2025年下學(xué)期高中基于項(xiàng)目學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、項(xiàng)目背景與任務(wù)要求為提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與跨學(xué)科實(shí)踐素養(yǎng)，本學(xué)期將圍繞"校園智慧改造工程"開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。本試卷以真實(shí)校園場(chǎng)景為載體，通過解決實(shí)際問題考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，總分150分，考試時(shí)間120分鐘。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答，解題過程需體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析與邏輯推理能力。模塊一：校園規(guī)劃中的幾何應(yīng)用（40分）項(xiàng)目任務(wù)：學(xué)校擬在矩形操場(chǎng)（長(zhǎng)100米，寬60米）內(nèi)新建兩個(gè)功能區(qū)：圓形花壇：直徑不超過20米，需與操場(chǎng)邊界保持至少5米距離；矩形休息區(qū)：面積不小于200平方米，長(zhǎng)與寬之比為3:2，且頂點(diǎn)需落在以花壇圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中。問題1（15分）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出操場(chǎng)邊界的方程及圓形花壇的圓心坐標(biāo)范圍。若花壇半徑取最大值，計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)方程及與操場(chǎng)邊界的最近距離。問題2（25分）設(shè)休息區(qū)在坐標(biāo)系中的一個(gè)頂點(diǎn)為（a,b），且滿足a>0,b>0。（1）用含a的代數(shù)式表示休息區(qū)面積S(a)，并求定義域；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，休息區(qū)面積最大？求出最大面積及此時(shí)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若要求休息區(qū)對(duì)角線長(zhǎng)度不超過30米，判斷（2）中所求面積是否需要調(diào)整，說明理由。模塊二：校園能耗的函數(shù)模型（45分）項(xiàng)目任務(wù)：某教學(xué)樓配備新型節(jié)能設(shè)備，其用電量與環(huán)境溫度的關(guān)系如下表：環(huán)境溫度x（℃）51015202530用電量y（度/天）806552485570問題3（15分）（1）繪制散點(diǎn)圖并判斷用電量y與溫度x的函數(shù)關(guān)系類型（線性/二次/指數(shù)）；（2）若選用二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c，利用前三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)求函數(shù)解析式；（3）用（2）中模型預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為18℃時(shí)的用電量，并計(jì)算與實(shí)際值（48度）的誤差率。問題4（30分）設(shè)備供應(yīng)商提供兩種節(jié)能方案：方案A：一次性投入12000元，每月維護(hù)費(fèi)500元，用電量函數(shù)變?yōu)閥?=0.8y；方案B：無需初始投入，每月維護(hù)費(fèi)1200元，用電量函數(shù)變?yōu)閥?=0.5y。已知該校電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/度，每月按22天計(jì)算：（1）分別寫出兩種方案下每月總費(fèi)用C?、C?與環(huán)境溫度x的函數(shù)關(guān)系；（2）若冬季平均溫度為8℃，夏季平均溫度為28℃，分別計(jì)算兩種方案的月均費(fèi)用；（3）繪制兩個(gè)函數(shù)的圖像，求出費(fèi)用相等的溫度值，并據(jù)此為學(xué)校提出季節(jié)性選擇建議。模塊三：校園活動(dòng)的數(shù)據(jù)分析（35分）項(xiàng)目任務(wù)：學(xué)生會(huì)組織"數(shù)學(xué)文化節(jié)"，需統(tǒng)計(jì)參與人員的學(xué)科偏好與活動(dòng)評(píng)分（滿分10分），隨機(jī)抽取50名學(xué)生數(shù)據(jù)如下：學(xué)科偏好人數(shù)平均評(píng)分評(píng)分方差代數(shù)208.21.2幾何157.80.8統(tǒng)計(jì)159.00.5問題5（20分）（1）計(jì)算所有參與學(xué)生的平均評(píng)分及總方差（提示：總方差=組內(nèi)方差加權(quán)平均+組間方差）；（2）若用分層抽樣從50人中抽取10人進(jìn)行訪談，求從統(tǒng)計(jì)偏好組中應(yīng)抽取的人數(shù)；（3）假設(shè)評(píng)分服從正態(tài)分布，代數(shù)組學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求其評(píng)分超過9分的概率（參考數(shù)據(jù)：若X~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826）。問題6（15分）文化節(jié)設(shè)置"數(shù)學(xué)闖關(guān)"活動(dòng)，規(guī)則如下：共3關(guān)，每關(guān)通過概率依次為0.8、0.6、0.5，各關(guān)相互獨(dú)立；通過第1關(guān)得2分，通過第2關(guān)額外得3分，通過第3關(guān)額外得5分；未通過某關(guān)則停止闖關(guān)，已得分?jǐn)?shù)計(jì)入總分。（1）求學(xué)生闖關(guān)得分X的分布列；（2）計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，并據(jù)此設(shè)計(jì)獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置方案（一等獎(jiǎng)≥10分，二等獎(jiǎng)≥5分，三等獎(jiǎng)≥2分）。模塊四：校園投資的數(shù)列應(yīng)用（30分）項(xiàng)目任務(wù)：學(xué)校計(jì)劃設(shè)立"科技創(chuàng)新基金"，采用以下投資方案：初始本金10萬(wàn)元，每年年初追加投資2萬(wàn)元；投資年化收益率為r（復(fù)利計(jì)息），每年年末結(jié)算一次收益；第5年末需一次性取出全部資金用于設(shè)備采購(gòu)。問題7（15分）（1）設(shè)第n年末的資金總額為a?，寫出遞推關(guān)系式a?=f(a???)及初始條件；（2）若r=5%，計(jì)算第3年末的資金總額（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；（3）證明數(shù)列{a?+40}是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式a?。問題8（15分）若5年后需籌集資金至少30萬(wàn)元：（1）求年化收益率r的最小值（精確到0.1%）；（2）若前3年收益率為5%，后2年收益率調(diào)整為r'，求r'的取值范圍；（3）繪制資金總額隨年份變化的折線圖（取r=6%），分析投資方案的穩(wěn)定性。模塊五：跨學(xué)科綜合實(shí)踐（20分）項(xiàng)目任務(wù)：結(jié)合物理中的平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，設(shè)計(jì)"校園投石機(jī)"模型：投石機(jī)發(fā)射點(diǎn)距地面高度h=2米，初速度v?=10m/s；石子落點(diǎn)需在直線距離發(fā)射點(diǎn)15米的圓形區(qū)域內(nèi)。問題9（20分）（1）建立坐標(biāo)系，寫出石子運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程（時(shí)間t為參數(shù)）；（2）若發(fā)射角度為θ（與水平方向夾角），推導(dǎo)水平射程x與θ的函數(shù)關(guān)系；（3）求θ的取值范圍（精確到0.1°），并計(jì)算當(dāng)θ=45°時(shí)的射程及落地時(shí)間。二、項(xiàng)目成果展示要求完成上述問題后，需提交以下成果：數(shù)學(xué)建模報(bào)告（包含問題分析、模型假設(shè)、求解過