1,0,\sqrt{2}))，(B_1(0,1,\sqrt{2}))，(D\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\sqrt{2}\right))。(\overrightarrow{CD}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\sqrt{2}\right))，(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0))，(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,\sqrt{2}))，由(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}=0)，(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AA_1}=0)，得(CD\perpAB)，(CD\perpAA_1)，故(CD\perp)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）平面(ACD)的法向量(\vec{n_1}=(2,-2,0))，平面(BCD)的法向量(\vec{n_2}=(2,2,-1))，(\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{4-4+0}{2\sqrt{2}\times3}=0)，二面角的余弦值為0。（12分）（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2b^2}=1)，(a^2=b^2+c^2)，解得(a^2=2)，(b^2=1)，橢圓方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（4分）（2）(F_2(1,0))，設(shè)直線(l:x=my+1)，聯(lián)立橢圓方程得((m^2+2)y^2+2my-1=0)，(|y_1-y_2|=\frac{2\sqrt{2(m^2+1)}}{m^2+2})，(S_{\triangleABF_1}=\frac{1}{2}\times2c\times|y_1-y_2|=\frac{2\sqrt{2(m^2+1)}}{m^2+2}=\frac{4\sqrt{3}}{5})，解得(m^2=3)或(m^2=\frac{1}{3})，直線方程為(x\pm\sqrt{3}y-1=0)或(\sqrt{3}x\pmy-\sqrt{3}=0)。（12分）（1）(f'(x)=\frac{1}{x}-a)，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x))在((0,\frac{1}{a}))單調(diào)遞增，在((\frac{1}{a},+\infty))單調(diào)遞減。（4分）（2）由（1）知(f(x)_{\max}=f\left(\frac{1}{a}\right)=