2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在點(diǎn)(x=2)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.-4B.0C.4D.8若函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)，則(f'(\frac{\pi}{4})=)（）A.(\sqrt{2})B.0C.(-\sqrt{2})D.1函數(shù)(f(x)=x\lnx)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((0,\frac{1}{e}))B.((\frac{1}{e},+\infty))C.((0,1))D.((1,+\infty))曲線(y=x^2-2x+3)在點(diǎn)((1,2))處的切線方程為（）A.(y=1)B.(y=2)C.(y=x+1)D.(y=-x+3)若函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處有極值，且(f'(-1)=0)，則(a)與(b)的關(guān)系為（）A.(a=b)B.(a+b=-3)C.(a-b=3)D.(2a+b=-3)函數(shù)(f(x)=\frac{x^2-1}{x})的導(dǎo)數(shù)(f'(x)=)（）A.(\frac{x^2+1}{x^2})B.(\frac{x^2-1}{x^2})C.(2x-\frac{1}{x^2})D.(2x+\frac{1}{x^2})若函數(shù)(f(x)=e^x-mx)在(R)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(m)的取值范圍是（）A.(m\leq0)B.(m<0)C.(m\leq1)D.(m<1)函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)在區(qū)間([-2,2])上的最大值為（）A.3B.5C.7D.9設(shè)函數(shù)(f(x))的導(dǎo)函數(shù)為(f'(x))，若(f'(x)=2x-1)，且(f(1)=3)，則(f(x)=)（）A.(x^2-x+3)B.(x^2-x+1)C.(x^2-x+2)D.(x^2-x+4)曲線(y=e^x-x)上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為（）A.0B.1C.(e-1)D.(2e-1)若函數(shù)(f(x)=\lnx-ax)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((0,\frac{1}{e}))B.((\frac{1}{e},+\infty))C.((-\infty,\frac{1}{e}))D.((-\frac{1}{e},0))已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，若過點(diǎn)((2,t))可作曲線(y=f(x))的三條切線，則(t)的取值范圍是（）A.((-2,2))B.((-2,0))C.((0,2))D.((-1,1))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)(f(x)=\cosx-x\sinx)的導(dǎo)數(shù)(f'(x)=)__________。若函數(shù)(f(x)=x^2-6x+m)在區(qū)間([1,5])上的最小值為2，則(m=)__________。曲線(y=x^3-3x)與直線(y=0)所圍成的封閉圖形的面積為__________。已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)，若(f(x)\geq0)對任意(x\inR)恒成立，則(a=)__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）求函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2-9x+5)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?R)，求導(dǎo)得：(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1))。令(f'(x)=0)，解得(x=-1)或(x=3)。當(dāng)(x<-1)時(shí)，(f'(x)>0)，函數(shù)(f(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(-1<x<3)時(shí)，(f'(x)<0)，函數(shù)(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x>3)時(shí)，(f'(x)>0)，函數(shù)(f(x))單調(diào)遞增。因此，函數(shù)(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((-\infty,-1))和((3,+\infty))，單調(diào)遞減區(qū)間為((-1,3))。極大值為(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10)；極小值為(f(3)=3^3-3(3)^2-9(3)+5=27-27-27+5=-22)。18.（本小題滿分12分）已知曲線(y=x^3+bx^2+cx+d)過點(diǎn)((0,2))，且在點(diǎn)((1,1))處的切線斜率為-1，同時(shí)該曲線在(x=2)處有極值。求(b,c,d)的值。解：由曲線過點(diǎn)((0,2))，代入得(d=2)。求導(dǎo)得(y'=3x^2+2bx+c)。因?yàn)榍€在點(diǎn)((1,1))處的切線斜率為-1，所以：(y'(1)=3(1)^2+2b(1)+c=-1)，即(3+2b+c=-1)，整理得(2b+c=-4)①。又因?yàn)榍€過點(diǎn)((1,1))，代入曲線方程得：(1=1^3+b(1)^2+c(1)+2)，即(1=1+b+c+2)，整理得(b+c=-2)②。聯(lián)立①②，解得(b=-2)，(c=0)。又因?yàn)榍€在(x=2)處有極值，所以(y'(2)=0)：(y'(2)=3(2)^2+2b(2)+c=12+4b+c)。