2025年下學(xué)期高中函數(shù)綜合應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)定義域與性質(zhì)已知函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_2(x-1)}+\frac{1}{\sqrt{4-x^2}})，則其定義域為（）A.((1,2))B.([2,+\infty))C.((1,2])D.((2,+\infty))解析：對于(\sqrt{\log_2(x-1)})，需滿足(\log_2(x-1)\geq0\Rightarrowx-1\geq1\Rightarrowx\geq2)；對于(\frac{1}{\sqrt{4-x^2}})，需滿足(4-x^2>0\Rightarrow-2<x<2)；綜合得定義域為空集？注意：題目可能存在矛盾，若修正為(\log_{\frac{1}{2}}(x-1)\geq0)，則(0<x-1\leq1\Rightarrow1<x\leq2)，此時與(-2<x<2)取交集得((1,2])，選C。2.函數(shù)單調(diào)性與最值函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值為（）A.2B.0C.-2D.5解析：求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))；令(f'(x)=0)，得(x=0)或(x=2)；計算端點及極值點函數(shù)值：(f(-1)=-1-3+2=-2)，(f(0)=0-0+2=2)，(f(2)=8-12+2=-2)，(f(3)=27-27+2=2)；最大值為2，選A。3.函數(shù)奇偶性與周期性已知(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且滿足(f(x+4)=f(x))，當(dāng)(x\in(0,2))時，(f(x)=2x^2)，則(f(7)=)（）A.-2B.2C.-98D.98解析：由周期性(f(7)=f(7-4\times2)=f(-1))；由奇函數(shù)性質(zhì)(f(-1)=-f(1))；當(dāng)(x=1\in(0,2))時，(f(1)=2\times1^2=2)，故(f(7)=-2)，選A。4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合若(a=0.3^{0.2})，(b=\log_{0.2}0.3)，(c=\log_{3}0.2)，則(a,b,c)的大小關(guān)系為（）A.(a>b>c)B.(b>a>c)C.(c>a>b)D.(a>c>b)解析：(a=0.3^{0.2})：指數(shù)函數(shù)(0.3^x)單調(diào)遞減，(0.3^0=1)，(0.3^{0.2}\in(0,1))；(b=\log_{0.2}0.3)：對數(shù)函數(shù)(\log_{0.2}x)單調(diào)遞減，(\log_{0.2}0.2=1)，(\log_{0.2}0.3<1)，且(\log_{0.2}0.3>0)（因(0.3>0.2)）；(c=\log_{3}0.2)：(\log_{3}0.2<0)（因(0.2<1)）；綜上(a>b>c)，選A。5.函數(shù)圖像變換函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x+1})的圖像向右平移2個單位，再向上平移1個單位后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A.(y=\frac{1}{x-1}+1)B.(y=\frac{1}{x+3}+1)C.(y=\frac{1}{x-1}-1)D.(y=\frac{1}{x+3}-1)解析：向右平移2個單位：(f(x-2)=\frac{1}{(x-2)+1}=\frac{1}{x-1})；向上平移1個單位：(y=\frac{1}{x-1}+1)，選A。6.分段函數(shù)與方程已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})則方程(f(f(x))=1)的解集為（）A.({-1,\sqrt{2}})B.({-1,2})C.({-1,\sqrt{2},2})D.({\sqrt{2},2})解析：令(t=f(x))，則(f(t)=1)；分情況解(f(t)=1)：若(t\leq0)，則(2^t=1\Rightarrowt=0)；若(t>0)，則(\log_2t=1\Rightarrowt=2)；再解(f(x)=0)或(f(x)=2)：(f(x)=0)：(x\leq0)時，(2^x=0)無解；(x>0)時，(\log_2x=0\Rightarrowx=1)（注意：原選項無1，可能題目應(yīng)為(f(f(x))=0)？若按原題，(f(x)=2)時：(x\leq0)時，(2^x=2\Rightarrowx=1)無解；(x>0)時，(\log_2x=2\Rightarrowx=4)，仍無選項。推測題目正確應(yīng)為(f(f(x))=1)的解為(x=-1)（(f(-1)=2^{-1}=1/2)，(f(1/2)=\log_2(1/2)=-1)，矛盾）。修正后：若(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq1,\\log_2x,&x>1,\end{cases})則(f(f(\sqrt{2}))=f(1/2)=2^{1/2}=\sqrt{2})，但選項中A含(\sqrt{2})，可能答案為A。7.導(dǎo)數(shù)幾何意義曲線(y=x^2-\lnx)在點((1,1))處的切線方程為（）A.(y=x)B.(y=2x-1)C.(y=-x+2)D.(y=-2x+3)解析：求導(dǎo)得(y'=2x-\frac{1}{x})；在(x=1)處，(y'=2\times1-1=1)，切線斜率為1；切線方程：(y-1=1\times(x-1)\Rightarrowy=x)，選A。8.函數(shù)零點問題函數(shù)(f(x)=e^x-x-2)的零點所在區(qū)間為（）A.((-1,0))B.((0,1))C.((1,2))D.((2,3))解析：(f(1)=e-1-2=e-3\approx2.718-3=-0.282<0)；(f(2)=e^2-2-2=e^2-4\approx7.389-4=3.389>0)；由零點存在定理，零點在((1,2))，選C。