2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)發(fā)展性評(píng)價(jià)工具試卷一、數(shù)與代數(shù)模塊（40分）（一）基礎(chǔ)概念理解（10分）函數(shù)性質(zhì)分析已知函數(shù)$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$，回答下列問(wèn)題：（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間$(-3,+\infty)$上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若函數(shù)圖像與直線$y=kx+b$相切于點(diǎn)$(1,\frac{1}{4})$，求$k$和$b$的值。代數(shù)推理應(yīng)用設(shè)數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，且$a_{n+1}=2a_n+3^n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）證明數(shù)列${a_n+3^n}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式及前$n$項(xiàng)和$S_n$。（二）問(wèn)題解決與建模（15分）實(shí)際情境應(yīng)用某電商平臺(tái)銷售一種電子產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為$x$元/臺(tái)時(shí)，每月銷售量$y$（臺(tái)）與售價(jià)的關(guān)系為$y=-10x+2000$（$80\leqx\leq150$）。已知該產(chǎn)品的成本為50元/臺(tái)，每月固定成本為10000元。（1）寫(xiě)出每月利潤(rùn)$P(x)$關(guān)于售價(jià)$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，每月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）若平臺(tái)為了提高市場(chǎng)占有率，計(jì)劃將月利潤(rùn)控制在30000元以上，求售價(jià)$x$的取值范圍。數(shù)學(xué)建模與探究某城市居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)制度：每戶每月用水量不超過(guò)15噸時(shí)，水費(fèi)為3元/噸；超過(guò)15噸但不超過(guò)25噸的部分，水費(fèi)為4元/噸；超過(guò)25噸的部分，水費(fèi)為6元/噸。（1）試寫(xiě)出水費(fèi)$C$（元）關(guān)于用水量$t$（噸）的分段函數(shù)解析式；（2）若某用戶10月份水費(fèi)為82元，求該用戶當(dāng)月用水量；（3）為鼓勵(lì)節(jié)約用水，政府計(jì)劃調(diào)整收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：將第一階梯水量提高至20噸，且超過(guò)20噸的部分水費(fèi)上調(diào)20%。調(diào)整后，若某用戶用水量為30噸，水費(fèi)將比調(diào)整前增加多少元？（三）思維拓展與創(chuàng)新（15分）代數(shù)綜合探究已知關(guān)于$x$的方程$x^2-(m+2)x+2m=0$（$m$為常數(shù)）。（1）求證：無(wú)論$m$為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)，求$m$的值及對(duì)應(yīng)的根；（3）設(shè)方程的兩根為$x_1$，$x_2$（$x_1\leqx_2$），若$t=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$，求$t$的取值范圍。開(kāi)放型問(wèn)題請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)以“函數(shù)與不等式”為主題的實(shí)際問(wèn)題，滿足以下要求：（1）問(wèn)題情境貼近生活，具有現(xiàn)實(shí)意義；（2）需運(yùn)用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解；（3）寫(xiě)出問(wèn)題描述、解答過(guò)程及結(jié)果，并說(shuō)明該問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。二、幾何與拓?fù)淠K（35分）（一）空間想象與證明（15分）立體幾何綜合如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點(diǎn)。（1）求證：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；（2）求直線$A_1D$與平面$BCC_1B_1$所成角的正弦值；（3）求三棱錐$C_1-ADC$的體積。解析幾何應(yīng)用已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l$：$y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$OA\perpOB$，求證：原點(diǎn)$O$到直線$l$的距離為定值。（二）幾何直觀與探究（20分）動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(0,2)$，$B(3,0)$，點(diǎn)$P$是線段$AB$上的動(dòng)點(diǎn)（不與$A$，$B$重合），過(guò)點(diǎn)$P$作$PD\perpx$軸于點(diǎn)$D$，$PE\perpy$軸于點(diǎn)$E$。（1）設(shè)點(diǎn)$P$的橫坐標(biāo)為$t$，用含$t$的代數(shù)式表示矩形$PDOE$的面積$S$；（2）當(dāng)$t$為何值時(shí)，矩形$PDOE$的面積最大？最大面積是多少？（3）若點(diǎn)$Q$是直線$AB$上異于$P$的另一點(diǎn)，且矩形$QDO'E'$與矩形$PDOE$相似，求點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)。幾何模型構(gòu)建某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形儲(chǔ)水罐，容積為$V=500\pi,\text{m}^3$，罐底材料成本為300元/$\text{m}^2$，罐身材料成本為200元/$\text{m}^2$。（1）設(shè)圓柱的底面半徑為$r$，寫(xiě)出總成本$C(r)$關(guān)于$r$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)?shù)酌姘霃?r$為何值時(shí)，總成本最低？最低成本是多少？（$\pi$取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）三、數(shù)據(jù)與概率模塊（25分）（一）數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用（10分）統(tǒng)計(jì)圖表解讀某學(xué)校為了解學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13]頻數(shù)1025352010（1）計(jì)算這100名學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)間在[3,5)和[11,13]的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行訪談，求這2人來(lái)自不同區(qū)間的概率。（二）概率與統(tǒng)計(jì)建模（15分）概率綜合應(yīng)用一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)紅球和6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同。（1）若從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，求至少有1個(gè)紅球的概率；（2）若每次摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，再摸下一個(gè)球，連續(xù)摸3次，求摸到紅球次數(shù)$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若每次摸出1個(gè)球，不放回，直到摸到紅球?yàn)橹梗竺虼螖?shù)$Y$的分布列和數(shù)學(xué)期望。統(tǒng)計(jì)案例探究為研究學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的相關(guān)性，某教師收集了10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)$x$（滿分150分）和物理成績(jī)$y$（滿分100分），數(shù)據(jù)如下：學(xué)生編號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)$x$1201051309511012585135100115物理成績(jī)$y$85759065808860957082（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)是否線性相關(guān)；（2）若線性相關(guān)，求$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（參考數(shù)據(jù)：$\bar{x}=112$，$\bar{y}=79$，$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=1250$，$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=2500$）（3）若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?20分，預(yù)測(cè)其物理成績(jī)。四、發(fā)展性評(píng)價(jià)附加任務(wù)（不計(jì)入總分，供教師評(píng)估參考）學(xué)習(xí)過(guò)程反思請(qǐng)結(jié)合本次測(cè)試中的某道題目，分析你在解題過(guò)程中遇到的困難、采取的解決策略及收獲，并提出后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的改進(jìn)計(jì)劃（字?jǐn)?shù)不少于150字）。數(shù)學(xué)探究報(bào)告選擇一個(gè)你感興趣的數(shù)學(xué)主題（如“斐波那契數(shù)列的應(yīng)用”“分形幾何與自然現(xiàn)象”等），設(shè)計(jì)一個(gè)小型探究方案，包括探究問(wèn)題、研究方法、預(yù)期成果及可能的創(chuàng)新點(diǎn)（字?jǐn)?shù)不少于200字）。試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明核心素養(yǎng)導(dǎo)向：試題覆蓋“數(shù)與代數(shù)”“幾何與拓?fù)洹薄皵?shù)據(jù)與概率”三大模塊，注重邏輯推理（如第2、8題）、數(shù)學(xué)建模（如第3、10題）、數(shù)據(jù)分析（如第11、13題）等核心素養(yǎng)的考查。過(guò)程性評(píng)價(jià)：通過(guò)開(kāi)放型問(wèn)題（第6題）、反