將(b=-2)，(c=0)代入，得(12+4(-2)+0=4\neq0)，矛盾。修正：重新檢查點(diǎn)((1,1))的代入：(1=1+b+c+2\Rightarrowb+c=-2)正確；切線斜率(y'(1)=3+2b+c=-1\Rightarrow2b+c=-4)正確。解得(b=-2)，(c=0)。此時(shí)(y'(2)=12+4(-2)+0=4\neq0)，說明題目條件可能存在沖突，但根據(jù)現(xiàn)有條件，(b=-2)，(c=0)，(d=2)滿足切線和過點(diǎn)條件，極值條件需重新驗(yàn)證。19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)(f(x)=\lnx-\frac{1}{2}ax^2+x)（(a\inR)）。（1）當(dāng)(a=0)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,2))上單調(diào)遞增，求(a)的取值范圍。解：（1）當(dāng)(a=0)時(shí)，(f(x)=\lnx+x)，定義域?yàn)?(0,+\infty))。求導(dǎo)得(f'(x)=\frac{1}{x}+1)，因?yàn)?x>0)，所以(f'(x)>0)恒成立。因此，函數(shù)(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((0,+\infty))，無單調(diào)遞減區(qū)間。（2）求導(dǎo)得(f'(x)=\frac{1}{x}-ax+1=\frac{-ax^2+x+1}{x})。因?yàn)?f(x))在((1,2))上單調(diào)遞增，所以(f'(x)\geq0)在((1,2))上恒成立，即：(-ax^2+x+1\geq0\Rightarrowax^2\leqx+1\Rightarrowa\leq\frac{x+1}{x^2})在((1,2))上恒成立。令(g(x)=\frac{x+1}{x^2})，則(a\leqg(x){\min})。求導(dǎo)得(g'(x)=\frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}=\frac{-x^2-2x}{x^4}=\frac{-(x+2)}{x^3})。在((1,2))上，(g'(x)<0)，所以(g(x))單調(diào)遞減。因此，(g(x){\min}=g(2)=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4})，故(a\leq\frac{3}{4})。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x)，過點(diǎn)(P(2,m))作曲線(y=f(x))的切線，求切線方程。解：設(shè)切點(diǎn)為((t,t^3-3t))，求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-3)，切線斜率為(k=3t^2-3)。切線方程為(y-(t^3-3t)=(3t^2-3)(x-t))。因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(P(2,m))，代入得：(m-(t^3-3t)=(3t^2-3)(2-t))，整理得：(m=-2t^3+6t^2-6)。討論：若點(diǎn)(P)在曲線上，則(m=2^3-3\times2=8-6=2)，代入得(2=-2t^3+6t^2-6\Rightarrowt^3-3t^2+4=0)。因式分解得((t-2)^2(t+1)=0)，解得(t=2)或(t=-1)。當(dāng)(t=2)時(shí)，切線斜率(k=3(4)-3=9)，切線方程為(y-2=9(x-2)\Rightarrowy=9x-16)；當(dāng)(t=-1)時(shí)，切線斜率(k=3(1)-3=0)，切線方程為(y-2=0(x-2)\Rightarrowy=2)。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-x-1)，證明：（1）(f(x)\geq0)對任意(x\inR)恒成立；（2）若(x>0)，則(e^x>x^2+1)。證明：（1）求導(dǎo)得(f'(x)=e^x-1)。令(f'(x)=0)，解得(x=0)。當(dāng)(x<0)時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x>0)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。因此，(f(x))在(x=0)處取得最小值(f(0)=e^0-0-1=0)，故(f(x)\geq0)恒成立。（2）令(g(x)=e^x-x^2-1)（(x>0)），求導(dǎo)得(g'(x)=e^x-2x)。由（1）知(e^x\geqx+1)，則(g'(x)=e^x-2x\geq(x+1)-2x=1-x)。當(dāng)(0<x<1)時(shí)，(g'(x)>0)；當(dāng)(x=1)時(shí)，(g'(1)=e-2>0)；當(dāng)(x>1)時(shí)，(g''(x)=e^x-2>e-2>0)，故(g'(x))單調(diào)遞增，(g'(x)>g'(1)>0)。因此，(g(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，(g(x)>g(0)=0)，即(e^x>x^2+1)。22.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的成本函數(shù)為(C(x)=2x^2+5x+10)（元），其中(x)為產(chǎn)量（千件），銷售價(jià)格為(p(x)=20-x)（元/件）。假設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出，求：（1）利潤函數(shù)(L(x))的表達(dá)式；（2）產(chǎn)量(x)為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）利潤函數(shù)(L(x)=)收入-成本=(x\times1000\timesp(x)-C(x))（注意單位統(tǒng)一，(x)為千件，價(jià)格為元/件）。收入(R(x)=x\times1000\times(20-x)=1000x(20-x))