9.三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)在區(qū)間([0,\pi])上的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.([0,\frac{\pi}{4}])B.([\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}])C.([\frac{3\pi}{4},\pi])D.([0,\frac{3\pi}{4}])解析：(f'(x)=\cosx-\sinx)；令(f'(x)>0\Rightarrow\cosx>\sinx\Rightarrow\tanx<1)；在([0,\pi])上，(\tanx<1)的解為([0,\frac{\pi}{4})\cup(\frac{\pi}{2},\pi])，但需結(jié)合(\cosx-\sinx>0)在(x=\frac{\pi}{2})時(f'(\frac{\pi}{2})=-1<0)，故單調(diào)遞增區(qū)間為([0,\frac{\pi}{4}])，選A。10.抽象函數(shù)性質(zhì)定義在(\mathbb{R})上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+y)=f(x)+f(y))，且(x>0)時(f(x)<0)，則下列說法正確的是（）A.(f(x))是偶函數(shù)B.(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增C.(f(0)=0)D.(f(x))無最小值解析：令(x=y=0)，得(f(0)=2f(0)\Rightarrowf(0)=0)，C正確；令(y=-x)，得(f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrowf(-x)=-f(x))，為奇函數(shù)，A錯誤；設(shè)(x_1<x_2)，則(x_2-x_1>0\Rightarrowf(x_2-x_1)<0)，(f(x_2)=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_1)+f(x_2-x_1)<f(x_1))，故單調(diào)遞減，B錯誤；若(f(x)=-x)，滿足條件，此時無最小值，D正確。但題目為單選題，選C。11.函數(shù)與不等式綜合已知函數(shù)(f(x)=x^2-ax+1)在([1,+\infty))上單調(diào)遞增，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.(a\leq2)B.(a\geq2)C.(a\leq1)D.(a\geq1)解析：二次函數(shù)對稱軸為(x=\frac{a}{2})，開口向上；要在([1,+\infty))單調(diào)遞增，需(\frac{a}{2}\leq1\Rightarrowa\leq2)，選A。12.函數(shù)模型應(yīng)用某物體溫度(T(^\circC))隨時間(t(\text{min}))的變化滿足(T(t)=20+80e^{-0.2t})，則物體溫度從(80^\circC)降至(40^\circC)所需時間約為（(\ln2\approx0.693)）（）A.3.47minB.5.00minC.6.93minD.10.00min解析：令(T(t)=80)，得(80=20+80e^{-0.2t_1}\Rightarrowe^{-0.2t_1}=60/80=0.75)（注意：初始溫度(t=0)時(T=100^\circC)，故題目應(yīng)為從(100^\circC)降至(40^\circC)）；修正：(40=20+80e^{-0.2t}\Rightarrowe^{-0.2t}=0.25\Rightarrow-0.2t=\ln0.25=-2\ln2\Rightarrowt=10\ln2\approx6.93)min，選C。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)奇偶性已知(f(x)=ax^3+bx+1)，且(f(2)=5)，則(f(-2)=)__________。解析：令(g(x)=ax^3+bx)，則(g(x))為奇函數(shù)，(f(x)=g(x)+1)；(f(2)=g(2)+1=5\Rightarrowg(2)=4\Rightarrowg(-2)=-4)；(f(-2)=g(-2)+1=-4+1=-3)。答案：-314.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)(f(x)=x-\sinx)在([0,\pi])上的最小值為__________。解析：(f'(x)=1-\cosx\geq0)，故(f(x))在([0,\pi])單調(diào)遞增；最小值為(f(0)=0-\sin0=0)。答案：015.函數(shù)圖像交點函數(shù)(y=|x|)與(y=2^x-a)有兩個交點，則實數(shù)(a)的取值范圍是__________。解析：當(dāng)(x\geq0)時，(x=2^x-a\Rightarrowa=2^x-x)；令(g(x)=2^x-x)，(g'(x)=2^x\ln2-1)，在(x=\log_2(\frac{1}{\ln2}))處取最小值(g(\log_2(\frac{1}{\ln2}))=\frac{1}{\ln2}-\log_2(\frac{1}{\ln2})\approx1.44-0.53=0.91)；當(dāng)(x<0)時，(-x=2^x-a\Rightarrowa=2^x+x)，(h(x)=2^x+x)單調(diào)遞增，(h(x)<h(0)=1)；要使兩函數(shù)有兩個交點，需(a<1)。答案：((-\infty,1))16.綜合創(chuàng)新題已知定義在(\mathbb{R})上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(dāng)(x\in[0,2))時，(f(x)=x^2)，則(f(2025)=)__________。解析：由(f(x+2)=-f(x))得(f(x+4)=-f(x+2)=f(x))，周期為4；(2025=4\times506+1\Rightarrowf(2025)=f(1)=1^2=1)。答案：1三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1)+\log_a(3-x))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函數(shù)(f(x))的定義域；（2）若(f(1)=1)，求(f(x))在區(qū)間([0,2])上的最大值。解析：（1）要使函數(shù)有意義，需(\begin{cases}x+1>0\3-x>0\end{cases}\Rightarrow-1<x<3)，定義域為((-1,3))。（4分）（2）(f(1)=\log_a2+\log_a2=2\log_a2=1\Rightarrow\log_a2=\frac{1}{2}\Rightarrowa=4)；（6分）(f(x)=\log_4[(x+1)(3-x)]=\log_4(-x^2+2x+3))，令(t=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4)，在([0,2])上(t\in[3,4])，故(f(x)_{\text{max}}=\log_44=1)。（10分）18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極值，且在(x=2)處的切線方程為(y=12x-15)。（1）求(a,b,c)的值；（2）求函數(shù)(f(x))在([-2,3])上的最值。解析：（1）(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由極值點得(f'(-1)=3-2a+b=0)；（2分）切線方程：(f(2)=8+4a+2b+c=24-15=9)，(f'(2)=12+4a+b=12\Rightarrow4a+b=0)；（4分）聯(lián)立(\begin{cases}-2a+b=-3\4a+b=0\end{cases}\Rightarrowa=\frac{1}{2})，(b=-2)，代入(f(2)=9\Rightarrowc=9-8-2+4=3)。（6分）（2）(f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2-2x+3)，(f'(x)=3x^2+x-2=(3x-2)(x+1))，極值點(x=-1,\frac{2}{3})；（8分）計算(f(-2)=-8+2+4+3=1)，(f(-1)=-1+\frac{1}{2}+2+3=\frac{9}{2})，(f(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}+\frac{2}{9}-\frac{4}{3}+3=\frac{8+6-36+81}{27}=\frac{59}{27})，(f(3)=27+\frac{9}{2}-6+3=\frac{63}{2})；（10分）最大值為(\frac{63}{2})，最小值為1。（12分）19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值。解析：（1）(f'(x)=e^x-a)；（2分）若(a\leq0)，(f'(x)>0)，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；（4分）若(a>0)，令(f'(x)=0\Rightarrowx=\lna)，在((-\infty,\lna))遞減，((\lna,+\infty))遞增。（6分）（2）由（1）知，當(dāng)(a>0)時，(f(x)_{\text{min}}=f(\lna)=a-a\lna-1\geq0)；（8分）令(g(a)=a-a\lna-1)，(g'(a)=-\lna)，在(a=1)處取最大值(g(1)=0)，故(a=1)。（12分）20.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為200萬元，每生產(chǎn)(x)千件，需另投入成本(C(x))萬元，且(C(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2+10x,&0<x<40,\51x+\frac{10000}{x}-1450,&x\geq40.\end{cases})每件產(chǎn)品售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完。（1）寫出年利潤(L(x))（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量(x)（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？解析：（1）收入(R(x)=0.05\times1000x=50x)；（2分）(0<x<40)：(L(x)=50x-(\frac{1}{2}x^2+10x)-200=-\frac{1}{2}x^2+40x-200)；（4分）(x\geq40)：(L(x)=50x-(51x+\frac{10000}{x}-1450)-200=-x-\frac{10000}{x}+1250)。（6分）（2）當(dāng)(0<x<40)時，(L(x)=-\frac{1}{2}(x-40)^2+600)，最大值為600（(x=40)）；（8分）當(dāng)(x\geq40)時，(L(x)=-(x+\frac{10000}{x})+1250\leq-2\sqrt{10000}+1250=1050)，當(dāng)(x=100)時取等號；（10分）綜上，年產(chǎn)量100千件時，利潤最大為1050萬元。（12分）21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{a}{x})（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))在([1,e])上的最小值為2，求(a)的值。解析：（1）(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2})（(x>0)）；（2分）若(a\leq0)，(f'(x)>0)，在((0,+\infty))遞增；（4分）若(a>0)，在((0,a))